2010年浙江省宁波市中考数学试卷

2010年浙江省宁波市中考数学试卷

一、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分） 1、（2010•广东）﹣2 的绝对值是 ． 考点：绝对值。 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对 值定义去掉这个绝对值的符号． 解答：解：|﹣2|=2． 故填 2． 点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0 的绝 对值是 0． 2、（2010•盐城）4 的算术平方根是 ． 考点：算术平方根。 分析：如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可求出结果． 解答：解：∵22=4， ∴4 算术平方根为 2． 故答案为：2． 点评：此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错 误． 3、（2010•宁波）请你写出一个满足不等式 2x﹣1＜6 的正整数 x 的值： ． 考点：一元一次不等式的整数解。 专题：开放型。 分析：首先确定不等式组的解集，然后再找出不等式的特殊解． 解答：解：移项得：2x＜6+1， 系数化为 1 得：x≤3.5， 满足不等式 2x﹣1＜6 的正整数 x 的值为：1，2，3． 点评：正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．另 外应掌握正整数的概念． 4、（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度 AC 为 3 米，引桥 的坡角∠ABC 为 15°，则引桥的水平距离 BC 的长是 米（精确到 0.1 米）． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 分析：在 Rt△ABC 中，已知了铅直高度 AC 的长以及坡角∠ABC 的度数，即可求得水平宽度 BC 的长． 解答：解：Rt△ABC 中，∠ABC=15°，AC=3， ∴BC=AC÷tan15°≈11.2（米）． 点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力． 5、（2010•宁波）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=CD，若∠ABC=60°，BC=12， 则梯形 ABCD 的周长为 ． 考点：等腰梯形的性质。 分析：利用梯形中常作的辅助线的方法，求出梯形的上底和两腰，再求得周长． 解答：解： 过点 D 作 DE∥AB，交 BC 于点 E， ∵AD∥BC，∴AD=BE， 设 AB=AD=CD=x，则 BE=x， ∵∠ABC=60°，∴△DCE 是等边三角形， ∴CE=x，∵BC=12，∴2x=12，解得 x=6，C 梯形 ABCD=5×6=30． 点评：考查梯形中常作辅助线的方法以及梯形的性质． 6、（2010•宁波）若 x+y=3，xy=1，则 x2+y2= ． 考点：完全平方公式。 分析：将所求的式子配成完全平方公式，然后将 x+y 和 xy 的值整体代入求解． 解答：解：x2+y2=x2+2xy+y2﹣2xy， =（x+y）2﹣2xy， =9﹣2， =7． 点评：本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一 个完全平方式，熟记公式结构式解题的关键． 7、（2010•宁波）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y= 1 2푥2﹣1 上运动，当⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 ． 考点：二次函数综合题。 专题：动点型。 分析：当⊙P 与 x 轴相切时，P 点的纵坐标为 2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得 P 点坐标． 解答：解：当⊙P 与 x 轴相切时，P 点纵坐标为 2； 当 y=2 时，1 2x2﹣1=2， 解得 x=± 6； 故 P 点坐标为（ 6，2）或（﹣ 6，2）． 点评：能够判断出⊙P 与 x 轴相切时 P 点的纵坐标，是解答此题的关键． 二、选择题（共 11 小题，每小题 3 分，满分 33 分） 8、（2010•宁波）下列运算正确的是（　　） A、x•x2=x2 B、（xy）2=xy2 C、（x2）3=x6 D、x2+x2=x4 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。 分析：根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的性质计算后利用排除法求解． 解答：解：A、应为 x•x2=x1+2=x3，故本选项错误； B、应为（xy）2=x2y2，故本选项错误； C、（x2）3=x2×3=x6，故本选项正确； D、应为 x2+x2=2x2，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9、（2010•宁波）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A、 B、 C、 D、 考点：中心对称图形。 分析：根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度， 旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫 做中心对称点． 解答：解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度 以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够 与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够 与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意． 故选 C． 点评：掌握中心对称图形的概念．特别注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后两部分重合． 10、（2010•宁波）据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达 820 亿元，其中 820 亿用科学记数法表示为（　　） A、0.82×1011 B、8.2×1010 C、8.2×109 D、82×108 考点：科学记数法—表示较大的数。 专题：应用题。 分析：应先把 820 亿元整理为用元表示的数，科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中 a 为 8.2，10 的指数为整数数位减 1． 解答：解：820 亿=82 000 000 000=8.2×1010．故选 B． 点评：将一个绝对值较大的数写成科学记数法 a×10n 的形式时，其中 1≤|a|＜10，n 为比整 数位数少 1 的数． 11、（2010•宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学 方法的学科，它奠定了现代数学的基础，它是下列哪位数学家的著作（　　） A、欧几里得 B、杨辉 C、费马 D、刘徽 考点：数学常识。 分析：根据数学基本常识可知《几何原本》是欧几里得的著作． 解答：解：《几何原本》是欧几里得的著作． 故选 A． 点评：一些数学家和其代表作要知道．本题属于基础性的数学常识． 12、（2010•定西）两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 7，则两圆的位置关系是（　　） A、内切 B、相交 C、外切 D、外离 考点：圆与圆的位置关系。 分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可 直接得出答案．外离，则 P＞R+r；外切，则 P=R+r；相交，则 R﹣r＜P＜R+r；内切，则 P=R﹣r；内含，则 P＜R﹣r．（P 表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）． 解答：解：根据题意，得 R+r=5+3=8，R﹣r=5﹣3=2，圆心距=7， ∵2＜7＜8， ∴两圆相交． 故选 B． 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 13、（2010•宁波）从 1 到 9 这 9 个自然数中任取一个，是 2 的倍数的概率是（　　） A、3 9 B、4 9 C、5 9 D、1 考点：概率公式。 分析：列举出所有情况，看是 2 的倍数的情况占所有情况的多少即为所求的概率． 解答：解：所有机会均等的可能共有 9 种．而 2 的倍数有 2，4，6，8 四个，因此是 2 的倍 数的概率是4 9． 故选 B． 点评：用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 14、（2010•宁波）如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是∠AOD 内一点，已知 OE⊥AB， ∠BOD=45°，则∠COE 的度数是（　　） A、125° B、135° C、145° D、155° 考点：垂线。 专题：计算题。 分析：利用垂直的定义，结合已知条件先求∠EOD 的度数，再根据补角定义，求∠COE 的度 数． 解答：解：∵OE⊥AB，∠BOD=45°， ∴∠EOD=90°﹣45°=45°（余角定义）， ∴∠COE=180°﹣45°=135°（补角定义）， 故选 B． 点评：利用互余互补的性质计算． 15、（2010•宁波）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买 10 双运动鞋，各 种尺码的统计如下表所示， 则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） A、25.6，26 B、26，25.5 C、26，26 D、25.5，25.5 考点：众数；中位数。 专题：图表型。 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数） 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 解答：解：在这一组数据中 25.5 是出现次数最多的，故众数是 25.5；处于这组数据中间位 置的数是 25.5、25.5，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 25.5； 故选 D． 点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题的关键是准确认识表格． 16、（2010•宁波）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB 的角平 分线，则图中等腰三角形共有（　　） A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个 考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质。 分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于 180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得． 解答：解：设 CE 与 BD 的交点为点 O， ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB， 再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB= 180°﹣36° 2 =72°， ∵BD 是∠ABC 的角的平分线， ∴∠ABD=∠DBC= 1 2∠ABC=36°=∠A， ∴AD=BD， 同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE， ∵∠DBC=36°，∠ACD=72°， 根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°， ∴BD=BC， 同理 CE=BC， ∵∠BOC=180°﹣36°﹣36°=108°， ∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°， ∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC 都是等腰三角形，共 8 个． 故选 D． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和定理求解； 得到各角的度数是正确解答本题的关键． 17、（2010•宁波）已知反比例函数 y= 1 푥，下列结论不正确的是（　　） A、图象经过点（1，1） B、图象在第一、三象限 C、当 x＞1 时，0＜y＜1 D、当 x＜0 时，y 随着 x 的增大而增大 考点：反比例函数的性质。 分析：根据反比例函数的性质，利用排除法求解． 解答：解：A、x=1，y= 1 1=1，∴图象经过点（1，1），正确； B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确； C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内 y 随 x 的增大而减小，∴当 x＞1 时，0＜y＜1，正确； D、应为当 x＜0 时，y 随着 x 的增大而减小，错误． 故选 D． 点评：本题主要考查反比例函数的性质，当 k＞0 时，函数图象在第一、三象限，在每个象 限内，y 的值随 x 的值的增大而减小． 18、（2010•宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和 总是 7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（　　） A、 B、 C、 D、 考点：展开图折叠成几何体。 专题：操作型。 分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题． 解答：解：根据题意骰子的平面展开图，共有六个面，其中面“1”与面“6”相对，面“4”与面 “3”相对，“2”与面“5”相对． 所以只有 C 中的相对两个面上的点数与立体图形一致， 故选 C． 点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19、（2010•宁波）先化简，再求值： 푎﹣2 푎2﹣4+ 1 푎 + 2，其中 a=3． 考点：分式的化简求值。 专题：计算题。 分析：先把分式化简，再把数代入所求的分式中即可． 解答：解：原式= 푎﹣2 （푎 + 2）（푎﹣2）+ 1 푎 + 2= 1 푎 + 2+ 1 푎 + 2 = 2 푎 + 2 当 a=2 时，原式= 2 3 + 2= 2 5． 点评：考查的是分式的加法，需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 20、（2010•宁波）如图，已知二次函数 y=﹣ 1 2푥2+bx+c 的图象经过 A（2，0）、B（0，﹣6） 两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求△ABC 的面积． 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）二次函数图象经过 A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入 y=﹣ 1 2푥2+bx+c，算 出 b 和 c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出 C 点的坐标，计算出 AC，然后由 面积公式计算值． 解答：解：（1）把 A（2，0）、B（0，﹣6）代入 y=﹣ 1 2푥2+bx+c， 得：{﹣2 + 2푏 + 푐 = 0 푐 = ﹣6 解得{ 푏 = 4 푐 = ﹣6， ∴这个二次函数的解析式为 y=﹣ 1 2푥2+4x﹣6． （2）∵该抛物线对称轴为直线 x=﹣ 4 2 × （﹣1 2） =4， ∴点 C 的坐标为（4，0）， ∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2， ∴S△ABC= 1 2×AC×OB= 1 2×2×6=6． 点评：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式． 21、（2010•宁波）如图 1，有一张菱形纸片 ABCD，AC=8，BD=6． （1）请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图 2 中用实数画出你所拼成的平行四边形；若沿着 BD 剪开，请在图 3 中用实线画出拼成的平行 四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长． （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图 4 中用实线画出 拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） 周长为 周长为 ． 考点：作图—应用与设计作图。 分析：（1）利用菱形对角线的性质和勾股定理易得菱形的边长为 5，动手操作易得两个平 行四边形，新平行四边形的一组对边为原来菱形的边长，另一组对边为剪开线；第一个平行 四边形的一组邻边长分别为 8，5；第二个平行四边形的一组邻边长分别为 6，5；相加后乘 2 即为平行四边形的周长； （2）根据平行四边形的一组邻边平行且相等可得只要在原菱形上任意截取一个梯形，把截 取的梯形与剩下梯形重新组合为平行四边形即可． 解答：解：（1）∵菱形的两条对角线长分别为 6，8， ∴对角线的一半分别为 3，4， ∴菱形的边长分别为 5， ∴第一个平行四边形的周长为 2×（5+8）=26；第二个平行四边形的周长为 2×（5+6）=22； （2） 点评：本题用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直平分；过菱形一组对边的直线把菱形分 成的两部分可组合为平行四边形． 22、（2010•宁波）某生态示范园要对 1 号、2 号、3 号、4 号四个品种共 500 株果树幼苗进 行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，3 号果树幼苗成活率为 89.6%，把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出） （1）实验所用的 2 号果树幼苗的数量是 株； （2）请求出 3 号果树幼苗的成活数，并把图 2 的统计图补充完整； （3）你认为应选哪一种品种进行推广？请通过计算说明理由． 考点：扇形统计图；条形统计图。 专题：图表型。 分析：（1）根据扇形统计图求得 2 号所占的百分比，再进一步计算其株数； （2）根据扇形统计图求得 3 号幼苗的株数，再根据其成活率是 89.6%，进行计算其成活数， 再进一步补全条形统计图； （3）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小． 解答：解：（1）500×（1﹣25%×2﹣30%）=100（株）； （2）500×25%×89.6%=112（株）； （3）1 号果树幼苗成活率为： 2 号果树幼苗成活率为 85 100×100%=85%， 4 号果树幼苗成活率为117 125×100%=93.6%， ∵93.6%＞9．%＞89.6%＞85%， ∴应选择 4 号品种进推广． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23、（2010•宁波）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天 一阁的路程是 4 千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达 天一阁，图中折线 O﹣A﹣B﹣C 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 s（千米）与所经过 的时间 t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分 钟． （2）请你求出小明离开学校的路程 s（千米）与所经过的时间 t（分钟）之间的函数关系； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 考点：一次函数的应用。 专题：应用题。 分析：（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解； （2）由图象可知，s 是 t 的正比例函数，设所求函数的解析式为 s=kt（k≠0），把（45，4） 代入解析式利用待定系数法即可求解； （3）由图象可知，小聪在 30≤t≤45 的时段内 s 是 t 的一次函数，设函数解析式为 s=mt+n （m≠0） 把（30，4），（45，0）代入利用待定系数法先求得函数关系式，再根据求函数图象的交点方 法求得交点坐标即可． 解答：解：（1）∵30﹣15=15，4÷15= 4 15 ∴小聪在天一阁查阅资料的时间和小聪返回学校的速度分别是 15 分钟， 4 15千米/分钟． （2）由图象可知，s 是 t 的正比例函数 设所求函数的解析式为 s=kt（k≠0） 代入（45，4），得 4=45k 解得 k= 4 45 ∴s 与 t 的函数关系式 s= 4 45t（0≤t≤45）． （3）由图象可知，小聪在 30≤t≤45 的时段内 s 是 t 的一次函数，设函数解析式为 s=mt+n （m≠0） 代入（30，4），（45，0），得 {30푚 + 푛 = 4 45푚 + 푛 = 0 解得{푚 = ﹣ 4 15 푛 = 12 ∴s=﹣ 4 15t+12（30≤t≤45） 令﹣ 4 15t+12= 4 45t，解得 t= 135 4 当 t= 135 4 时，S= 4 45× 135 4 =3 ． 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米． 点评：主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的 基本能力，还要会熟练的运用待定系数法求函数解析式和使用方程组求交点坐标的方法． 24、（2010•宁波）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半 径 OB 相交于点 P，连接 EF、EO，若 DE=2 3，∠DPA=45°． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；解直角三角形。 分析：（1）根据垂径定理得 CE 的长，再根据已知 DE 平分 AO 得 CO= 1 2AO= 1 2OE，解直角三 角形求解． （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 解答：解：（1）∵直径 AB⊥DE， ∴CE= 1 2DE= 3． ∵DE 平分 AO， ∴CO= 1 2AO= 1 2OE． 又∵∠OCE=90°， ∴∠CEO=30°． 在 Rt△COE 中， OE= 퐶퐸 푐표푠30°= 3 3 2 =2． ∴⊙O 的半径为 2． （2）连接 OF，作 OG⊥EF． 在 Rt△DCP 中， ∵∠DPC=45°， ∴∠D=90°﹣45°=45°． ∴∠EOF=2∠D=90°． ∴S 扇形 OEF= 90 360×π×22=π． ∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2， 根据勾股定理可得 OG= 2，EF=2 2． ∴三角形的面积= 2×2 2÷2=2． ∴阴影的面积=π﹣2． 点评：此两题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式． 25、（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、 棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体 模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ． （2）一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是 ． （3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接 而成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表三角形的个数为 x 个，八 边形的个数为 y 个，求 x+y 的值． 考点：欧拉公式。 分析：（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数=2； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为 x+y 的值． 解答：解：（1）四面体的棱数为 8；正八面体的顶点数为 6；关系式为：V+F﹣E=2； （2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得 F=20； （3）∵有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，两点确定一条直线； ∴共有 24×3÷2=36 条棱， 那么 24+F﹣36=2，解得 F=14， ∴x+y=14． 点评：本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． 26、（2010•宁波）如图 1 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，▱ABCD 的顶点 A 的坐标为 （﹣2，0），点 D 的坐标为（0，2 3），点 B 在 x 轴的正半轴上，点 E 为线段 AD 的中点，过 点 E 的直线 l 与 x 轴交于点 F，与射线 DC 交于点 G． （1）求∠DCB 的度数； （2）连接 OE，以 OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF'，记直线 EF'与 射线 DC 的交点为 H． ①如图 2，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ② 若 △EHG 的 面 积 为 3 3， 请 直 接 写 出 点 F 的 坐 标 ． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质。 专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论。 分析：（1）由于平行四边形的对角相等，只需求得∠DAO 的度数即可，在 Rt△OAD 中，根 据 A、D 的坐标，可得到 OA、OD 的长，那么∠DAO 的度数就不难求得了． （2）①根据 A、D 的坐标，易求得 E 点坐标，即可得到 AE、OE 的长，由此可判定△AOE 是 等边三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出 OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根据轴对 称的性质知∠OF′E=∠EFA，通过等量代换可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可证得所求的三角形 相似． ②过 E 作 CD 的垂线，设垂足为 M，则 EM 为△EGH 中 GH 边上的高，根据△EGH 的面积即 可求得 GH 的长，在①题已经证得△DEG∽△DHE，可得 DE2=DG•DH，可设出 DG 的长，然后 表示出 DH 的值，代入上面的等量关系式中，即可求得 DG 的长，根据轴对称的性质知： DG=AF，由此得到 AF 的长，进而可求得 F 点的坐标，需注意的是，在表示 DH 的长时，要分 两种情况考虑：一、点 H 在 G 的右侧，二、点 H 在 G 的左侧． 解答：解：（1）在直角△OAD 中，∵tan∠OAD=OD：OA= 3， ∴∠A=60°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠C=∠A=60°； （2）①证明：∵A（﹣2，0），D（0，2 3），且 E 是 AD 的中点， ∴E（﹣1， 3），AE=DE=2，OE=OA=2， ∴△OAE 是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°； 根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即 OF′∥AE， ∴∠OF′E=∠DEH； ∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE， ∴∠DGE=∠DEH， 又∵∠GDE=∠EDH， ∴△DGE∽△DEH． ②过点 E 作 EM⊥直线 CD 于点 M， ∵CD∥AB， ∴∠EDM=∠DAB=60°， ∴Em=DE•sin60°=2× 3 2 = 3， ∵S△EGH= 1 2•GH•ME= 1 2•GH• 3=3 3， ∴GH=6； ∵△DHE∽△DEG， ∴ 퐷퐸 퐷퐺= 퐷퐻 퐷퐸即 DE2=DG•DH， 当点 H 在点 G 的右侧时，设 DG=x，DH=x+6， ∴4=x（x+6）， 解得：x1=﹣3+ 13+2= 13﹣1， ∴点 F 的坐标为（﹣ 13+1，0）； 当点 H 在点 G 的左侧时，设 DG=x，DH=x﹣6， ∴4=x（x﹣6）， 解得：x1=3+ 13，x2=3﹣ 13（舍）， ∵△DEG≌△AEF， ∴AF=DG=3+ 13， ∵OF=AO+AF=3+ 13+2= 13+5， ∴点 F 的坐标为（﹣ 13﹣5，0）， 综上可知，点 F 的坐标有两个，分别是 F1（﹣ 13+1，0），F2（﹣ 13﹣5，0）． 点评：此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以 及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大． 参与本试卷答题和审题的老师有： lanchong；Linaliu；xiu；shenzigang；tiankong；zhjh；zcx；zhqd；CJX；lanyuemeng；开心； zhwd1109；MMCH；HJJ；zhangCF；lihongfang；zhehe；kuaile；ZJX；137-hui；bjy；智波； xinruozai。（排名不分先后） 2011 年 3 月 16 日