2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第一章第二讲 常用逻辑用语
第二讲 常用逻辑用语
1.[2015山东,5,5分][文]设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x - m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x - m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x - m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x - m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x - m=0没有实根,则m≤0
2.[2015湖北,3,5分][文]命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0 - 1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x - 1
B.∀x∉(0,+∞),ln x=x - 1
C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0 - 1
D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0 - 1
3.[2020湖北部分重点中学高三测试]下列说法中,正确的是( )
A.命题“若am2
0”的否定是“对任意的x∈R,x2 - x≤0”
C.命题“p或q”为真命题,则命题p和命题q均为真命题
D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
4.[2020合肥市高三调研检测]已知m为非零实数,则“1m< - 1”是“m> - 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.[2019全国卷Ⅲ,11,5分][文]记不等式组x+y≥6,2x - y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题:
①p∨q;②¬p∨q;③p∧¬q;④¬p∧¬q.
这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③ B.①②
C.②③ D.③④
6.[2018北京,11,5分][文]能说明“若a>b,则1a< 1 b”为假命题的一组a,b的值依次为 .
考法1 四种命题及其真假判断
1 [2020湖南怀化模拟]给出命题:若函数y=f (x)是幂函数,则函数y=f (x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
根据原命题写出逆命题 判断原命题和逆命题的真假根据四种命题之间的真假关系得出真命题的个数
原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f (x)的图象不过第四象限,则函数y=f (x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
C
1.[2020湖北部分重点中学高三测试]下列说法错误的是( )
A.命题“若x2 - 3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2 - 3x+2≠0”
B.“a=2”是“函数f (x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件
C.若命题p:∃n∈N,2n>1 000,则¬p:∀n∈N,2n≤1 000
D.命题“∃x∈( - ∞,0),2x<3x”是真命题
考法2 充分条件与必要条件的应用
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
2 (1)[2020安徽合肥检测]已知偶函数f (x)在[0,+∞)上单调递增,则对于实数a,b,“a>|b|”是“f (a)>f (b)”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)[2019天津,3,5分][文]设x∈R,则“0|b|≥0,则f (a)>f (|b|),即f (a)>f (b),所以“a>|b|”是“f (a)>f (b)”的充分条件.若f (a)>f (b),则f (|a|)>f (|b|),可得|a|>|b|≥0,由于a,b的正负不能判断,所以无法得到a>|b|,则“a>|b|”不是“f (a)>f (b)”的必要条件.所以“a>|b|”是“f (a)>f (b)”的充分不必要条件.
(2)(集合法)由|x - 1|<1,解得00),且¬p是¬q的必要不充分条件,则实数m的
取值范围为 .
解法一 由x2 - 2x+1 - m2≤0(m>0),得1 - m≤x≤1+m,故q对应的集合为M={x|1 - m≤x≤1+m,m>0},¬q对应的集合为A={x|x>1+m或x<1 - m,m>0}.
由|1 - x - 13|≤2,得 - 2≤x≤10,故p对应的集合为N={x| - 2≤x≤10},¬p对应的集合为B={x|x>10或x< - 2}.
因为¬p是¬q的必要不充分条件,
所以A⫋B,即m>0,1 - m≤ - 2,1+m>10或m>0,1 - m< - 2,1+m≥10,解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9,+∞).
解法二 由x2 - 2x+1 - m2≤0(m>0),得1 - m≤x≤1+m,故q对应的集合为M={x|1 - m≤x≤1+m,m>0},由|1 - x - 13|≤2,得 - 2≤x≤10,
故p对应的集合为N={x| - 2≤x≤10}.
因为¬p是¬q的必要不充分条件,
所以q是p的必要不充分条件,
即p是q的充分不必要条件,所以N⫋M,
所以m>0,1 - m< - 2,1+m≥10或m>0,1 - m≤ - 2,1+m>10,解得m≥9,
所以实数m的取值范围为[9,+∞).
易错警示
求解参数取值范围时:(1)注意对区间端点值的处理;(2)注意条件的等价变形.
3.[2020山西运城调研检测]已知集合A={x|(13)x2 - x - 6≤1},B={x|log3(x+a)≥1},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
考法3 逻辑联结词
命题角度1 判断含逻辑联结词的命题的真假
4已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2 - x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是
A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4
先判断出p1,p2的真假→再由真值表进行判断→得出正确结论
对于p1,(充分性)若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
所以xy=|xy|,
所以xy≥0.故p1为真命题.
解法一 对于p2,y'=2xln 2 - 12xln 2=(2x - 12x)ln 2,
当x∈(0,+∞)时,2x>12x,
又ln 2>0,所以y'>0,所以函数单调递增;
同理,当x∈( - ∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.(利用导函数判断命题真假)
由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.
解法二 对于p2,由于y=2x+2 - x≥22x·2 - x=2(等号在x=0时取得),故函数在R上有最小值2,故这个函数一定不是单调函数,故p2是假命题,(利用基本不等式判断命题真假)
由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.
C
命题角度2 已知复合命题真假求参数取值范围
5已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,则实数m的取值范围是 .
“p或q”为真命题→依据p,q分别为真命题求出m的取值范围→二者的并集即“p或q”为真命题时m的取值范围
由“p或q”为真命题,得p为真命题或q为真命题.
当p为真命题时,设方程x2+mx+1=0的两根分别为x1,x2,
则有Δ=m2 - 4>0,x1+x2= - m>0,x1x2=1>0,
解得m< - 2;
当q为真命题时,有Δ' =16(m+2)2 - 16<0,
解得 - 30成立;q:关于x的方程x2 - x+a=0有实数根.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,那么实数a的取值范围为 .
考法4 全 (特)称命题
命题角度1 全(特)称命题的真假判断
6给出下列四个命题:
p1:∃x0∈(0,+∞),(12)x0<(13)x0;
p2:∃x0∈(0,1),log12x0>log13x0;
p3:∀x∈(0,+∞),(12)x>log12x;
p4:∀x∈(0,13),(12)x(13)x0成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=12时,有1=log1212=log1313>log1312,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数y=(12)x与对数函数y=log12x在(0,+∞)上的图象,可以判断p3是假命题;对于p4,结合指数函数y=(12)x与对数函数y=log13x在(0,13)上的图象,可以判断p4是真命题.
D
命题角度2 全(特)称命题的否定
7 [2015新课标全国Ⅰ,3,5分]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
命题p是特称命题,故¬p是全称命题,又“>”的否定是“≤”,因此¬p为“∀n∈N,n2≤2n”.
C
易错警示
写全(特)称命题的否定时,要注意两个方面:一是量词的改写;二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键,如命题“∀x∈R,ln x>0”中的“ln x>0”实质上是一个由逻辑联结词“且”联结的复合结论,即“ln x有意义且ln x>0”,所以“ln x>0”的否定应为:
“ln x无意义或ln x≤0”.
命题角度3 与全(特)称命题有关的参数问题
8已知命题p“∃x∈R,使得ex≤2x+a”为假命题,则实数a的取值范围是 .
命题p是一个特称命题且为假命题,故¬p是一个全称命题且为真命题.
¬p:∀x∈R,使得ex>2x+a,即ex - 2x - a>0恒成立.
设f (x)=ex - 2x - a,则f ' (x)=ex - 2.
令f ' (x)=0,即ex - 2=0,解得x=ln 2.
所以当x∈( - ∞,ln 2)时,f ' (x)<0,函数f (x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f ' (x)>0,函数f (x)单调递增.
所以当x=ln 2时,函数f (x)取得最小值f (ln 2)=eln 2 - 2ln 2 - a=2 - 2ln 2 - a.
由不等式ex - 2x - a>0恒成立可得2 - 2ln 2 - a>0,所以a<2 - 2ln 2.
所以a的取值范围是( - ∞,2 - 2ln 2).
5.(1)已知函数f (x)=x+4x,g(x)=2x+a,若∀x1∈[12,1],∃x2∈[2,3],使得f (x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是 .
(2)若将(1)中“f (x1)≥g(x2)”改为“f (x1)≤g(x2)”,则实数a的取值范围是 .
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1.D 由原命题和逆否命题的关系可知D正确.
2.A 该命题的否定是将存在量词改为全称量词,等号改为不等号,故选A.
3.B 对于选项A,“若am20”的否定是“对任意的x∈R,x2 - x≤0”,故B正确.对于选项C,命题“p或q”为真命题,则命题p,q可以都真,也可以一真一假,故C错误.对于选项D,已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故D错误.
4.A 因为不等式1m< - 1等价于m+1m<0,即 - 1 - 1成立,所以“1m< - 1”是“m> - 1”的充分条件;当m> - 1 时,1m< - 1不一定成立,所以“1m< - 1”不是“m> - 1”的必要条件.所以“1m< - 1”是“m> - 1”的充分不必要条件,故选A.
5.A 解法一 作出不等式组表示的平面区域D,如图D 1 - 2 - 1中阴影部分所示,
图D 1 - 2 - 1
直线2x+y=9和直线2x+y=12均穿过了平面区域D,不等式2x+y≥9表示的区域为直线2x+y=9及其右上方的区域,所以命题p为真命题;不等式2x+y≤12表示的区域为直线2x+y=12及其左下方的区域,所以命题q为假命题.所以命题p∨q和p∧¬q均为真命题.故选A.
解法二 在不等式组表示的平面区域D内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x+y≥9,所以命题p为真命题;点(7,0)不满足不等式2x+y≤12,所以命题q为假命题.所以命题p∨q和p∧¬q均为真命题.故选A.
6.1, - 1(答案不唯一,满足a>0,b<0即可) 由题意知,当a=1,b= - 1时,满足a>b,此时1a>1b,则“若a>b,则1a<1b”为假命题,故答案可以为1, - 1.
1.D 对于选项A,命题“若x2 - 3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2 - 3x+2≠0”,故A正确.
对于选项B,易知“a>1”是“函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数”的充要条件,所以“a=2”是“函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故B正确.
对于选项C,命题p:∃n∈N,2n>1 000,则¬p:∀n∈N,2n≤1 000,故C正确.
对于选项D,因为对任意x<0,2x>3x,所以命题“∃x∈( - ∞,0),2x<3x”是假命题,故D错误.
故选D.
2.B 记p表示“便宜”,q表示“不是好货”,那么按“便宜没好货”的说法,p⇒q,即“便宜”(p)是“不是好货”(q)的充分条件;其逆否命题为“¬q⇒¬p”,即¬q(“好货”)是¬p(“不便宜”)的充分条件,所以“不便宜”是“好货”的必要条件,故选B.
3.( - ∞,0] 由(13)x2 - x - 6≤1,得x2 - x - 6≥0,解得x≤ - 2或x≥3,则A={x|x≤ - 2或x≥3}.由log3(x+a)≥1,得x+a≥3,即x≥3 - a,则B={x|x≥3 - a}.由题意知B⫋A,所以3 - a≥3,解得a≤0.
4.( - ∞,0)∪(14,4) 当p为真命题时,“对任意实数x,都有ax2+ax+1>0成立”⇔a=0或a>0,Δ1<0,所以0≤a<4.当q为真命题时,“关于x的方程x2 - x+a=0有实数根”⇔Δ2=1 - 4a≥0,所以a≤14.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q一真一假.若p真q假,则14
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