2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取特殊值检验，利用排除法得答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，则当时，故A错；当时，故B错；‎ 当时，，故C错；因为且，所以 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，属于简单题。‎ ‎2．在中，，，则（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理计算即可。‎ ‎【详解】‎ 由题根据正弦定理可得 即，解得 ，‎ 所以为或，又因为，所以为 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，属于简单题。‎ ‎3．已知数列满足，则（ ）‎ A．10 B．20 C．100 D．200‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得数列是以为首相，为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出 ‎【详解】‎ 因为，所以数列是以为首相，为公差的等差数列 ‎，所以，则 ‎【点睛】‎ 本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题。‎ ‎4．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知不等式的解集可知且；从而可解得的根，根据二次函数图象可得所求不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由的解集为可知：且 令，解得：，‎ ‎ 的解集为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过一次不等式的解集确定方程的根和二次函数的开口方向.‎ ‎5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）‎ A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 ‎【答案】D ‎【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为每一尺的重量构成等差数列，，，‎ ‎，‎ 数列的前5项和为．‎ 即金锤共重15斤，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．是中的最大值 B．是中的最小值 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.‎ 设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D ‎7．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）‎ A．4 B．8 C．16 D．64‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列性质可得：‎ 又各项不为零 ，即 由等比数列性质可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.‎ ‎8．在中，内角所对应的边分别为，若，且三边成等比数列，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理整理可得，进而可知在三角形中，由成等比数列得，再根据余弦定理化简配方，从而得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知，所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，解得，‎ 又因为，所以 ‎ 由成等比数列得 ‎ 所以，所以 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于简单题。‎ ‎9．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】中，，所以.‎ 由正弦定理得：.‎ 所以.‎ 所以，即 因为为的内角，所以 所以为等腰三角形.‎ 故选A.‎ ‎10．在中，已知其面积为，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题结合余弦定理可得，整理化简有，进而可计算出，再由正切的二倍角公式计算可得答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 又因为，所以，‎ 整理得，所以 ‎ 即，所以 ，则 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点有三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，属于一般题。‎ ‎11．已知数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A．200 B．210 C．400 D．410‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果。‎ ‎【详解】‎ 由题，，又因为 所以当时，可解的 当时，，与相减得 当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， ‎ 当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， ‎ 所以当为正整数时，，‎ 则 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题。‎ ‎12．已知数列满足，，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题结合不等式性质可得，利用累加法可求得答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 又因为，且，‎ 所以，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 累加得 又因为，所以 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用累加法求数列的通项公式，解题的关键是求得，属于一般题。‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，分式化乘积得，进而求得解集。‎ ‎【详解】‎ 由移项通分可得，即，解得，‎ 故解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，属于基础题。‎ ‎14．数列中，为的前项和，若，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，又因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以由等比数列的求和公式得，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题。‎ ‎15．若数列是正项数列，且，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立。‎ ‎【详解】‎ 数列是正项数列，且 所以，即 ‎ 时 两式相减得，‎ 所以（ ）‎ 当时，适合上式，所以 ‎【点睛】‎ 本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题。‎ ‎16．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中 分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 整理可得 ，由正弦定理得 ‎ 因为，‎ 所以 所以当时，的面积的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力。‎ 三、解答题 ‎17．已知公差大于零的等差数列满足：．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题可计算得，求出公差，进而求出通项公式 ‎（2）利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由公差及，解得，‎ 所以，所以通项 ‎ ‎（2）由（1）有， ‎ 所以数列的前项和．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式，属于简单题。‎ ‎18．在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求边长； ‎ ‎（2）若的面积为，求边长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.‎ 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，‎ 又，所以，．‎ 因为，所以． …6分 ‎（Ⅱ）因为，，所以．‎ 据余弦定理可得，所以． …12分 ‎【考点】正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集。‎ ‎（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）不等式可化为：，‎ ‎①当时，不等无解；‎ ‎②当时，不等式的解集为；‎ ‎③当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）由可化为：，‎ 必有：，化为，‎ 解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题。‎ ‎20．等差数列的各项均为正数，，的前项和为，为等比数列，，且 ．‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）的公差为，的公比为，利用等比数列的通项公式和等差数列的前项和公式，由列出关于的方程组，解出的值，从而得到与的表达式.‎ ‎（2）根据数列的特点,可用错位相减法求它的前项和,由（1）的结果知 ‎，两边同乘以2得 由(1)(2)两式两边分别相减,可转化为等比数列的求和问题解决.‎ 试题解析：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，‎ ‎，‎ 依题意有，即，‎ 解得或者（舍去），‎ 故。 4分 ‎（2）。 6分 ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得8分 ‎，‎ 所以12分 ‎【考点】1、等差数列和等比数列；2、错位相减法求特数列的前项和.‎ ‎21．在中，角所对的边是，若向量与共线.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题可得，利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式整理可得，进而得到答案。‎ ‎（2）由正弦定理得，，所以周长，化简整理得，再根据角的范围求得答案。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由与共线，得，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以 又，所以 因为，解得． ‎ ‎（2）由正弦定理得：，‎ 则，，‎ 所以周长 因为，，所以，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点有正弦定理边化角以及两角和差的正弦公式，三角函数的性质，属于一般题。‎ ‎22．已知数列前项和为，满足，‎ ‎（1）证明：数列是等差数列，并求；‎ ‎（2）设 ，求证：.‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由可得，当时，，两式相减可是等差数列，结合等差数列的通项公式可求 进而可求（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求和，即可证明．试题分析：（1）（2）‎ 试题解析：（1）由知，当 即 所以 而 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，且 ‎（2）因为 所以 ‎【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和