数学卷·2018届云南省昭通市水富县云天化中学高二下学期段考数学试卷（理科）（1） （解析版）

数学卷·2018届云南省昭通市水富县云天化中学高二下学期段考数学试卷（理科）（1） （解析版）

‎2016-2017学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（下）段考数学试卷（理科）（1）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．已知向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），若∥，则实数x的值等于（　　）‎ A．﹣ B． C．1 D．﹣1‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（　　）‎ A．12 B．8 C．6 D．4‎ ‎5．若，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c ‎6．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎7．设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎8．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． +2 B． +1 C． +1 D． +1‎ ‎12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为　　．‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出的a=　　．‎ ‎15．函数f（x）=ex•lnx在点（1，0）处的切线方程为　　．‎ ‎16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是1与an的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第1组 ‎[18，28）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 ‎[28，38）‎ ‎18‎ a 第3组 ‎[38，48）‎ ‎27‎ ‎0.9‎ 第4组 ‎[48，58）‎ x ‎0.36‎ 第5组 ‎[58，68）‎ ‎3‎ ‎0.2‎ ‎（1）分别求出a，x的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，‎ PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ‎，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎22．已知函数f（x）=（ax﹣2）ex在x=1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（下）段考数学试卷（理科）（1）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据题意，解不等式（x+1）（x﹣2）＜0可得集合B，进而由集合交集的定义计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，（x+1）（x﹣2）＜0⇒﹣1＜x＜2，‎ 则B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，‎ 又由集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ 则A∩B={0，1}，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），若∥，则实数x的值等于（　　）‎ A．﹣ B． C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），且∥，‎ ‎∴2x+1﹣3（2﹣x）=0‎ 解得x=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．‎ ‎【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；‎ α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；‎ ‎∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．如图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（　　）‎ A．12 B．8 C．6 D．4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】四棱锥的底面为矩形，高为3，代入体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：由俯视图可知四棱锥底面为矩形，边长为2和6，‎ 由正视图和侧视图可知四棱锥的高为3，‎ ‎∴四棱锥的体积．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c ‎【考点】不等关系与不等式；有理数指数幂的化简求值．‎ ‎【分析】利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=0，，，∴a＜b＜c．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．‎ ‎【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，‎ ‎∴，‎ ‎∴q4+q2+1=7，‎ ‎∴q4+q2﹣6=0，‎ ‎∴q2=2，‎ ‎∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，‎ 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1‎ 令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数 令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数 所以x=﹣1为f（x）的极小值点 故选D ‎　‎ ‎8．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2），‎ 把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），‎ 令=2可解得x=﹣2，即D（﹣2，2），‎ ‎∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=×3×1=，‎ ‎∴所求概率P==‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：根据题意作出图形：‎ 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，‎ 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．‎ ‎∵CO1==，‎ ‎∴OO1=，‎ ‎∴高SD=2OO1=，‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形，‎ ‎∴S△ABC=，‎ ‎∴V=××=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由周期函数的周期计算公式算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．‎ ‎【解答】解：由题知ω==2，‎ 所以f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． +2 B． +1 C． +1 D． +1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），‎ ‎∴p=2c，‎ ‎∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，‎ 将x=c代入双曲线方程得到 A（c，），‎ 将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．‎ 解得，‎ ‎∴，解得：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），‎ ‎∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），‎ 由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，‎ 设h（x）=f（x）+f（2﹣x），‎ 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，‎ 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，‎ 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．‎ 即h（x）=，‎ 作出函数h（x）的图象如图：‎ 当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，‎ 当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，‎ 故当b=时，h（x）=b，有两个交点，‎ 当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，‎ 由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，‎ 即h（x）=b恰有4个根，‎ 则满足＜b＜2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入z=x+2y得答案．‎ ‎【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，‎ 由z=x+2y，得y=﹣+．‎ 要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，‎ 由图可知，当直线y=﹣+．‎ 过点A时截距最大．‎ 联立，解得，‎ ‎∴A（0，1），‎ ‎∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出的a=　﹣4　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的b，a，i的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①1＜40，b=﹣1，a=﹣1，i=2；②；③3＜40，b=﹣4，a=﹣4，i=4‎ ‎；④4＜40，b=﹣1，a=﹣1，i=5，…，周期为3.39＜40，b=﹣4，a=﹣4，i=40．‎ 故答案为﹣4．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=ex•lnx在点（1，0）处的切线方程为　ex﹣y﹣e=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求出切线方程 斜率，然后求解切线方程即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ex•lnx，‎ ‎∴f′（x）=ex•lnx+， =e．‎ 所求切线方程为：y=e（x﹣1），即：ex﹣y﹣e=0．‎ 故答案为：ex﹣y﹣e=0．‎ ‎　‎ ‎16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　4　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．‎ ‎【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴m=﹣‎ ‎∴直线l的倾斜角为30°，‎ ‎∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎∴|CD|==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，‎ ‎∴cos（B+C）=，‎ 又∵0＜B+C＜π，‎ ‎∴B+C=，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴A=； ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，‎ 得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，‎ 把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，‎ 整理得：bc=4，‎ 则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是1与an的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）n=1时，可求得a1=1；依题意，4Sn=（an+1）2，n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，二式相减，可得an﹣an﹣1=2，从而可求数{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用裂项法可求得=﹣，于是可求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）n=1时，a1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，‎ 又4Sn=（an+1）2，‎ 两式相减得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，‎ ‎∵an＞0，‎ ‎∴an﹣an﹣1=2，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）==﹣，‎ Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第1组 ‎[18，28）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 ‎[28，38）‎ ‎18‎ a 第3组 ‎[38，48）‎ ‎27‎ ‎0.9‎ 第4组 ‎[48，58）‎ x ‎0.36‎ 第5组 ‎[58，68）‎ ‎3‎ ‎0.2‎ ‎（1）分别求出a，x的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；‎ ‎（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；‎ ‎（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．‎ ‎【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…‎ 第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…‎ 第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…‎ ‎（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…‎ ‎（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1‎ ‎，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…‎ 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），‎ ‎（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）． …‎ ‎∴P（A）=． …‎ 答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，‎ PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．‎ ‎（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．‎ ‎∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．‎ ‎∵AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC．…‎ ‎（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．‎ 设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2． …‎ 于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴k=±1．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=（ax﹣2）ex在x=1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；‎ ‎（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aex+（ax﹣2）ex=（ax+a﹣2）ex，‎ 由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，‎ 解得：a=1，‎ 验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）ex取得极小值，所以a=1；‎ ‎（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）ex，f′（x）=ex+（x﹣2）ex=（x﹣1）ex．‎ x ‎（﹣∞，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 减 增 所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．‎ 当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，‎ fmin（x）=f（m）=（m﹣2）em．‎ 当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，‎ f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（1）=﹣e．‎ 当m≤0时，m+1≤1，‎ f（x）在[m，m+1]单调递减，．‎ 综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）ex，‎ f′（x）=ex+（x﹣2）ex=（x﹣1）ex．‎ 令f′（x）=0得x=1，‎ 因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，‎ 所以fmax（x）=0，fmin（x）=﹣e，‎ 所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）=e，‎