2012高中数学 3_1_5课时同步练习 新人教A版选修2-1

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2012高中数学 3_1_5课时同步练习 新人教A版选修2-1

第3章 ‎‎3.1.5‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若=,则C的坐标是(  )‎ A.      B. C. D. 解析: =(-3,-2,-4)‎ = ‎∴C.‎ 答案: A ‎2.已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(  )‎ A.(1,1,1) B.(-2,-3,5)‎ C.(2,-3,5) D.(-4,6,-2)‎ 解析: 若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-‎2a,‎ 所以a∥b.‎ 答案: D ‎3.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦为,则λ=(  )‎ A.2 B.-2‎ C.-2或 D.2或- 解析: 因为a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,‎ 又因为a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=·· ‎=,所以=6-λ,‎ 解得λ=-2或.‎ 答案: C ‎4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+‎2c|等于(  )‎ A.3 B.2 C. D.5‎ 解析: ∵a-b+‎2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)‎ ‎=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),‎ ‎∴|a-b+‎2c|=3.‎ 答案: A ‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角为________.‎ 解析: a+b=(cos α+sin α,2,sin α+cos α),‎ a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α),‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0,‎ ‎∴a+b与a-b的夹角为90°.‎ 答案: 90°‎ ‎6.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k=________.‎ 解析: 因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)·b=0,‎ 所以ka·b-|b|2=0,‎ 所以k(-1×1+0×2+1×3)-()2=0,‎ 解得k=7.‎ 答案: 7‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足DB∥AC,DC∥AB的点D的坐标.‎ 解析: 设点D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),‎ ‎∵DB∥AC,DC∥AB,‎ ‎∴∥,∥,‎ 有 解得 所以D(-1,1,2).‎ ‎8.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.‎ ‎(1)当|c|取最小值时,求t的值;‎ ‎(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.‎ 解析: (1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,‎ 所以Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,‎ 即-4≤t≤-.‎ 又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),‎ 所以|c|= ‎=.‎ 因为t∈时,上述关于t的函数单调递减,‎ 所以当t=-时,|c|取最小值.‎ ‎(2)- 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分别为AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D‎1M⊥平面EFB1.‎ 解析: 如右图所示,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(1,0,0)、B1(1,1,1)、‎ C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E、‎ M(1,1,m).‎ 连结AC.则=(-1,1,0).‎ 而E、F分别为AB、BC的中点,‎ 所以==.‎ 又因为=,‎ =(1,1,m-1),‎ 因为D‎1M⊥平面EFB1,‎ 所以D‎1M⊥EF,且D‎1M⊥B1E,‎ 即·=0,且·=0.‎ 所以,‎ 解得m=.‎ ‎ ‎
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