安徽省宣城市2020届高三下学期第二次调研考试理科数学试题 Word版含解析

安徽省宣城市2020届高三下学期第二次调研考试理科数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1.已知全集，集合，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，或，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，，，也成等差数列，结合，根据等差数列的性质得到，，代入即可得到答案．‎ ‎【详解】解：根据等差数列的性质，‎ 若数列为等差数列，则，，，也成等差数列；‎ 又，‎ 则数列，，，是以为首项，以为公差的等差数列 则，，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列为等差数列，则，，，也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列，与的关系，是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎4.已知，，则（　 　）‎ A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. b＜c＜a ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质先化为，，，再利用指数函数的性质得到、、的大小，结合对数函数的性质即可得到，，的大小关系．‎ ‎【详解】解：，，，‎ ‎，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于中档题．‎ ‎5.国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（ 　　）‎ A. 回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多 B. 回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的 C. 回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人 D. 回答该问卷的总人数不可能是1000人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多；对于，回答该问卷的总人数不可能是1000人．‎ ‎【详解】解：对于，答该问卷的受访者中，‎ 选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：‎ ‎，‎ - 24 -‎ 选择（4）的人数的百分比为，‎ 回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故错误；‎ 对于，回该问卷的受访者中，‎ 由扇形统计图得选择“校园外宣传”百分比最小，‎ 选择“校园外宣传”的人数是最少的，故错误；‎ 对于，回答该问卷的受访者中，‎ 选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多，故错误；‎ 对于，回答该问卷的总人数若是1000人，‎ 选择（2）（4）的人分别为人，人不是整数，故正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．‎ ‎6.函数的图象大致是（　 　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．‎ ‎【详解】解：函数的定义域为，，‎ 故函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；‎ 当时，，，，可排除选项．‎ 故选：B．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思想，属于基础题．‎ ‎7.已知，，则　　‎ A. 或0 B. C. D. 或0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用二倍角公式化简已知可得，结合范围，分类讨论可得，或，进而即可求解．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，或，由于，解得，解得，或（舍去）．‎ ‎，或．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的的二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎8.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ 　　）‎ A. [，+∞） B. （，+∞） C. （2，+∞） D. （1，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．‎ ‎【详解】解：双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．‎ 则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率 所以 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题，属于中档题．‎ ‎9.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（　 　）‎ A. 充分且必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意此问题等价于判断：①命题：已知相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，中至少有一条与相交，则平面与平面相交；②命题：已知相交直线和都在平面内，并且都不在平面内，若与相交，则，中至少有一条与相交这两个命题的真假；分别判断分析可得答案．‎ ‎【详解】解：由题意此问题等价于判断 ‎①命题：已知相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，中至少有一条与相交，则平面与平面相交，‎ ‎②命题：已知相交直线和都在平面内，并且都不在平面内，若与相交，则，中至少有一条与相交的真假；‎ - 24 -‎ 对于①命题此处在证明必要性，因为平面内两相交直线和至少一个与相交，不妨假设直线与相交，交点为，则属于同时属于面，所以与有公共点，且由相交直线和都在平面内，并且都不在平面可知平面与必相交故①命题为真 对于②命题此处在证充分性，因为平与相交，且两相交直线和都在平面内，且都不在平面内，若，都不与相交，则，平行平面，那么，这与相交矛盾，故②命题也为真．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．‎ ‎10.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸一个球，定义数列：，如果是数列的前项和，那么的概率是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ 分析：S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解 解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 故只有两次摸到红球的概率是 故选B ‎11.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为　　‎ - 24 -‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，利用导数求得的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】解：因为 所以，‎ 由于，故函数在上减函数，又，‎ 故当时，，当时，，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，且时，，‎ 故函数的值域为，‎ 作出函数的草图如下，‎ 由图可知，要使函数的值域与函数的值域相同，则需，解得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．‎ ‎12.如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（　 　）‎ - 24 -‎ A. O﹣ABC是正三棱锥 B. 二面角D﹣OB﹣A的平面角为 C. 直线AD与直线OB所成角为 D. 直线OD⊥平面ABC ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，，，从而是正三棱锥；在中，设，求出平面的法向量，平面的法向量，二面角的平面角为；在中，设，求出，‎ 直线与直线所成角为；在中，利用向量法求出，，从而直线平面．‎ ‎【详解】解：正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，‎ 在中，，，是正三棱锥，故正确；‎ 将正四面体放入正方体中，如图所示，‎ - 24 -‎ 在中，设，则， ， ， ‎ ‎， ，，‎ 设平面的法向量， ‎ 则，取，得， ‎ 平面的法向量， ‎ ‎，‎ 二面角的平面角为，故错误；‎ 在中，设，则， ， ， ‎ ‎， ，，‎ ‎，‎ 直线与直线所成角为，故正确；‎ 在中，设，则， ， ，‎ ‎ ， ，，‎ - 24 -‎ ‎，，，，‎ ‎，直线平面，故正确．‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分 ‎13.的展开式中，x3的系数为_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据式子特点，可先求出的通项，然后分别求出它的展开式中的，项的系数，然后相减即可．‎ ‎【详解】解：对于，其通项为，，1，，4，‎ 令和4，可得对应项的系数为：，．‎ 故所求的的系数为．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的通项、以及利用通项研究特定项的系数的问题，还考查了学生的计算能力与逻辑推理能力．属于基础题．‎ ‎14.，，，点在内，且，设，则__．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意建立直角坐标系，加上点在内的限制，可得点的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．‎ ‎【详解】解：因为，所以，故可建立直角坐标系，则，‎ - 24 -‎ ‎，‎ 故，‎ 又点在内，且，‎ 所以，‎ 所以 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属于基础题．‎ ‎15.将正整数排成如图：‎ 试问2020是表中第_____行的第_____个数．‎ ‎【答案】 (1). 11 (2). 997‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得第行有个数，由此利用等比数列的前项和公式能求出结果．‎ ‎【详解】解：由题意得第行有个数，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 是表中第11行的第997个数．‎ 故答案为：11，997．‎ ‎【点睛】本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎16.若椭圆上有两点P，Q（不是长轴端点），O为原点，若直线OP，OQ斜率分别为K1，K2，且满足，则_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设、的坐标分别为，，通过，可知，不妨取；然后用含有和的式子表示出，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解．‎ ‎【详解】解：设、的坐标分别为，，‎ ‎，，即，，不妨取，‎ ‎．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中的计算，还涉及三角函数中的常用公式，解题的关键是用参数设点的坐标，考查学生的知识迁移能力和运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分 - 24 -‎ ‎17.在△ABC中；．‎ ‎（1）求sinA；‎ ‎（2）若△ABC的面积，求BC的边长．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求的值，‎ ‎（2）由（1）利用正弦定理可求，设，，，则由三角形的面积公式解得，即可求得的值．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 可得，‎ ‎，，即，为锐角，可得，‎ ‎．‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 设，，，则由三角形的面积公式，可得，解得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP - 24 -‎ 的中点，AD＝3，AP＝3，PC．‎ ‎（1）求证：EF//平面PDC；‎ ‎（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点为，连结，，四边形是平行四边形，，平面．‎ ‎（2）由余弦定理求出，以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：（1）证明：取的中点为，连结，，‎ ‎，分别为、的中点，‎ ‎，且，‎ 又四边形为平行四边形，，且，‎ ‎，且，四边形是平行四边形，‎ ‎，平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（2）平面，四边形为平行四边形，‎ 点，分别为，的中点，，，‎ - 24 -‎ ‎．，‎ ‎，解得，‎ 如图，以为原点，在平面内过作的垂线为轴，‎ 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则， ， ， ‎ ‎， ， ，‎ 设平面的一个法向量， ‎ ‎，4，，，3，，‎ 则，取，得，‎ 平面的一个法向量， ‎ 设二面角的平面角为，‎ 则．‎ 二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19.已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ - 24 -‎ ‎（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析，定点（6，﹣4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设的坐标，由题意可得的值，进而求出抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线，的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线恒过的定点，注意直线不过，所以求出符合题意的定点的坐标．‎ ‎【详解】解：（1）由题意，，直线方程为，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，‎ 由题意可得，解得或8，由题意可得，‎ 所以抛物线的方程为：；‎ ‎（2）由题意设直线的方程为：，设，，，，‎ 联立直线与抛物线的方程可得，整理可得，‎ 则，①‎ 由（1）可得可得，‎ 即，‎ 即，‎ 整理可得，‎ 将①代入可得：，即，‎ 所以，或，‎ 即，或，‎ - 24 -‎ 所以直线的方程为：，即恒过，‎ 或者即恒过，‎ 而由题意可得直线不过，‎ 可证得直线 恒过定点．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质，直线恒过定点的求法，属于中档题．‎ ‎20.某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射 ‎10‎ x A 注射 ‎40‎ y B 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为．‎ ‎（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？‎ ‎（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效；（2）分布列见解析，E（ξ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据题意补充完整列联表，然后由的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．‎ ‎【详解】解：（1）由条件知，，，，，‎ ‎，‎ 故有的把握认为注射此型号疫苗有效．‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望 ‎【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ - 24 -‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）x+y＝0；（2）（﹣∞，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入函数解析式，求导函数，再求出与的值，利用直线方程的点斜式得答案；‎ ‎（2）由，得，即．设，可得令，可得△，分，，三类分析求解满足题意的的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ ‎．‎ 则，又，‎ 曲线在，处的切线方程为；‎ ‎（2）由，得，‎ 即．设，‎ 则 ‎．‎ 令，‎ ‎．‎ ‎①若，即，，‎ 当时，在上单调递增，‎ 而，时，恒成立，满足题意；‎ ‎②若，，当时，在上单调递增，‎ - 24 -‎ 而，时，恒成立，满足题意；‎ ‎③若，当时，由，‎ 解得，．‎ 在上单调递减，则，不满足题意．‎ 综上所述，的取值范围是，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，‎ 根据，转换为极坐标方程为，‎ - 24 -‎ 即或（包含），‎ 所以曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（2）直线的参数方程为转换为直线的标准参数式为为参数）‎ 代入圆的直角坐标方程为，‎ ‎，设方程两根为，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线标准参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；‎ ‎（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可．‎ - 24 -‎ 详解：（1），‎ 当时，得；当时，得；当时，得，‎ 综上可得不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意，‎ 令 .‎ ‎∴，解得或，即实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：‎ ‎（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立；‎ ‎（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立．‎ - 24 -‎ - 24 -‎