甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期学段期中考试数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期学段期中考试数学（理）试题

天水一中2018级2019—2020学年度高二第一学期第二阶段考试试题 数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.在等比数列中，，，，则等于()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.‎ ‎2.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合不等式，指数函数以及对数函数的性质判断即可得出答案.‎ ‎【详解】对A，当时，，故A错误；‎ 对B，当时，，则，故B错误;‎ 对C，因为在上是增函数，，所以，故C正确；‎ 对D，当时，，故D错误；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断不等式的恒成立问题，可以通过举反例，从而得到不等式成立或不成立.‎ ‎3.已知实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．‎ ‎【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），令，直线：，平移直线，当过点时取得最大值，当过点时取得最小值，所以的取值范围是. ‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．‎ ‎4.已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得a2＝4，b2＝1，利用隐含条件求得c，则‎2c即为所求．‎ ‎【详解】由题意可得，，所以a2＝4，b2＝1，‎ 所以，从而.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题．‎ ‎5.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）‎ A. 只 B. 只 C. 只 D. 只 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列，可知，，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果.‎ ‎【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则 又 ‎ ‎，即大夫所得鹿数为只 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程，得出的值，然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.‎ ‎【详解】解方程，得，‎ 因此，“”是“”的必要非充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎7.已知向量，且，若实数x，y均为正数，则最小值是（ ）‎ A. 10 B. ‎13 ‎C. 16 D. 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量共线可得,再将化为后,用基本不等式可求得.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 当且仅当时等号成立.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式求最小值.属于中档题.解题关键是 这一步的变形.‎ ‎8.若双曲线E：的左、右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且则（ ）‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：双曲线E：可得， 由双曲线的定义可得， 由，可得， 解得（−2舍去）． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．‎ ‎9.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,‎ 再由三角形的面积公式可得.‎ ‎【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,‎ 如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,‎ 设,则,解得,将 代入可得,‎ 所以△的面积为=.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.‎ ‎10.如图，平行六面体中，与交于点，设，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，，，代入化简即可得出．‎ ‎【详解】，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．‎ ‎【详解】解：由题意，建立如图的空间坐标系，‎ 底面正方形，，，底面，‎ 点，， ， ， ‎ 则，，‎ ‎．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．‎ ‎12.若椭圆:的上顶点与右顶点的连线垂直于下顶点与右焦点连线，则椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线的斜率，利用斜率乘积为列方程，结合求得离心率的值.‎ ‎【详解】椭圆上顶点坐标为，右顶点的坐标为，故直线的斜率为.椭圆下顶点坐标为，右焦点的坐标为，故直线的斜率为.由于，故，即，由于，所以，即，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.命题“，“的否定为______．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“，”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．‎ ‎【详解】命题“，”，‎ 命题“，”的否定为：，．‎ 故答案为，．‎ ‎【点睛】对命题“，”的否定是：“，”；对命题“，”的否定是：“，”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．‎ ‎14.已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知命题“¬p或¬q”是假命题，有下列结论：‎ ‎①命题“p且q”是真命题；‎ ‎②命题“p且q”是假命题；‎ ‎③命题“p或q”是真命题；‎ ‎④命题“p或q”是假命题．‎ 其中正确的是________(只填序号)．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“¬p或¬q”是假命题，知¬p与¬q均为假，故p，q均为真．再判断每一个命题得解.‎ ‎【详解】由“¬p或¬q”是假命题，知¬p与¬q均为假，故p，q均为真．‎ 故答案为①③‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 、复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.‎ ‎16.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，准线 考点：抛物线方程及性质 三、解答题 ‎17.已知数列{}满足，且.‎ ‎（I）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（II）求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题意，对于，变形可得，根据等差数列的定义分析可得结论；‎ ‎（II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得，即可得出，再根据错位相减法即可求解出结果．‎ ‎【详解】解：（I）由，‎ 可得 所以得为等差数列，公差为1；‎ ‎（II），‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎【点睛】本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前项和，证明时采用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，设E，F分别为PC，BD的中点．‎ ‎（1）求证：平面PAD；‎ ‎（2）求直线EF与平面PBD所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面平行的判定定理：连接，只需证明，利用中位线定理即可得证；‎ ‎（2）取的中点，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】解：（1）证明：为平行四边形，‎ 连结，为中点，为中点，‎ 在中，且平面，平面，‎ 平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，‎ 且为的中点，，‎ 又侧面底面，‎ 底面；‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，令正方形的边长，则，，，，，，‎ ‎，，‎ 设面的法向量为，‎ 令则，，‎ 设直线与平面所成角为，则 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行，线面角的求解，考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力，属中档题．‎ ‎19.如图，直三棱柱中，且，D，E分别为，的中点，若，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求锐二面角的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，求出，，，，，，坐标．‎ ‎（1）通过计算向量的数量积为0，证明，，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面．‎ ‎（2）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系， ‎ 则， ， ， ， ，， ‎ ‎、分别为、的中点 ‎，‎ ‎（1）证明：由已知，得，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，‎ 又平面，平面，且 平面 ‎ ‎（2）由已知得，设平面的一个法向量为，则，‎ ‎，令，则，，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 则 ‎ 故锐二面角的正切值为 ‎【点睛】本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，直线与直线的垂直，直线与平面的垂直数量积为0的应用．考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；‎ ‎（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，‎ 解得：，，‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，‎ 联立，消去、整理得：，‎ 因为直线与椭圆有两个交点，‎ 解得或 设，，，，‎ 则，‎ 以线段为直径的圆过坐标原点，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即，解得：满足条件，‎ 故 ‎【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎ ‎