【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第3节圆的方程学案
第三节 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径 r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
圆心 －D
2
，－E
2 ，
半径1
2 D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2 ＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个
圆．( )
(3)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( )
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．
(2)中，当 t≠0 时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范
围是( )
A．a＜－2 或 a＞2
3 B．－2
3
＜a＜0
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜2
3
D [由题意知 a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
解得－2＜a＜2
3.]
3．圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a
＝( )
A．－4
3 B．－3
4
C. 3 D．2
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y
－1＝0 的距离 d＝|a＋4－1|
a2＋1
＝1，解得 a＝－4
3.]
4．(2017·嘉兴一中质检)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 y＝x
对称，则圆 C 的标准方程为________．
x2＋(y－1)2＝1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等．圆 C
的圆心为(0,1)，半径为 1，标准方程为 x2＋(y－1)2＝1.]
5．一个圆经过椭圆x2
16
＋y2
4
＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该
圆的标准方程为________. 【导学号：51062268】
x－3
2 2＋y2＝25
4 [由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，
(4,0) 三 点 ． 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x － m)2 ＋ y2 ＝ r2(0
0) ， 则
m2＋4＝r2，
4－m 2＝r2，
解得
m＝3
2
，
r2＝25
4
，
所以圆的标准方程为 x－3
2 2＋y2＝25
4 .]
求圆的方程
(1)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到
原点的距离为( )
A.5
3 B. 21
3
C.2 5
3 D.4
3
(2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直
线 2x－y＝0 的距离为4 5
5
，则圆 C 的方程为________．
(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两
点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以
△ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．所以|AE|
＝2
3|AD|＝2 3
3
，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ 1＋4
3
＝ 21
3
，故选 B.
法二：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
1＋D＋F＝0，
3＋ 3E＋F＝0，
7＋2D＋ 3E＋F＝0，
解得
D＝－2，
E＝－4 3
3
，
F＝1.
所以△ABC 外接圆的圆心为 1，2 3
3 .
因此圆心到原点的距离 d＝ 12＋
2 3
3 2＝ 21
3 .
(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a>0，
所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝2a
5
＝4 5
5
，
解得 a＝2，
所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，
所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.]
[规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标
和半径，进而写出方程．
2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设
圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的
值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条
件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
[变式训练 1] (2017·浙江五校联盟联考)经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心
在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程为________．
x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)
[法一：∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上．
易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－1
2(x－4)．
设所求圆的圆心为 C(a，b)，则有
2a－b－3＝0，
b＝－1
2
a－4，
解得 a＝2，且 b＝1.
因此圆心坐标 C(2,1)，半径 r＝|AC|＝ 10.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
25＋4＋5D＋2E＋F＝0，
9＋4＋3D－2E＋F＝0，
2× －D
2 ＋E
2
－3＝0，
解得 D＝－4，E＝－2，F＝－5，
∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.]
与圆有关的最值问题
已知 M(x，y)为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点，且点 Q(－
2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求y－3
x＋2
的最大值和最小值. 【导学号：51062269】
[解] (1)由圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r＝2 2.2 分
又|QC|＝ 2＋22＋7－32＝4 2，
∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，
|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.6 分
(2)可知y－3
x＋2
表示直线 MQ 的斜率 k.8 分
设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0.10 分
由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k－7＋2k＋3|
1＋k2
≤2 2，
可得 2－ 3≤k≤2＋ 3，
∴y－3
x＋2
的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.14 分
[迁移探究 1] (变化结论)在本例的条件下，求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0.4 分
当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值，
∴ |2－7＋b|
12＋－12
＝2 2，∴b＝9 或 b＝1.12 分
因此 y－x 的最大值为 9，最小值为 1.14 分
[迁移探究 2] (变换条件结论)若本例中条件“点 Q(－2,3)”改为“点 Q 是
直线 3x＋4y＋1＝0 上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．
[解] ∵圆心 C(2,7)到直线 3x＋4y＋1＝0 上动点 Q 的最小值为点 C 到直线
3x＋4y＋1＝0 的距离，
∴|QC|min＝d＝|2×3＋7×4＋1|
32＋42
＝7.6 分
又圆 C 的半径 r＝2 2，
∴|MQ|的最小值为 7－2 2.14 分
[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根
据代数式的几何意义，数形结合求解．
2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征
选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．
[变式训练 2] 设 P 为直线 3x－4y＋11＝0 上的动点，过点 P 作圆 C：x2＋
y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，切点分别为 A，B，求四边形 PACB 的面积的最
小值．
[解] 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，2 分
圆心为 C(1,1)，半径为 r＝1.6 分
根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为
2S△APC＝2×1
2|PA|r＝|PA|＝ |PC|2－r2.8 分
要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线 l：3x
－4y＋11＝0 的距离
d＝ |3－4＋11|
32＋－42
＝10
5
＝2.12 分
所以四边形 PACB 面积的最小值为
|PC|2min－r2＝ 4－1＝ 3.14 分
与圆有关的轨迹问题
已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于
A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
[解] (1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为 C(0,4)，半径为
4.2 分
设 M(x，y)，则CM
→ ＝(x，y－4)，MP
→ ＝(2－x,2－y)．
由题设知CM
→
·MP
→ ＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点 P 在圆 C 的内部，
所以 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.6 分
(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上．
又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.8 分
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－1
3
，
故 l 的方程为 y＝－1
3x＋8
3.12 分
又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到 l 的距离为4 10
5
，|PM|＝4 10
5
，所以△POM 的面
积为16
5 .15 分
[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关
系式求解．
[变式训练 3] 已知点 A(－1,0)，点 B(2,0)，动点 C 满足|AC|＝|AB|，求点 C
与点 P(1,4)所连线段的中点 M 的轨迹方程．
[解] 由题意可知：动点 C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方
程为(x＋1)2＋y2＝9.4 分
设 M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得
C(2x0－1,2y0－4)，8 分
代入点 C 的轨迹方程得 4x20＋4(y0－2)2＝9，
化简得 x20＋(y0－2)2＝9
4
，13 分
故点 M 的轨迹方程为 x2＋(y－2)2＝9
4.15 分
[思想与方法]
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的
方程的基本方法．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
[易错与防范]
1．二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆时易忽视 D2＋E2－4F＞0 这
一前提条件．
2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出
系数的三个独立方程．
3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹
在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．
课时分层训练(四十五) 圆的方程
A 组 基础达标
(建议用时：30 分钟)
一、选择题
1．(2017·舟山模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为
( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
A [(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关
于直线 y＝x 对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
2．圆 x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 的圆心到直线 x－y＝1 的距离为( )
【导学号：51062270】
A．2 B. 2
2
C．1 D. 2
D [圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝|1＋2－1|
2
＝ 2.]
3．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16 的一条直径通过直线 x－2y＋3＝0 被圆所截
弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0
D [易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线 x－2y＋3＝0 的斜率为1
2
，
∴该直径所在直线的斜率 k＝－2.
故所求直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－3＝0.]
4．若圆心在 x 轴上，半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋2y＝0
相切，则圆 O 的方程是( )
A．(x－ 5)2＋y2＝5 B．(x＋ 5)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
D [设圆心为(a,0)(a＜0)，
则 r＝|a＋2×0|
12＋22
＝ 5，解得 a＝－5，
所以圆 O 的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]
5．设 P 是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4 上的动点，Q 是直线 x＝－3 上的动点，则
|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
B [如图所示，圆心 M(3，－1)与直线 x＝－3 的最
短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为 2，故所
求最短距离为 6－2＝4.]
二、填空题
6．(2016·浙江高考)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，
则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得 a2＝a＋2，解得 a＝2
或－1.当 a＝2 时，方程为 4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即 x2＋y2＋x＋2y＋5
2
＝0，
配方得 x＋1
2 2＋(y＋1)2＝－5
4<0，不表示圆；
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心坐标为(－2，－4)，半径是 5.]
7．已知点 M(1,0)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0 内的一点，那么过点 M 的最短
弦所在直线的方程是________. 【导学号：51062271】
x＋y－1＝0 [圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0 的圆心为 C(2,1)，
则 kCM＝1－0
2－1
＝1.
∵过点 M 的最短弦与 CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为 y－0＝－1(x－
1)，即 x＋y－1＝0.]
8．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m
∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
(x－1)2＋y2＝2 [因为直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点(2，－1)，所以圆心
(1,0)到直线 mx－y－2m－1＝0 的最大距离为 d＝ 2－12＋－1－02＝ 2，所以
半径最大时的半径 r＝ 2，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]
三、解答题
9．已知直线 l：y＝x＋m，m∈R，若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于
点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程．
[解] 法一：依题意，点 P 的坐标为(0，m)，2 分
因为 MP⊥l，所以0－m
2－0
×1＝－1，6 分
解得 m＝2，即点 P 的坐标为(0,2)，10 分
圆的半径 r＝|MP|＝ 2－02＋0－22＝2 2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.15 分
法二：设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，2 分
依题意，所求圆与直线 l：x－y＋m＝0 相切于点 P(0，m)，
则
4＋m2＝r2，
|2－0＋m|
2
＝r， 6 分
解得 m＝2，
r＝2 2， 10 分
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.15 分
10．已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，
B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标；
(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 【导学号：51062272】
[解] (1)由 x2＋y2－6x＋5＝0 得(x－3)2＋y2＝4，2 分
所以圆 C1 的圆心坐标为(3,0).6 分
(2)设 M(x，y)，依题意C1M
→
·OM
→ ＝0，
所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则 x2－3x＋y2＝0，
所以 x－3
2 2＋y2＝9
4.9 分
又原点 O(0,0)在圆 C1 外，
因此中点 M 的轨迹是圆 C 与圆 C1 相交落在圆 C1 内的一段圆弧．
由 x2－3x＋y2＝0，
x2＋y2－6x＋5＝0，
消去 y2 得 x＝5
3
，
因此5
3
＜x≤3.12 分
所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x－3
2 2＋y2＝9
4
5
3
＜x≤3 .15 分
B 组 能力提升
(建议用时：15 分钟)
1．(2017·绍兴模拟)设 P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，则(x－5)2
＋(y＋4)2 的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
D [(x－5)2＋(y＋4)2 表示点 P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)
到圆心(2,0)的距离 d＝ 5－22＋－42＝5.
则点 P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为 6，从而(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值
为 36.]
2．已知平面区域
x≥0，
y≥0，
x＋2y－4≤0
恰好被面积最小的圆 C：(x－a)2＋(y－b)2
＝r2 及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 [由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)，P(4,0)，
Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ 为直角三角形，
∴圆心为斜边 PQ 的中点(2,1)，半径 r＝|PQ|
2
＝ 5，
因此圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
3．已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线 x
＋y＋2＝0 对称．
(1)求圆 C 的方程；
(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求PQ
→
·MQ
→ 的最小值. 【导学号：51062273】
[解] (1)设圆心 C(a，b)，
由已知得 M(－2，－2)，
则
a－2
2
＋b－2
2
＋2＝0，
b＋2
a＋2
＝1，
解得 a＝0，
b＝0， 4 分
则圆 C 的方程为 x2＋y2＝r2，将点 P 的坐标代入得 r2＝2，
故圆 C 的方程为 x2＋y2＝2.6 分
(2)设 Q(x，y)，则 x2＋y2＝2，
PQ
→
·MQ
→ ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.10 分
令 x＝ 2cos θ，y＝ 2sin θ，
所以PQ
→
·MQ
→ ＝x＋y－2
＝ 2(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin θ＋π
4 －2，
所以PQ
→
·MQ
→ 的最小值为－4.15 分
