数学理卷·2019届湖北省武汉市高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届湖北省武汉市高二上学期期末考试（2018-01）

‎2017-2018学年高二上学期期末考试题 数学理 考试时间120分钟，分值150分。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．7 B．42 C.210 D．840‎ ‎2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为 (　　)‎ A.　 B．　 　　 C.　 D. ‎3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 (　　)‎ A. B． C. D． ‎4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 (　　)‎ A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1‎ ‎5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD 所成的角的正弦值为 (　　)A．－ B． C．－ D． ‎6．下列说法中正确的是 (　　)‎ A．“x>5”是“x>3”的必要条件 B．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是“∃x0∈R，x02＋1≤0”‎ C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 D．设p、q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 ‎7．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为(　　)‎ A. B． C. D． ‎8．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)‎ A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 ‎9．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43 ‎ ‎ C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32‎ ‎10．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)‎ A.　 B． C. D． ‎11．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 (　　)‎ A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5‎ ‎12．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线的斜率为(　　)‎ A．±2 B．± C．± D．± 第II卷 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）‎ ‎13．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________.‎ ‎14．已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.‎ ‎15．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：‎ ‎①曲线C不可能为圆；②若14；‎ ‎④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得 ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关 ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.‎ ‎(附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－)‎ ‎18. （12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.‎ 区间 ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50]‎ 人数 ‎25‎ a b ‎(1)求正整数a，b，N的值；‎ ‎(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？‎ ‎(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ ‎19.(12分）如图，在四棱锥中，底面， ，点为棱的中点.， （1）证明： ；（2）求二面角的大小．‎ ‎20．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．‎ ‎21．（12分）已知双曲线C：－＝1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点.‎ ‎(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．‎ 答案 (1) 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C A B B A D B C D B 二 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13 － 14 . ‎15 　 ③ 16 . 三 解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．【解析】　(1)由题意知n＝10，＝＝＝8，＝＝＝2， --------2分 ‎，-------4分 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4.‎ 故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4 ---------6分 ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．------8分 ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10分 ‎18. 【解析】：(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以a＝25.‎ ‎.总人数N＝＝250. b＝250×0.08×5＝100 --------3分 ‎(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为6×＝1，第2组的人数为6×＝1，‎ 第3组的人数为6×＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人 ．--------6分 ‎(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：‎ ‎(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)， (A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种． --------10分 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种．‎ 所以恰有1人年龄在第3组的概率为. --------12分 ‎19【解析】　 ‎ ‎⑴证明：取中点，连接 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 面 ‎ --------4分 ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎ --------6分 ‎ ‎ 设面的法向量为 由，令，即 --------9分 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ 二面角的大小 --------12分 ‎20【解析】(1)由ρ＝2cos θ，‎ 得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. --------3分 由得x＝y＋m，‎ 即x－y－m＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x－y－m＝0. --------6分 ‎(2)设圆心到直线l的距离为d，‎ 由(1)可知直线l：x－y－2＝0，‎ 曲线C：(x－1)2＋y2＝1，‎ 圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1， --------8分 则圆心到直线l的距离为d＝＝. --------10分 所以|AB|＝2 ＝.‎ 因此|AB|的值为. --------12分 ‎21. 【解析】(1)∵双曲线C：－＝1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，‎ ‎∴＝，a＝，解得c＝3，又c2＝a2＋b2，b＝，‎ ‎∴双曲线的方程为－＝1. --------4分 ‎(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x－3)，- -------6分 联立得5x2＋6x－27＝0， -------8分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， -------10分 所以|AB|＝·＝. -------12分 ‎22．【解析】(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，‎ 则右焦点F(，0)，由题设＝3，‎ 解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1. --------4分 ‎(2)设P为弦MN的中点，由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，‎ 由于直线与椭圆有两个交点，‎ 所以Δ＞0，即m2＜3k2＋1.① -------6分 所以xP＝＝－，‎ 设M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP)‎ 从而yP＝kxP＋m＝， ‎ 所以kAP＝＝－， -------8分 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，‎ 则－＝－，即2m＝3k2＋1.② -------10分 把②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，‎ 由②得k2＝＞0，‎ 解得m＞，故所求m的取值范围是. -------12分