高考数学复习专题练习选修4-4 第1讲 坐标系

高考数学复习专题练习选修4-4 第1讲 坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 ‎1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________．‎ 解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.‎ 答案　2‎ ‎2．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．‎ 解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.‎ 答案　2 ‎3．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．‎ 解析　由ρ＝6cos θ－2sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.‎ 答案　ρcos θ＝3‎ ‎4．在极坐标系中，点M到曲线ρcos ‎＝2上的点的距离的最小值为________．‎ 解析　依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.‎ 答案　2‎ ‎5．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________．‎ 解析　把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.‎ 答案　8‎ ‎6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.‎ 解析　曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.‎ 答案　 ‎ ‎7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．‎ 解析　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tan α＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为.‎ 答案　 ‎8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．‎ 解析　注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0或m＞10.‎ 答案　(－∞，0)∪(10，＋∞)‎ 二、解答题 ‎9．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)试判定直线l和圆C的位置关系．‎ 解　(1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan ，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．‎ 如图，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，‎ 由余弦定理，得 QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM，‎ ‎∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.‎ 化简得ρ＝8sin θ，即为圆C的极坐标方程．‎ ‎(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，‎ 直线l的普通方程是x－y－5－＝0，‎ 圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，‎ 所以直线l和圆C相离．‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ 解　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，‎ 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 解得ρ＝2，θ＝±，‎ 故圆C1与圆C2交点的坐标为，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别 为(1，)，(1，－)．‎ 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．‎ 法二　将x＝1代入 得ρcos θ＝1，‎ 从而ρ＝.‎ 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 .‎