2018-2019学年新疆生产建设兵团第二中学高二上学期期中检测数学（理）试题 解析版

2018-2019学年新疆生产建设兵团第二中学高二上学期期中检测数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 新疆生产建设兵团第二中学2018-2019学年高二上学期期中检测数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知平面直线满足则“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.‎ 详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法：‎ ‎（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎2．命题“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：，，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎3．为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班名学生的身高(单位：)，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的名学生中，身高位于区间上的人数为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图，可以计算出身高位于区间上的频率，再根据频率计算身高位于区间上的人数即可.‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图可知，‎ 身高位于区间上的频率为，‎ 所以在抽测的名学生中，身高位于区间上的人数为人，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图，属于中档题.‎ ‎4．计算机执行下面的程序段后,输出的结果是（ ）‎ A． ， B． ，　 C． ，　 D． ，　‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为a=1+3=4,b=4-3=1.所以输出的a,b值分别为4,1.‎ ‎5．已知命题；命题．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：显然命题是真命题；命题若，则是假命题，所以是真命题，故为真命题.‎ 考点：命题的真假.‎ ‎6．如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由图易知，因为A中的数据较为分散，B中的数据较为集中，所以，因此选B。‎ 考点：平均数的概念；标准差的概念。‎ 点评：标准差是用来衡量数据分散程度的量，数据越集中，标准差越小，数据越分散，标准差越大。‎ ‎7．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一次摸球共有四种可能，第二次摸球有三种可能，故先后不放回摸出两球共有 种不同的结果，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”有两种结果，第一次摸出“孔”第二次摸出“孟”，第一次摸出“孟”第二次摸出“孔”，根据古典概型即可求出概率.‎ ‎【详解】‎ 第一次摸球共有四种可能，第二次摸球有三种可能，故先后不放回摸出两球共有 种不同的结果，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”有两种结果，第一次摸出“孔”第二次摸出“孟”，第一次摸出“孟”第二次摸出“孔”,所以.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列的应用，古典概型，属于中档题.‎ ‎8．下列说法正确的是（ ）‎ A． 袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B． 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C． 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D． 连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】‎ A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有 的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的意义，属于中档题.‎ ‎9．程序框图如图所示,若输出的，则输入的为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，转化为分段函数形式，然后根据分别代入三段函数中计算，排除不满足的情况，即可写出结果.‎ ‎【详解】‎ 根据程序框图知，程序执行的是分段函数 的求值运算，如果输出，‎ 当时，解得，满足题意，当时满足题意，当时不满足题意，综上的值为或，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，分段函数，属于中档题.‎ ‎10．质地均匀的骰子六个面分别刻有到的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）‎ A． 点数都是偶数 B． 点数的和是奇数 C． 点数的和小于 D． 点数的和小于 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出树状图，得到36种基本结果，找出各事件发生的结果数，即可得到各事件发生可能性的大小.‎ ‎【详解】‎ 画出树状图如下：‎ 由图可知共有36种等可能的结果数，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为0，所以发生可能性最大的是点数和小于13,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了树状图，试验的基本结果，属于中档题.‎ ‎11．在一球内有一棱长为的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 球的半径为,其体积为正方体的体积为1,‎ 则所求概率,应选D。‎ ‎12．下列说法中，正确的是（ ）‎ A． 命题“”的逆命题是真命题 B． 已知，则 “”是“”的充分不必要条件 C． 若为假命题，则均为假命题 D． 则事件A与事件B互为对立事件.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简易逻辑知识及对立事件逐项判断即可.‎ ‎【详解】‎ A. “”的逆命题是若则,当时逆命题不成立，故是假命题；‎ B.当时推不出，所以“”是“”的充分不必要条件错误；‎ C. 若为假命题，则均为假命题，根据复合命题真假判定知，正确；‎ D. 因为A，B若不为同一试验中事件，即使，事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了逆命题，充分不必要条件，复合命题，对立事件，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．从编号为的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是的样本，若编号为的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据系统抽样的特点，又叫等距离抽样，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为，又其中有一为28，则与之相邻的为12和46，故所取5个依次为：12，28，44，60，76，即最大的为76．‎ 考点：系统抽样 ‎14．下面茎叶图是甲、乙两人在次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知中的茎叶图可得 甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，‎ 则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90‎ 设污损数字为x 则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X 则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88．4+，‎ 当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，‎ 当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，‎ 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 考点：茎叶图；众数、中位数、平均数 ‎15．执行如图所示的程序框图,如果输入，则输出的为 ________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图可知，该程序实现了对数列 求和的功能，输入时，求.‎ ‎【详解】‎ 根据框图可知，执行该程序，实现了对数列 求和，‎ 当时，‎ ‎，‎ 故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎16．将一根米长的绳子剪成三段，则由这三段能构成三角形的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设剪成的三段为.‎ 则满足条件的构成的区域面积为，若构成三角形则需满足 即,满足该条件的构成的区域面积为，利用几何概型即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设剪成的三段为.‎ 则满足条件的构成的区域面积为，若构成三角形则需满足 即,满足该条件的构成的区域面积为，‎ 所以能构成三角形的概率为，‎ 即绳子剪成三段能构成三角形的概率为.‎ 故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划问题，几何概型，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的定义即可写出，逐一判断真假即可.‎ ‎【详解】‎ 逆命题：若且，则.真命题 否命题：若，则或.真命题 逆否命题：若或，则.真命题 ‎【点睛】‎ 本题主要考查逆命题，否命题，逆否命题及其真假判断，属于中档题.‎ ‎18．设p：实数x满足，q：实数x满足.‎ ‎(1)若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（１）时得 ；：，由为真,得的取值范围；（2）由得可得由是的充分不必要条件,得实数的取值范围．‎ 试题解析： （1）由得,当时,, 即为真时实数的取值范围是.由,得,得,即为真时实数的取值范围是, 若为真, 则真且真,实数的取值范围是.‎ ‎（2）由得,若是的充分不必要条件,则,且,设,则,‎ 又,则,且,‎ 实数的取值范围是.‎ 考点：充分条件；必要条件；逻辑联结词．‎ ‎【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指能推出，且不能推出；而“是的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．‎ ‎19．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．‎ ‎【答案】(1) 散点图见解析.为正相关 ‎(2) .‎ ‎(3)7.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可； ‎ ‎（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可； （3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7‎ 详解：‎ ‎　(1)散点图如图所示.为正相关.‎ xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,‎ x＝42＋52＋72＋82＝154,‎ 则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. ‎ 点睛：‎ 本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．‎ ‎20．如图，在直三棱柱中,是的中点,与交于点, ,,,. ‎ ‎(1)求证: ; ‎ ‎(2)求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析 ； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,,，可知,又直三棱柱中，,即可证（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,可求得的坐标，求平面的一个法向量，利用线面角公式即可求出直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，,,‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 又直三棱柱中，，且 ‎ ‎ ‎ ‎（2）如图以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则,‎ ‎ ，‎ 设平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为， ‎ 由 得令，得平面的一个法向量，所以.‎ 故直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间直角坐标系，利用平面的法向量求线面角，属于中档题.‎ ‎21．年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：‎ 满意度评分 低于 ‎60分 ‎60分 到79分 ‎80分 到89分 不低 于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有人．‎ ‎(1)求频率分布于直方图中的值，及评分等级不满意的人数；‎ ‎(2)在等级为不满意市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取人了解不满意的原因，并从中选取 人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；‎ ‎(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；评分等级不满意的人数为120；（2） ； （3）满意指数为80.7，故判断该项目能通过验收.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图计算即可（2）按年龄分层抽取人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取人担任整改督导员的所有可能情况为种，至少有一位老年督导员的对立事件是抽取的都是中青年，共有种，根据对立事件即可求出（3）根据频率分布直方图计算样本平均值，估计市民满意程度平均值，计算满意指数，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图知，‎ ‎ ‎ 由解得，‎ 设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人.‎ 不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人. ‎ ‎（2）改等级120个市民中按年龄分层抽取人，则老年人抽取2人，中青年抽取4人，从6人中选取人担任整改督导员的所有可能情况为种,抽不到老年人的情况为种， 所以至少有一位老年督导员的概率.‎ ‎（3）所选样本满意程度的平均得分为：‎ ‎，‎ 估计市民满意程度的平均得分为，‎ 所以市民满意指数为，‎ 故该项目能通过验收.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，对立事件，属于中档题.‎ ‎22．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，且，，所以，‎ 所以.‎ 因为为正三角形，所以，‎ 又由已知可知为平面四边形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，‎ 所以，.‎ 以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.‎ 平面的法向量，‎ 设为平面的一个法向量，则 由可得 令，则，所以平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，‎ 因为，‎ 所以与不垂直，‎ 所以在线段上不存在点使得⊥平面.‎ 点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性