2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得的值，再除以，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以．故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.‎ ‎2．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意，得，又当时，，所以函数的单调递减区间是，故选A．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎3．下列说法错误的是（ ）‎ A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.‎ ‎4．数列满足，对任意的都有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据递推公式,结合累加法求得数列的通项公式,求得, 由裂项法求和得解.‎ ‎【详解】‎ 数列满足,对任意的都有 则 由递推公式可得 ‎ ‎ 等式左右两边分别相加可得 所以 则 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了累加法求数列的通项公式,裂项法求和的应用,属于中档题.‎ ‎5．对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为，则实数m的值为（ ）‎ x ‎196‎ ‎197‎ ‎200‎ ‎203‎ ‎204‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ m A．8 B．8.2 C．8.3 D．8.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由表格求得样本中心点,根据线性回归方程经过样本中心点,代入方程即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由表可得 ‎ 因为线性回归方程经过样本中心点 ‎ 代入线性回归方程可得 解得 ‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的简单应用,线性回归方程经过样本中心点的性质,属于基础题.‎ ‎6．在中，已知，那么角等于（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 由正弦定理得得 所以角等于或.‎ 故选D.‎ ‎7．函数在的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数解析式可知函数为偶函数.利用特殊值法,结合导数与极值点关系,即可排除错误选项.‎ ‎【详解】‎ 因为 则 所以函数为偶函数 当时,,结合图像可排除 当时,‎ 则,‎ 因为,‎ 所以在内有解,即在内有极值点,所以排除C,‎ 故D为正确选项 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了根据解析式判断函数图像,结合特殊值、导数与极值点关系,即可判断,属于中档题.‎ ‎8．我国古代“伏羲八卦图”中的八卦与二进制、十进制的互化关系如表，依据表中规律，A，B处应分别填写　　 ‎ 八卦 二进制 ‎000‎ ‎001‎ ‎010‎ ‎011‎ A 十进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ B A．110、6 B．110、12 C．101、5 D．101、10‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据八卦图的规律求得处所填，然后通过二进制转化为十进制的公式，计算出处所填.‎ ‎【详解】‎ 根据八卦图的规律得到处填，处应填写6．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二进制和十进制的相互转化，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎9．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且 ‎，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集.‎ ‎【解答】‎ 令，则 在上单调递减 ‎ ‎ 则不等式可化为 等价于，即 ‎ 即所求不等式的解集为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系．‎ ‎10．如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）‎ A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里 ‎【答案】A ‎【解析】在中，，所以，‎ 由正弦定理可得：，解得，‎ 在中，，所以，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎，解得.‎ ‎11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出两个切点坐标,求得两个曲线的导数,根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线,联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 直线是曲线的切线,也是曲线的切线,‎ 则两个切点都在直线上,设两个切点分别为 ‎ 则两个曲线的导数分别为,‎ 由导数的几何意义可知,则 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得 由可得 ‎ 代入中可知 所以 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义,两条曲线的公切线性质及求法,参数较多,化简较为繁琐,属于中档题.‎ ‎12．若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据定义可知满足方程在上有两个解.分离参数并构造函数,利用导数求得函数的极值点与极值,画出函数图像,即可判断的图像与有两个交点时的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据“友情点对”的定义,可知函数 ‎,恰好有两个“友情点对”,则满足在上有两个解 即在上有两个解 令 则 令,解得 ‎ 当时,,即在内单调递减;‎ 当时,,即在内单调递增 当时,,即在内单调递减 所以在时取得极小值,‎ 在时取得极大值,‎ 且,函数图像如下图所示:‎ 由图可知,当,若有两个交点 则 ‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数新定义的应用,方程与函数的关系,构造函数并利用导数求函数的极值点与极值,数形结合法的应用,属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．在中，，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】在中，则根据余弦定理有，根据题干条件，代入数据，解方程，即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：在中，由余弦定理可知， ‎ 则有，即，解得.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎14．已知在时有极值0，则的值为______．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】求导函数，利用函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2‎ ‎∴f'（x）＝3x2+6ax+b，‎ 又∵函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，‎ ‎∴，∴或 当时，f'（x）＝3x2+6ax+b＝3（x+1）2‎ ‎＝0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；‎ 当时，f'（x）＝3x2+6ax+b＝3（x+1）（x+3）＝0，方程有两个不等的实数根，满足题意；‎ ‎∴a﹣b＝﹣7‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知数列的通项公式是，则________．‎ ‎【答案】1010.‎ ‎【解析】根据通项公式,写出数列的项,由数列项的特征,将相邻两项求和,即可根据各组的和及组数得解.‎ ‎【详解】‎ 数列的通项公式是 则,,,,‎ 则 故答案为:1010‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式及简单应用,分组求和法的应用,属于基础题.‎ ‎16．已知函数f（x）＝x2，，若函数在上是单调递增的，则实数的取值范围为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）在x∈[2，+∞）单调递增，得出f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝x2在x∈[2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f′（x）＝2x0在x∈[2，+∞）上恒成立；‎ ‎∴2x3﹣a≥0，‎ ‎∴a≤2x3在x∈[2，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≤2×23＝16‎ ‎∴实数a的取值范围为a≤16．‎ 故答案为：（﹣∞，16]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查不等式恒成立问题，是基础题目．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) 切线方程为,切点为 ‎【解析】（I）先求得函数在处的导数，利用点斜式写出切线方程.（II）设出切点的坐标，利用导数求得切线的斜率，写出切线的方程，将原点坐标代入切线方程求得切点的坐标以及切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），所以 ‎ ，即 ‎（Ⅱ）设切点为，则 ‎ 所以切线方程为 ‎ 因为切线过原点，所以 ，‎ 所以，解得， ‎ 所以，故所求切线方程为，‎ 又因为，切点为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查已知切线过某点来求切线方程的方法，属于中档题.‎ ‎18．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，整理得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）由频率分布直方图，计算出各年龄段的人数，并估计这100人年龄的众数、中位数和平均数；（该小题不用写解题过程，请在答题卷上直接写出答案 ‎（2）支持“延迟退休”的人数如下表所示，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，据此表，能否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政”的不支持态度存在差异？‎ 附：，其中．‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）众数：50，中位数：45，平均数：42；（2）有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异．‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图,可求得各组的人数.由众数、中位数和平均数的求法可得解.‎ ‎（2）由所给支持“延迟退休”的人数表格,填写列联表.由 的计算公式代入求值,即可与临界值比较做出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 年龄 人数 ‎20‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎20‎ 众数：50,中位数：45,平均数：42,‎ ‎（2）由题意填写列联表如下,‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 计算观测值尽,‎ 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的应用,利用频率分布直方图计算各组数据、平均数众数和中位数,列联表的简单应用,独立性检验思想的应用,属于基础题.‎ ‎19．已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据等比数列通项的性质求出 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和 ‎【详解】‎ 解：（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，所以．‎ 即，化简得．‎ 因为公比，所以．‎ 所以（）．‎ ‎（2）因为，所以．‎ ‎．‎ 则，①‎ ‎.②‎ ‎①－②得，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前项和，属于中档题.‎ ‎20．在中，角、、的对边分别为、、，已知. ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，点在边上，且，，求边的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出的值，结合角的范围可得出角的大小；‎ ‎（2）利用余弦定理得出，由三角形的面积公式，代入数据得出，将该等式代入等式可解出边的长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及正弦定理，‎ 可得，即，‎ 由可得，所以，‎ 因为，，所以，，；‎ ‎（2）由于，由余弦定理得，‎ 又因为，所以的面积，‎ 把，，代入得，所以，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了余弦定理和三角形面积公式来解三角形，解题时要根据题中相关条件列方程组进行求解，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21．某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费指出万元和销售额万元的数据统计如下表：‎ 城市 A B C D E F G 广告费支出 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎19‎ 销售额 ‎19‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎52‎ ‎53‎ ‎54‎ ‎（1）若用线性回归模型拟合y与x关系，求y关于x的线性回归方程．‎ ‎（2）若用对数函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算对数函数回归模型的相关指数约为0.95，请说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A城市的广告费用支出8万元时的销售额．‎ 参考数据：，，，，，．‎ 参考公式：，‎ 相关指数：（注意：与公式中的相似之处）‎ ‎【答案】（1）；（2）对数函数回归模型更合适，万元．‎ ‎【解析】（1）根据表中数据算出.结合参考数据与公式,代入即可求得和,进而求得回归直线的方程.‎ ‎（2）根据参考数据,代入相关指数公式,可得用线性方程模拟时的.与对数模拟时的相关指数比较,即可判断更合适的回归模型.将代入对数的回归方程,结合所给参考数据即可得预测的销售额.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得,,‎ ‎,‎ 根据参考公式和数据可得,．‎ 即 ‎,‎ 关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）由（1）得：,．‎ ‎．‎ ‎,‎ 对数函数回归模型更合适 当万元时,预测A城市的销售额为万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法,相关系数的性质与求解,对计算能力要求较高,属于中档题.‎ ‎22．设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）若，在（-∞，+∞）上单调递增；若，在单调递减，在上单调递增；（2）‎ ‎【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.‎ 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.‎ 故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于 k<＋x(x>0) ①‎ 令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.‎ 由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，‎ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.‎ 所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．‎ 故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．‎ 设此零点为α，则α∈(1,2)．‎ 当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，‎ 所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．‎ 又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．‎ 由于①式等价于k

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