重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

‎2019年春高二（下）期末测试卷 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.己知复数z满足，则 A. B. C. 5 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数再计算.‎ 详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.‎ ‎2.设随机变量，若，则n=‎ A. 3 B. 6 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量，得到方程组，解得答案.‎ ‎【详解】随机变量，‎ 解得 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.‎ ‎3.己知变量x，y的取值如下表：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，据此预测：当时，y的值约为 A. 5.95 B. 6.65 C. 7.35 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算数据的中心点，代入回归方程得到，再代入计算对应值.‎ ‎【详解】 ‎ 数据中心点为代入回归方程 当时，y的值为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.设随机变量X服从正态分布，若，则=‎ A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再根据正态分布的对称性得到 ‎【详解】随机变量X服从正态分布 故答案选A ‎【点睛】本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型.‎ ‎5.己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是 A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.‎ ‎【详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题 命题q：实数a的平方为非负数，假命题 为假命题，A错误 为假命题，B错误 真命题，C错误 是假命题，D正确 故答案选D ‎【点睛】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.‎ ‎6.己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为 A. 25 B. 50 C. 125 D. 250‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算数据平均值，再利用方差公式得到答案.‎ ‎【详解】数据恰好构成公差为5的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数据的方差的计算，将平均值表示为是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A. －20 B. －15 C. 15 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.‎ ‎【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64 ‎ 当时，系数为15‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在上单调递增，等价与导函数在大于等于0恒成立，即.‎ ‎【详解】函数在上单调递增 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，转化为导数大于等于0是解题的关键，忽略掉等号是容易犯的错误.‎ ‎9.将4本不同的课外书全部分给3名同学，每名同学最多可分得2本，则不同的分配方法种数为 A. 32 B. 48 C. 54 D. 72‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将情况分为：3个同学得到书和2个同学得到书两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】当3名同学都得到书时有：‎ 当2名同学都得到书时有： ‎ 共有种情况 故答案选C ‎【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两种可以简化运算，其中容易忽略掉平均分组问题忘记除以.‎ ‎10.己知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到得到函数的单调区间，只需满足解得答案案.‎ ‎【详解】‎ 在和上单增,在上单减，‎ 当时，，当时，，‎ 故要有三个零点，只需满，‎ 即 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，计算函数的单调区间得到函数简图是解题的关键，意在考查学生对于函数的导数的综合应用能力.‎ ‎11.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性不同则只能是2,2,1，再计算概率 ‎【详解】由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,‎ 若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1，‎ 且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，‎ 故所求概率为 故答案选C ‎【点睛】本题考查了概率的计算，判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.己知函数，若对任意成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等价于，设，计算函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 令,则，‎ 故在.上单减，在上单增，‎ ‎:.,故.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，构造是解题的关键，将恒成立问题转化为最小值问题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.复数（i为虚数单位）的共扼复数是________________‎ ‎【答案】i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数 ，再计算其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了共轭复数，属于基础题型.‎ ‎14.数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第30项是________。‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，，第29个数为8，第30个数为-8.‎ ‎【详解】到个数共有数个 则 ‎ ‎ ‎ 则第29个数为8，第30个数为-8‎ 故答案为-8‎ ‎【点睛】本题考查了数列的项，先计算是解题的关键，意在考查学生对于数列知识的灵活运用.‎ ‎15.己知函数，其是的导函数，则曲线在点（1，）处的切线方程为____________________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导计算，再计算，根据切线公式得到答案.‎ ‎【详解】解析:,‎ 故，即,‎ ‎.切线方程为 即,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了切线问题，先计算出是解题的关键，属于常考题型.‎ ‎16.己知随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a ‎2a b ‎，当最大时，=_______________。‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算，，当时最大,得到答案.‎ ‎【详解】由题知,‎ ‎,‎ 故当时最大,‎ 此时 故答案为 ‎【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知二项式的展开式中，各项系数之和为243，其中实数a为常数 ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项。‎ ‎【答案】（1）（2）和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，则有.‎ ‎（2）先计算最大项为第3项和第4项，再得到第3项和第4项.‎ ‎【详解】解:(1)令，则有.‎ ‎(2)的展开式中各项的二项式系数分别为;‎ 其中均为最大,‎ 故所求项为第3项和第4项.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式，属于常考基础题型.‎ ‎18.己知函数 ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）求在区间[1，4]上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导取导数大于零解不等式得到答案.‎ ‎（2）根据（1）得到在[1,2)上单减，(2,4]上单增，得到函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以的单调递增区间为:‎ ‎(2)由(1)知:在[1,2)上单减，(2,4]上单增，又 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和最值，忽略边界值的大小比较是容易犯的错误.‎ ‎19.近年来，某市为响应国家号召，大力推行全民健身运动，加强对市内各公共体育运动设施的维护，几年来，经统计，运动设施的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系。‎ ‎（1）求出y关于x的回归直线方程少 ‎（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过100万元？‎ 参考公式：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】（1）（2）预测至少为10年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算，代入最小二乘估计公式得到答案.‎ ‎（2）解不等式得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)，所以，，‎ 所以回归直线方程为.‎ ‎(2)，所以预测至少为10年，‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中，物理与历史的二选一是否与性别有关，某高中随机对该校50名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表：‎ 选物理 选历史 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 己知在这50人中随机抽取1人，抽到选物理的人的概率为。‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关?‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式，其中为样本容量）‎ ‎（2）己知在选物理的10位女生中有3人选择了化学、地理，有5人选择了化学、生物，有2人选择了生物、地理，现从这10人中抽取3人进行更详细的学科意愿调查，记抽到的3人中选择化学的有X人，求随机变量X的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】（1）填表见解析,有99.5%的把握认为二者有关;（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选物理的有30人，完善列联表，再计算得到答案.‎ ‎（2）X的可能取值为1，2，3，分别计算对应概率，得到分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】解:(1)由题意知选物理的有30人，则补充写列联表如右:‎ 选物理 选历史 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎，‎ 所以有99.5%的把握认为二者有关;‎ ‎(2)X的可能取值为:1，2,3‎ 则其分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点睛】本题考查了独立性检验，分布列及数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数a使得不等式对都成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）在上单增，在上单减，的极小值为，无极大值（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求导，根据导数的正负得到单调区间，再计算极值.‎ ‎（2）分为两种情况，构造函数，判断函数的单调性，讨论得到.‎ ‎【详解】（1），由得即 在上单增，在上单减 的极小值为，无极大值;‎ ‎(2)，:当时，，当时，，‎ 当时 当时，‎ 令，则 由题知即，‎ 故只需考虑.‎ 当时:‎ 若则即，.单调递增，，符合题意;‎ 若则故在上单减，上单增，，不合题意;‎ 当时:‎ 若则即单调递增， ，符合题意:‎ 若，则，故在.上单增，上单减， ，不合题意:‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，函数的恒成立问题，本题综合性强，计算量大，意在考查学生的计算能力和对于函数，导数性质的灵活运用，其中构造函数可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系，己知直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求的面积。‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.‎ ‎（2），联立方程得到代入式子得到答案.‎ ‎【详解】直线l的参数方程为 ‎（2） ‎ 设直线l与轴的交点为 ，则 ‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，将面积分为可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎23.己知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意成立，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将函数 去掉绝对值符号，化简为分段函数，分别解不等式得到答案.‎ ‎（2）分别画出的图像，得到且，解得答案.‎ ‎【详解】解:(1)‎ 当时，,即 当时，,即;‎ 当时，，即;‎ 综上，;‎ ‎(2)与的图像如下:‎ 由图知，要使恒成立，‎ 只需且，‎ 即且 即且 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，恒成立问题，利用函数图像解题可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生对于绝对值不等式和绝对值函数的灵活运用.‎ ‎ ‎