陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届安康中学高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则集合不可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A．2 B． C．9 D．‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．设是中任意两个不同的数，那么复数恰好是纯虚数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，‎ 则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．阅读如图的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在所在的平面内有一点P，如果，那么的面积与的面积之比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上奇函数满足①对任意x，都有成立；②当时，，则在上根的个数是（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2．2‎ ‎3．8‎ ‎5．5‎ ‎6．5‎ ‎7．0‎ 若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．‎ ‎14．设，满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为________．‎ ‎15．已知数列的前项和为，且，，则 ．‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设函数．直线与函数图象相邻两交点的距离为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别是．若点是函数图象的 一个对称中心，且，求外接圆的面积．‎ ‎18．（12分）为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，‎ 本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表：‎ 成绩 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；‎ ‎（2）若从成绩在中选一名学生，从成绩在中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求组中学生A1和组中学生B1同时被选中的概率？‎ ‎19．（12分）如图，是边长为4的正方形，平面，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．‎ ‎20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，离心率 ‎，在x轴负半轴上有一点B，且．‎ ‎（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点p（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设，存在两个零点m，n且，证明：‎ 函数处的切线不可能平行于x轴．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】‎ 在极坐标系中，已知点到直线的距离为3．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】∵，∴，选项C中，，故不满足．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】设垂直于直线的直线方程为，‎ 又直线过点，∴，解得，‎ 故所求直线的方程为．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由题意知函数在上是减函数，故选C．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】∵，又．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】∵将函数的图象向右平移个单位得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】有题意知本题是一个古典概型，‎ 实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有种结果，‎ 满足条件的事件是复数恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果，‎ ‎∴复数恰好是纯虚数的概率为．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，‎ 然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形，‎ 圆锥的底面半径为1，母线长为2，‎ 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和，‎ 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为，‎ ‎．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】时，；‎ 时，，；‎ 时，，；‎ 时，，；‎ 时，；‎ ‎∴．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴点P在边AC上，且，∴，‎ 设的AC边上的高为，∴．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】由题意，O为AB的中点，为直角三角形，‎ 设，由于，∴，．‎ 又，O为球心，∴，‎ ‎，∴，‎ ‎．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由①知函数的最小正周期是3，‎ 由②得，‎ 画出函数及的图像即得．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】24．68‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴当时，，‎ 故答案为24．68．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线过直线与直线的交点时，‎ 目标函数取得最大12，‎ 即，即，‎ 则，‎ 故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵数列满足，，‎ ‎∴，解得，‎ 当时，，‎ ‎∴数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．‎ 则 ‎，‎ 故答案为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】∵上的摄影的大小恰好为，∴，‎ 又因为它们的夹角为，∴，‎ ‎∴在中，，∴，，‎ 根据双曲线的定义，∴，‎ 所以，故答案为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ 因为的最大值为，依题意，函数的最小正周期为，‎ 由，得．‎ ‎（2）因为，依题意，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴，，‎ 由正弦定理，，∴，‎ 外接圆的面积为．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）各组频率分别为0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08，‎ 所以，图中各组的纵坐标分别为0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008．‎ ‎（2）记中的学生为A1，A2；中的学生为B1，B2，B3，B4，‎ 由题意可得，基本事件为AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共l2个，‎ 满足A1B1同时被选中的事件为A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4共3个，‎ ‎∴学生A1和B1同时被选中的概率为．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）是的一个四等分点，证明见解析．‎ ‎【解析】（1）证明：因为，所以．‎ 因为是正方形，所以，‎ 因为，从而平面．‎ ‎（2）当是的一个四等分点，即时，，‎ 取上的四等分点，使，连结，，‎ 则，且，‎ 因为，且，所以，且，‎ 故四边形是平行四边形，所以，‎ 因为，，所以．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）由题意，得，所以，‎ 又，由于，所以为线段的中点，‎ 所以，‎ 所以的外接圆圆心为，半径，‎ 又过三点的圆与直线相切，‎ 所以，解得，‎ ‎，，‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（2）有（1）知设的方程为，‎ 将直线方程与椭圆方程联立，‎ 整理得，‎ 设交点为，，‎ 因为，则，，‎ 若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，‎ 由于菱形对角线垂直，所以，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由已知条件知，‎ ‎，，‎ 故存在满足题意的点且m的取值范围是．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），，‎ 由已知，得对一切恒成立，‎ ‎，即对一切恒成立，‎ ‎，，‎ 的取值范围为．‎ ‎（2），‎ 由已知得，．‎ ‎，即．‎ 假设结论不成立，即，则，．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，则有．‎ 令．‎ ‎．‎ 在上是增函数，‎ ‎∴当时，，即．‎ ‎∴当时，不可能成立，‎ ‎∴假设不成立，‎ 在处的切线不平行于轴．‎ ‎22．【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，‎ 为半径的圆．‎ ‎【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，‎ 则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，‎ 由点到直线的距离为，∴．‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为，‎ 设，，则，①‎ 因为点在直线上，所以，②‎ 将①代入②，得．‎ 则点的轨迹方程为，‎ 化为直角坐标方程为，‎ 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，不等式化为，‎ 则可得或或，‎ 可得或或，‎ 则不等式解集为．‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 则恒成立，‎ 化为在上恒成立，‎ 而在上为增函数，则，‎ ‎，等号成立时，‎ 所以的取值范围为．‎