2018-2019学年四川省雅安市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 四川省雅安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线：和：垂直，则实数（ ）‎ A．-1 B．1 C．-1或1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线：和：垂直（不合题意），‎ 两直线的斜率分别为，‎ 所以，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.‎ ‎2．对于命题：，，则是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题“”的否定为全称命题“”即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，一是要将存在量词改写为全称量词，所以，命题 的否定为，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎3．某校高三年级共有学生900人，将其编号为1，2，3，…，900并从小到大依次排列，现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为45的样本，若抽取的第一个样本编号为5，则第三个样本的编号为（ ）‎ A．15 B．25 C．35 D．45‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抽取样本编号间隔为，利用系统抽样的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 用系统抽样的方法从900人抽取一个容量为45的样本，‎ 抽取样本编号间隔为，‎ 因为抽取的第一个样本编号为5，‎ 所以第二个样本的编号为，‎ 则第三个样本的编号为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.‎ ‎4．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为“”不能推出“”；‎ ‎“”能推出“”，‎ 所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎5．中，若，，，则该三角形的形状是：（ ）‎ A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量模的公式求出三角形三边的长，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，且，‎ 是等腰直角三角形，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的线性运算以及空间向量模的公式的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎6．直线：截圆所得弦长为（ ）‎ A． B． C．6 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求出圆心坐标与半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心为原点，半径为，‎ 原点到直线的距离为，‎ 所以直线：截圆所得弦长为 ‎.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，‎ 详解：初始化数值 循环结果执行如下：‎ 第一次：不成立；‎ 第二次：成立，‎ 循环结束，输出，‎ 故选B.‎ 点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.‎ ‎8．如图，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上，则与所成角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线面垂直的性质可得 ，由矩形的性质可得 ,由此可得 平面，从而可得 ，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在平面上的射影恰好在上，‎ 所以 平面，因为在平面内，‎ 所以 ，又因为 ,与在平面内相交，‎ 所以， 平面，在平面内，‎ 所以 ，、成的角为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，以及线面垂直的判定与性质，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.‎ ‎9．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： 的圆心为，所以它关于直线对称的点为，对称后半径不变，所以圆的方程为.‎ 考点：直线及圆的方程.‎ ‎10．三棱锥中，，平面，，，则和平面所成角的正切值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面内过作，垂足为，连接 ，可证明平面，即是和平面 所成的角，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出，的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在平面内过作，垂足为，连接 ，‎ 因为，所以是的中点，‎ 且，， 平面， ‎ 平面，‎ 即是和平面 所成的角，‎ ‎，‎ 和平面 所成角的正切值是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与平面所成的角，属于与中档题.‎ ‎ 求线面角的方法：1、根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.‎ ‎11．若点在圆上运动，则的最大值是（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,则 ，利用辅助角公式可化为，由此可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点在圆上运动，‎ 所以可设，‎ 则 ,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即的最大值是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辅助角公式的应用，以及利用换元法求最值,属于中档题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法，利用不等式法求最值，有两个思路：一是根据题设中已知参数的范围列不等式求出所求参数范围，二是利用基本不等式求解.‎ ‎12．已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥 外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 三棱锥，满足两两垂直，且，‎ 如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,‎ 以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，‎ 是三棱锥外接球上一动点，‎ 由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，‎ 点到平面的距离最大，‎ 点到平面的距离的最大值为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 ‎13．若直线：和：平行，则实数__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线平行斜率相等列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 时不合题意，‎ 当不等于2时，直线的斜率为1，直线的斜率为，‎ 因为直线：和：平行，‎ 所以，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.‎ ‎14．已知三角形的三个顶点，，.‎ ‎（1）求边所在直线方程；‎ ‎（2）求边上中线所在直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用截距式求得直线方程，化为一般式即可；（2）由，.知 中点为，利用两点式求得直线方程，化为一般式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 的直线方程为: ，‎ 即：‎ ‎（2）由B（4，-4），C（0,2）知中点为（2，-1），‎ 故边上中线所在的直线方程为，‎ 即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，属于中档题. 直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.‎ ‎15．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学成绩的众数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率.‎ ‎【答案】（1）130（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图中最高矩形中点横坐标，可估计这50名同学的数学成绩的众数；（2）用分层抽样抽取6人中，分数在中的有1人，分数在 中的有5人，利用列举法可得基本事件有15个，满足条件的基本事件有10个，利用古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学成绩的众数为130‎ ‎（2）由直方图可知，分数低于115分的同学有人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[95,105)有1人，用表示，分数在[105,115)中的有5人，用表示，‎ 则基本事件有，共15个，满足条件的基本事件为，共10个，‎ 所以这两名同学分数均在[105,115)中的概率为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎16．如图，四棱锥中，底面，底面中，，，又，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由底面，可得，结合，利用线面垂直的判定定理即可得结果；（2）取的中点为,连接,则在中，,可证明四边形是平行四边形，可得,利用线面平行的判定定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：PD⊥底面ABCD，且,则PD⊥BC 又CB⊥PB，且,所以；‎ ‎（2）取PD的中点为F,连接EF,AF,则在中，, ‎ AB=AD=3,则BD=，且, AB⊥AD,所以，,‎ 则CB = BD,所以，AB = BD;则AB// CD,则AB// EF,则四边形ABEF为平行四边形；‎ 所以BE// AF, ‎ 而,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎17．对某城市居民家庭年收入（万元）和年“享受资料消费”‎ ‎（万元）进行统计分析，得数据如表所示.‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.‎ ‎（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）10.3万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程和家庭年收入为18万元,代入线性回归方程求出对应的的值，即可预测该家庭年“享受资料消费”.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由数据求得，‎ ‎ ，‎ 故y关于x的线性回归方程为：.‎ ‎（2）当x=18时，由线性回归方程求得，‎ 故家庭年收入为18万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为10.3万元 ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎18．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，是平行四边形，，平面平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，与平面所成角为，求该五面体的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过作于，连接，根据面面垂直的性质可证明平面，可得，利用全等三角形以及等腰直角三角形的性质可得即，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（2）由（1）知为与平面所成角，可得，由可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过作，连接，‎ 平面平面，且交线为 ‎ 平面，而 ‎ ，又 ‎ ，‎ ‎ ，而 ‎ ，又 ‎ ，而 ‎ .‎ ‎（2）由知，‎ 而 ‎ ‎ 由（1）知为等腰直角三角形，而，，‎ 又由（1）知为与平面所成角，‎ ‎，‎ ‎0‎ 而，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定与性质及空间几何体的体积，属于中档题.‎ ‎ 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.‎ ‎19．已知圆:,直线.‎ ‎(1)若直线与圆相切,求的值; ‎ ‎(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;‎ ‎(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点。‎ ‎【答案】（1） ； （2）或； （3） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．‎ ‎（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．‎ ‎（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由圆心O到直线l的距离，可得k=±1。‎ ‎(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,‎ 所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,‎ 则 ‎,可得k2<>‎ 又因为k2>1,故k的取值范围为或。‎ ‎(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2‎ 同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,‎ 所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2‎ 又,将其代入上式并化简整理,‎ 得,而x0∈R,‎ 故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ 评卷人 得分 三、填空题 ‎20．将一枚均匀的骰子抛两次，则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法，将一枚均匀的骰子抛两次，共有36种不同的结果；其中，第一次所抛点数比第二次所抛点数大的结果有15种，由古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 将一枚均匀的骰子抛两次，共有36种不同的结果；其中，第一次所抛点数比第二次所抛点数大的结果有 ‎ ‎15种不同的结果，由古典概型概率公式可得“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是,故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎21．已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，为真命题，符合题意；‎ 当时，要使，为真命题，‎ 则对应的抛物线开口向上且与轴没有交点，‎ 可得，‎ 综上可得实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.‎ ‎22．正三角形边长为，其所在平面上有点、满足：，，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，建立直角坐标系，点的轨迹方程为 ‎，令，又，可得 ‎，代入，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，建立直角坐标系，‎ 满足，‎ 点的轨迹方程为，‎ 令，‎ 又， ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 的最大值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算以及换元法的应用、三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .‎