数学文卷·2017届四川省成都市龙泉第二中学高三4月月考（2017
成都龙泉第二中学高 2014 级高三下期 4 月月考试题
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，
在本试卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题
卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水
签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答
题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 则 等于
A． B． C． D．
2．已知 i 是虚数单位，复数（2+i）2 的共轭复数为
A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i
3．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 m∥n 的一个充分不必要条件
是
A． m⊥α，n⊥β，α∥β B．m∥α，n∥β，α∥β
C． m∥α，n⊥β，α⊥β D．m⊥α，n⊥β，α⊥β
4. 设 a∈R，数列 是递增数列，则 a 的取值范围是
A．a≤0 B．a
4 0
5 0
0 1
x y
mx y m
x
− + ≥
− + − ≤
≤ ≤
( )0, 0z ax by a b= + > > 3 1 2
a b
+
11 2 10
3
+ 11 2 10
3
+
11 2 10
3
− 11 2 10
3
−
)3sin(2)( ϕ+= xxf
12
π y
||ϕ
12
π
4
π
3
π
12
5π
( )f x R ( 2) ( )f x f x+ = − (0,1]x∈
( ) 2 1xf x = − 7( ) log | 2 |f x x= −
13.在数列 种， ， ，记 为 的前 项和，则
．
14.函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则
__________.
15．某单位有 500 位职工，其中 35 岁以下的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上的
有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需
抽取 35 岁以下职工人数为 ．
16.已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程
为 ．
三、解答题（本题包括 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（本题满分为 12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
acosB=bcosA．
（Ⅰ）判断△ABC 的形状；
（Ⅱ）求 的取值范围．
18.（本小题满分 12 分）
某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格
零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都
为 10.
(Ⅰ)分别求出 , 的值；
(Ⅱ)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的
方差 和 ,并由此分析两组技工的加工水平；
(Ⅲ)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若
两人加工的合格零件个数之和大于 ,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的
概率. (注:方差 ，其中 为数据
的平均数).
19.（本小题满分 12 分）
如图,在三棱柱 中,侧面 底面 , ，
， ， 为 中点.
(1)证明: 平面 ；
⑵ 若 是线段 上一点，且满足 ，求
的长度.
20.（本小题满分 12 分）
已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，且满足 .
{ }na 1 1a = ( ) ( )1 1 1n
n na a+ = - + nS { }na n
2017S =
( )f x x ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1 5,f = − ( )( )5f f =
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x 3
m n
2s甲
2s乙
17
2 2 2 2
1 2
1= [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
− + − + −+ x 1 2, , , nx x x
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ ABC 1 1 2AA AC AC= = =
AB BC= AB BC⊥ O AC
1AO ⊥ ABC
E 1A B
1 1 1 1
1
12E BCC ABC A B CV V− −=
1A E
{ }na nS ( ) ( )24 1n nS a n N ∗= + ∈
8 7 0 9
2 0 1 0 1 2
n
m
甲 组 乙 组
O C
B
A
C1
B1
A1
（I）求 的通项公式；
（II）设 （其中 ）， ，求数列 的前
n 项和 .
21．已知函数 f（x）=ex﹣x+ 为自然对数的底数）g（x）= +ax+b（a∈R，b∈
R）．
（Ⅰ）求 f（x）的极值；
（Ⅱ）若 f（x）≥g（x），求 b（a+1）的最大值．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请
写清题号.
22. 选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 交曲线 于 两点.
（1）将曲线 的极坐标方程的化为普通方程；
（2）求 的取值范围.
23.（本题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
已知: 函数 ，
（1）求 的定义域；
（2）解关于 x 的不等式 ．
{ }na
( )
, 2 1,
, 2 .2
na n k
f n nf n k
= −
= =
,n k N ∗∈ ( )2 4n
nb f= + { }nb
( )3nT n ≥
C 2
2
1 sin
ρ θ= +
( )1,0P l C ,A B
C
PA PB
成都龙泉第二中学高 2014 级高三下期 4 月月考试题
数学（文史类）参考答案
1—5 BAADB 6—10 ADBAD 11—12 BB
13. -1007 14. -1/5 15. 25 16.
17．解：（Ⅰ）由 acosB=bcosA，
根据正弦定理，得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin（A﹣B）=0，
在△ABC 中，有﹣π＜A﹣B＜π，
所以 A﹣B=0，即 A=B，
所以△ABC 是等腰三角形．…
（Ⅱ）由（Ⅰ），A=B，则 = =
= ．
因为 A=B，所以 ，则 ，
所以 ，
于是 的取值范围是 ．…12 分
18.解：(1)m=3,n=8 —————— (4 分)
(2)甲方差 ，乙方差 2，乙水平高—————(8 分)
（3） ————(12 分)
19.解：(1) ，且 为 中点，
，又 侧面 底面 ，交线为 ， ，
平面 . ———————————(5 分)
(2) ，因此 ，即 ，又在
中 ， ， ， 可 得 ， 则 的 长 度 为
.———(12 分)
1AO AC∴ ⊥ 1 1AO A AC⊂ 面
∴
xy 2±=
26
5
4
5
1 1 2AA AC AC= = = O AC
1 1AAC C ⊥ ABC AC
1AO ⊥ ABC
1 1 1 1 1 1
1 1
12 4E BCC ABC A B C A BCCV V V− − −= = 1
1
4BE BA= 1 1
3
4A E A B=
1Rt AOB∆ 1AO OB⊥
1 3AO = 1BO = 1 2A B = 1A E
3
2
21．解：（Ⅰ）函数 f（x）=ex﹣x+ ，
则 f′（x）=ex+x﹣1，
∵f′（x）=ex+x﹣1 在 R 上递增，且 f′（0）=0，
∴当 x＜0 时，f′（x）＜0，
∴当 x＞0 时，f′（x）＞0，
故 x=0 为极值点：f（0）=
（Ⅱ）g（x）= +ax+b，
f（x）≥g（x），即 ex﹣x+ ≥ +ax+b，等价于 h（x）=ex﹣x（a+1）﹣b≥0，
得：h′（x）=ex﹣（a+1）
①当（a+1）＜0 时，h′（x）在 R 上单调性递增，x∈﹣∞时，h（x）→﹣∝与 h（x）≥0
相矛盾．
②当（a+1）＞0 时，h′（x）＞0，此时 x＞ln（a+1），
h′（x）＜0，此时 x＜ln（a+1），
当 x=ln（a+1）时，h（x）取得最小值为 h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
那么：b（a+1）≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1）
令 F（x）=（a+1）x2﹣x2lnx，（x＞0）
则 F′（x）=x（1﹣2lnx）
∴F′（x）＞0，可得 ，
F′（x）＜0，可得 ．
当 x= 时，F（x）取得最大值为 ．
即当 a= ，b= 时，b（a+1）取得最大值为 ．
故得 b（a+1）的最大值为 ．
22. 解：(1)由 得 ，得曲线 的普通方程为
.
(2)由题意知，直线 的参数方程为 为参数），将 代入
得 ，设 对应的参数分别为 ，则
， 的取值范围为 .
2
2
1 sin
ρ θ= +
( )2 21 sin 2ρ θ+ = C
2
2 12
x y+ =
l
1 cos (sin
x t ty t
α
α
= +
=
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= +
=
2
2 12
x y+ = ( )2 2 2cos 2sin 2 cos 1 0t tα α α+ + − = ,A B 1 2,t t
1 2 2 2 2
1 1 1 ,1cos 2sin 1 sin 2PA PB t t α α α
= = = ∈ + + PA PB∴
1 ,12
