2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年广西桂林市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列所给的点中，在不等式表示的平面区域内的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将各个点的坐标代入不等式，不等式成立的即为在区域内的点.‎ ‎【详解】‎ ‎ 在不等式表示的平面区域内 ‎，，‎ ‎，，不在不等式表示的平面区域内 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点是否在可行域内的判定，只需将点坐标代入不等式中，看不等式是否成立即可.‎ ‎2．等差数列中，，，则的公差为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列通项公式可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．抛物线y2=4x的焦点坐标是 A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：的焦点坐标为，故选D.‎ ‎【考点】抛物线的性质 ‎【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．‎ ‎4．命题“若，则”的逆否命题是( )‎ A．“若，则” B．“若，则”‎ C．“若，则” D．“若，则”‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据逆否命题的定义可直接得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由逆否命题定义可知：原命题的逆否命题为“若，则”‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逆否命题的定义，属于基础题.‎ ‎5．若，，则下列不等式正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式性质,可判断四个选项即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 对于A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立”,可知A正确;‎ 对于B,若,则,则成立,所以B错误;‎ 对于C,若,当时,;当时,所以C错误;‎ 对于D,若,当时不等式不成立,所以D错误.‎ 综上可知,正确的为A 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题.‎ ‎6．下列命题为真命题的是( )‎ A．，使 B．，有 C．，有 D．，有 ‎【答案】B ‎【解析】根据，都有可依次判断出各个选项的正误.‎ ‎【详解】‎ 中，，都有，则错误；正确；错误；‎ 中，当时，，则错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含全称量词和特称量词的命题真假性的判定，属于基础题.‎ ‎7．的内角的对边分别为，已知，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理构造方程可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得：，解得：或（舍）‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形的相关知识，考查余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎8．“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】结合充分条件和必要条件的判定,即可.‎ ‎【详解】‎ 结合题意可知可以推出,但是并不能保证 ‎,故为充分不必要条件,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 考查了充分条件和必要条件的判定,难度较容易.‎ ‎9．若x，y满足约束条件，则的最大值为( )‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小值的求解问题，通过平移可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件可得可行域如下图所示：‎ 当取最大值时，直线在轴截距最小 由直线平移可知，当过图中点时，直线在轴截距最小 又 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.‎ ‎10．记是等比数列的前n项和已知，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等比数列公比为，利用构造方程求得公比，由求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列公比为 则，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列基本量的求解问题，关键是熟练掌握等比数列通项公式，也可以利用等比数列前项和公式来进行求解.‎ ‎11．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离，再与实轴比较大小，列出不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为，‎ 所以焦点到渐近线的距离为，整理得：，‎ 故.‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型.‎ ‎12．已知抛物线C：（）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，‎ B，与C的准线的交点为D．若，与的面积之比为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出图形,结合与的面积之比为,可得.由抛物线定义即可求得.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,画出抛物线如下图所示:‎ 过A作垂直准线并交准线于N,过B作垂直于准线并交准线于M.‎ 由抛物线定义可知,,则 因为与的面积之比为 则 所以在与中, ‎ 由,代入可得 根据抛物线定义可得 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若三个正数1，b，16成等比数列，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比中项定义,可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 三个正数1,b,16成等比数列 由等比中项定义可得 ‎ 解得 ‎ 由题正数 故答案为: 4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题.‎ ‎14．若，则的最小值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】利用基本不等式可直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（当且仅当，即时取等号） ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.‎ ‎15．在中，，，，点在线段上，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD的长度.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，以点A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。过点B作垂直AC交AC于点E，则,又因为在中，,所以,,故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握，将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键.‎ ‎16．如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，是的外角平分线，‎ 所以，所以，又，所以，‎ 又由椭圆的方程可得：，‎ 所以的周长为.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.‎ 三、解答题 ‎17．设命题p：，命题q：关于x的方程无实根.‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得当为真命题时的取值范围;‎ ‎（2）先求得命题为真命题时的取值范围.由为假命题,为真命题可知,两命题一真一假.分类讨论,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当为真命题时,‎ 解不等式可得；‎ ‎（2）当为真命题时,由,‎ 可得,‎ ‎∵为假命题,为真命题,‎ ‎∴,两命题一真一假,‎ ‎∴或,‎ 解得或,‎ ‎∴m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？‎ ‎【答案】将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元 ‎【解析】设出底面的长为,宽为,根据总容积求得与的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.‎ ‎【详解】‎ 设底面的长为m,宽为m,水池总造价为元,‎ 容积为1,可得,‎ 因此,‎ 根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有 ‎,‎ 由基本不等式及不等式性质,可得 ‎,‎ 即,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.‎ ‎19．设等差数列的前n项和为，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用和表示出和，从而构造方程组求得和，根据等差数列通项公式得到结果；‎ ‎（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为 则，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 设数列的前项和为，则 即…① ‎ ‎…②‎ ‎①②得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是明确错位相减法求解数列前项和所适用的类型，即通项公式为等差等比的形式时，求和采用错位相减法.‎ ‎20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）正弦定理边化角可化简已知等式求得，根据可求得结果；‎ ‎（2）利用余弦定理和可构造方程求得和，代入三角形面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理可得：‎ ‎ ，即 ‎ ‎ ‎（2）由余弦定理得：，解得：‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.‎ ‎21．已知数列的前n项和.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前n项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）当时，；当时，由可求得；验证可知满足所求式子，由此可得结果；‎ ‎（2）将裂项为，利用裂项相消法求得，由，根据不等式性质可证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ 当时，‎ 显然，时也满足上式 ‎（2）由（1）知：‎ ‎、‎ ‎ ，即 ‎【点睛】‎ 本题考查利用与关系求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的形式；关键是能够对通项公式进行准确的裂项，进而前后相消得到结果.‎ ‎22．已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设C的右顶点为A，不过C左、右顶点的直线l：与C相交于M，N两点，且.请问：直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是，.‎ ‎【解析】（1）由焦点坐标、长轴长和短轴长关系、椭圆关系可构造方程组求得，进而得到所求方程；‎ ‎（2）将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据垂直关系可得，代入韦达定理的结果可整理得到，进而解得，；分别验证两个结果可知满足题意，根据直线过定点的求解方法可确定定点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，解得：‎ 的方程为：‎ ‎（2）设，‎ 由得：‎ 则，化简得：…①‎ ‎，‎ 又 ‎ ‎，即 又 即 化简为：‎ 解得：，，均满足①式 当时，，直线过点，不合题意，舍去；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆位置关系的应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中的直线过定点问题的求解；求解定点问题的关键是能够利用垂直关系构造方程，将直线方程化为关于某一变量的方程的形式，进而得到定点坐标.‎