2021届新高考版高考数学一轮复习精练：专题十二　数系的扩充与复数的引入（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：专题十二　数系的扩充与复数的引入（试题部分）

专题十二　数系的扩充与复数的引入 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、复数的概念及几何意义 ‎1.理解复数的基本概念,复数相等的充要条件.‎ ‎2.了解复数的代数表示法及其几何意义.‎ 从近几年高考情况来看,考查的重点是复数的四则运算,同时也兼顾考查求模、共轭复数等基本知识,应加强基础知识的识记.‎ ‎1.理解复数定义中的a+bi,切记a,b∈R的限定,虚部为b,并非bi,此处b∈R,记准纯虚数的定义.‎ ‎2.对于四则运算中的复数除法,分母实数化是关键.‎ ‎3.复数的模及几何意义,通过实例加以明晰,特别是圆的复数形式表示.‎ 二、复数的运算 ‎1.会进行复数代数形式的四则运算.‎ ‎2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ ‎【真题探秘】‎ 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　复数的概念及几何意义 ‎1.复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是(　　)‎ A.‎3‎　　　　　B.1　　　‎ C.-1　　　　　D.-‎‎3‎ 答案　D ‎2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　　‎ B.充要条件 C.必要不充分条件　　　　　‎ D.既不充分也不必要条件 答案　B ‎3.已知复数z=‎2‎‎1-i,给出下列四个结论:①|z|=2;②z2=2i;③z的共轭复数z=-1+i;④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(　　)‎ A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3‎ 答案　B ‎4.已知复数z的共轭复数为z,若‎3z‎2‎‎+‎z‎2‎(1-2‎2‎i)=5-‎2‎i(i为虚数单位),则在复平面内,复数z所对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　D.第四象限 答案　A 考点二　复数的运算 ‎5.若(x+2i)i=y-‎1‎i(x,y∈R,i是虚数单位),则x+y=(　　)‎ A.-1　　　B.1　　　C.3　　　D.-3‎ 答案　A ‎6.已知复数z=‎3‎‎1-2i(i是虚数单位),则z的实部为(　　)‎ A.-‎3‎‎5‎　　　B.‎3‎‎5‎　　　C.-‎1‎‎5‎　　　D.‎‎1‎‎5‎ 答案　B ‎7.已知i为虚数单位,则‎1-i‎1+i‎2‎=(　　)‎ A.-1　　　B.1　　　C.-i　　　D.i 答案　A ‎8.若z=2+i,则‎4iz·z-1‎=(　　)‎ A.i　　　B.-i　　　C.1　　　D.-1‎ 答案　A 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　复数有关概念的解题方法 ‎1.(2019东北三省三校(师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,1)复数(1-i)(3+i)的虚部是(　　)‎ A.4　　　B.-4　　　C.2　　　D.-2‎ 答案　D ‎2.(2019辽宁辽南协作体一模)已知i是虚数单位,复数z=‎1-i‎|i|‎,下列说法正确的是(　　)‎ A.z的虚部为-i　　　　　B.z对应的点在第一象限 C.z的实部为-1　　　　　D.z的共轭复数为1+i 答案　D ‎3.(2019湖南长沙统一检测)在复平面内,复数m+im-i(i为虚数单位)对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-1)　　　B.(-∞,0)　　　C.(0,+∞)　　　D.(1,+∞)‎ 答案　D ‎4.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,2)已知i为虚数单位,复数z=‎3+2i‎2-i,则以下为真命题的是(　　)‎ A.z的共轭复数为‎7‎‎5‎-‎‎4i‎5‎ B.z的虚部为‎8‎‎5‎ C.|z|=3‎ D.z在复平面内对应的点在第一象限 答案　D 考法二　复数四则运算问题的解法 ‎5.(2018陕西质检(二))若(1-mi)(m+i)<0,其中i为虚数单位,则m的值为(　　)‎ A.-1　　　B.-2　　　C.-3　　　D.-4‎ 答案　A ‎6.(2019吉林长春质量监测(一),2)复数(-1+3i)(3-i)=(　　)‎ A.10　　　B.-10　　　C.10i　　　D.-10i 答案　C ‎7.(2019辽宁大连第一次(3月)双基测试,1)‎1+i‎1-i=(　　)‎ A.i　　　B.-i　　　C.2i　　　D.-2i 答案　A ‎8.(2019黑龙江大庆二模,1)若复数z满足(2+i)z=4-(1+i)2(其中i是虚数单位),则|z|=(　　)‎ A.2　　　B.4　　　C.‎5‎　　　D.2‎‎5‎ 答案　A ‎【五年高考】‎ 考点一　复数的概念及几何意义 ‎1.(2018浙江,4,4分)复数‎2‎‎1-i(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)‎ A.1+i　　　B.1-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　B ‎2.(2019课标Ⅱ,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　B.第二象限　　　C.第三象限　　　D.第四象限 答案　C ‎3.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-3,1)　　　　　B.(-1,3)‎ C.(1,+∞)　　　　　D.(-∞,-3)‎ 答案　A ‎4.(2018北京,2,5分)在复平面内,复数‎1‎‎1-i的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　D.第四象限 答案　D ‎5.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,1)　　　B.(-∞,-1)　　　C.(1,+∞)　　　D.(-1,+∞)‎ 答案　B ‎6.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+‎3‎i,z·z=4,则a=(　　)‎ A.1或-1　　　B.‎7‎或-‎7‎　　　C.-‎3‎　　　D.‎‎3‎ 答案　A ‎7.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)‎ A.1+2i　　　B.1-2i　　　C.-1+2i　　　D.-1-2i 答案　B ‎8.(2017课标Ⅰ,3,5分)设有下面四个命题:‎ p1:若复数z满足‎1‎z∈R,则z∈R;‎ p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;‎ p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z‎2‎;‎ p4:若复数z∈R,则z∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1,p3　　　　　B.p1,p4‎ C.p2,p3　　　　　D.p2,p4‎ 答案　B ‎9.(2018江苏,2,5分)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为　　　　. ‎ 答案　2‎ 考点二　复数的运算 ‎10.(2019课标Ⅲ,2,5分)若z(1+i)=2i,则z=(　　)‎ A.-1-i　　　B.-1+i　　　C.1-i　　　D.1+i 答案　D ‎11.(2018课标Ⅰ,1,5分)设z=‎1-i‎1+i+2i,则|z|=(　　)‎ A.0　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.1　　　D.‎‎2‎ 答案　C ‎12.(2018课标Ⅱ,1,5分)‎1+2i‎1-2i=(　　)‎ A.-‎4‎‎5‎-‎3‎‎5‎i　　　　　B.-‎4‎‎5‎+‎3‎‎5‎i C.-‎3‎‎5‎-‎4‎‎5‎i　　　　　D.-‎3‎‎5‎+‎4‎‎5‎i ‎ 答案　D ‎13.(2018课标Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)=(　　)‎ A.-3-i　　　B.-3+i　　　C.3-i　　　D.3+i 答案　D ‎14.(2017课标Ⅱ,1,5分)‎3+i‎1+i=(　　)‎ A.1+2i　　　B.1-2i　　　C.2+i　　　D.2-i 答案　D ‎15.(2016课标Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(　　)‎ A.1　　　B.‎2‎　　　C.‎3‎　　　D.2‎ 答案　B ‎16.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足‎1+z‎1-z=i,则|z|=(　　)‎ A.1　　　B.‎2‎　　　C.‎3‎　　　D.2‎ 答案　A ‎17.(2015山东,2,5分)若复数z满足z‎1-i=i,其中i为虚数单位,则z=(　　)‎ A.1-i　　　B.1+i　　　C.-1-i　　　D.-1+i 答案　A ‎18.(2019天津,9,5分)i是虚数单位,则‎5-i‎1+i的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎13‎ ‎19.(2019浙江,11,4分)复数z=‎1‎‎1+i(i为虚数单位),则|z|=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎20.(2018天津,9,5分)i是虚数单位,复数‎6+7i‎1+2i=　　　　. ‎ 答案　4-i ‎21.(2017浙江,12,6分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　. ‎ 答案　5;2‎ 教师专用题组 考点一　复数的概念及几何意义 ‎1.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数‎····‎为(　　)‎ A.i　　　B.-i　　　C.1　　　D.-1‎ 答案　A ‎2.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=(　　)‎ A.2-3i　　　B.2+3i　　　C.3+2i　　　D.3-2i 答案　A ‎3.(2014课标Ⅱ,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　　)‎ A.-5　　　B.5　　　C.-4+i　　　D.-4-i 答案　A ‎4.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎5.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　. ‎ 答案　5‎ ‎6.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ 考点二　复数的运算 ‎7.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(　　)‎ A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2‎ 答案　B ‎8.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)=(　　)‎ A.1+2i　　　B.1-2i　　　C.-1+2i　　　D.-1-2i 答案　A ‎9.(2015湖南,1,5分)已知‎(1-i‎)‎‎2‎z=1+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)‎ A.1+i　　　B.1-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　D ‎10.(2014课标Ⅰ,2,5分)‎(1+i‎)‎‎3‎‎(1-i‎)‎‎2‎=(　　)‎ A.1+i　　　B.1-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　D ‎11.(2013课标Ⅱ,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(　　)‎ A.-1+i　　　B.-1-i　　　C.1+i　　　D.1-i 答案　A ‎12.(2013课标Ⅰ,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)‎ A.-4　　　B.-‎4‎‎5‎　　　C.4　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　D ‎13.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎ ‎14.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎15.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎16.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为‎3‎,则(a+bi)(a-bi)=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎17.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共55分)‎ ‎1.(2020届山东夏季高考模拟,2)已知a+bi(a,b∈R)是‎1-i‎1+i的共轭复数,则a+b=(　　)‎ A.-1　　　B.-‎1‎‎2‎　　　C.‎1‎‎2‎　　　D.1‎ 答案　D ‎2.(2020届皖江名校联盟8月摸底,2)已知复数z=‎1‎‎3+4i,则下列说法正确的是(　　)‎ A.复数z的实部为3‎ B.复数z的虚部为‎4‎‎25‎i C.复数z的共轭复数为‎3‎‎25‎+‎4‎‎25‎i D.复数z的模为1‎ 答案　C ‎3.(2020届九师联盟9月质量检测,1)已知i为虚数单位,则复数(2-i)i3的虚部为(　　)‎ A.-2　　　B.2　　　C.-1　　　D.1‎ 答案　A ‎4.(2020届浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z=‎2-i‎1+i(i为虚数单位),则复数z的模等于(　　)‎ A.‎10‎‎2‎　　　B.‎3‎‎2‎‎2‎　　　C.‎3‎　　　D.‎‎5‎‎2‎ 答案　A ‎5.(2020届福建上杭一中第一次月考,2)已知i是虚数单位,则复数z=‎(1-i)(4-i)‎‎1+i的共轭复数的虚部为(　　)‎ A.-4i　　　B.-4　　　C.4i　　　D.4‎ 答案　D ‎6.(2020届广东县中10月联考,2)已知复数z满足z+2i=3+zi(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　D.第四象限 答案　A ‎7.(2018湖南株洲二模,2)设i为虚数单位,1-i=‎2+ai‎1+i,则实数a=(　　)‎ A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.-1‎ 答案　C ‎8.(2019四川成都外国语学校开学考试)已知i是虚数单位,复数z=‎4i‎(1-i‎)‎‎2‎+2‎+i2 018在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　B.第二象限　　　C.第三象限　　　D.第四象限 答案　B ‎9.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,2)已知复数z=‎(2+ai)i‎1+i是纯虚数,其中a是实数,则z等于(　　)‎ A.2i　　　B.-2i　　　C.i　　　D.-i 答案　A ‎10.(2018辽宁大连一模)若复数z=‎1+i‎1+ai为纯虚数,则实数a的值为(　　)‎ A.1　　　B.0　　　C.-‎1‎‎2‎　　　D.-1‎ 答案　D ‎11.(2019辽宁部分重点高中联考,2)复数‎2-mi‎1+2i=A+Bi(m、A、B∈R),且A+B=0,则m的值是(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎　　　B.‎2‎‎3‎　　　C.‎2‎　　　D.2‎ 答案　A 二、多项选择题(共5分)‎ ‎12.(2020届山东青岛期初调研检测,11)欧拉公式eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是(　　)‎ A.eπ‎4‎i=‎2‎‎2‎-‎2‎‎2‎i　　　　 　B.eπ‎2‎i为纯虚数 C.复数eπi的模等于1　　　　　D.复数eπ‎3‎i的共轭复数为‎1‎‎2‎-‎3‎‎2‎i 答案　BCD 三、填空题(每题5分,共10分)‎ ‎13.(2020届福建厦门一中10月月考,13)在复平面内,复数z=ai‎1+i对应的点位于第三象限,则实数a的取值范围是　　　. ‎ 答案　(-∞,0)‎ ‎14.(2020届福建上杭一中第一次月考,13)已知i为虚数单位,若复数z=‎1-ai‎1+i(a∈R)的虚部为-3,则|z|=　　　　. ‎ 答案　‎‎13‎