2018-2019学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解方程,分别求得集合A与集合B,结合交集运算即可求得.‎ ‎【详解】‎ 集合,‎ 解方程可得,‎ 由交集运算可得 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二次根式及分式有意义条件,对数函数定义域,即可求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 函数 由二次根式及分式有意义条件,结合对数函数定义域可知 解得,即定义域为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的求法,二次根式和分式有意义条件及对数函数定义域问题,属于基础题.‎ ‎3．函数的零点所在的一个区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.‎ ‎【详解】‎ 因为为增函数,且,‎ 根据零点存在性定理知的零点在区间内.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.‎ ‎4．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,结合中间量法,即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由数函数与对数函数的图像与性质可知 ‎,则 综上可知,大小关系为 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,中间值法是比较大小常用方法,属于基础题.‎ ‎5．已知角的终边过点，若，则y的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据平面直角坐标系中三角函数定义,即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 角的终边过点,由三角函数定义可得 而由题意 所以 解得 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数定义,根据终边经过的点与三角函数值求参数,属于基础题.‎ ‎6．下列函数中，周期为的偶函数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 对于A,为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;‎ 对于B,为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;‎ 对于C,为偶函数,最小正周期为,所以C错误;‎ 对于D,为奇函数,所以D错误.‎ 综上可知,正确的为A 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式判断周期性与奇偶性,属于基础题.‎ ‎7．已知扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角是（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设扇形的半径为，弧长为，根据扇形面积公式，以及弧长公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，弧长为，则，①‎ ‎，‎ 即，②‎ 得，‎ 则扇形圆心角的弧度数为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求扇形的圆心角，熟记扇形面积公式， 以及弧长公式即可，属于基础题型.‎ ‎8．函数的值域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据同角三角函数关系式及换元法得二次函数,结合二次函数的性质即可求得值域.‎ ‎【详解】‎ 根据同角三角函数关系式,化简可得 令 ‎ 则 由二次函数性质可知,当时,取得最大值 ‎ 当时,取得最小值为 所以值域为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数与二次函数的综合,求二次函数在区间内的值域,属于基础题.‎ ‎9．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据平面向量数量积的运算,结合向量时的坐标关系,即可求得参数k的取值范围.排除同向时的值,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 向量,,且与的夹角为锐角 由平面向量数量积定义可知 ‎ 即 由平面向量数量积的坐标运算可知解得 当与同向时,但夹角为,不是锐角 所以当时与同向,不符合题意,因而 综上可知,‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了根据向量数量积的坐标运算判断夹角,尤其注意同向时夹角的余弦值为正,但夹角不是锐角这一特殊关系,属于易错题.‎ ‎10．函数的图像大致是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性,可排除A,D.借助极限,可排除B,即可得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数 则,所以函数为偶函数,排除A,D.‎ 当时, ,所以排除B 综上可知,C为正确选项 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了由解析式判断函数图像,从奇偶性、单调性、特殊值和极限思想对选项进行排除,是常用方法,属于基础题.‎ ‎11．已知函数，，则以下结论正确的是（ ）‎ A．任意的，且，都有 B．任意的，且，都有 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，无最大值 ‎【答案】D ‎【解析】A：根据函数解析式直接判断的单调性，可判断对错；‎ B：利用奇偶性判断的单调性，即可判断对错；‎ C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；‎ D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.‎ ‎【详解】‎ A：在上均是增函数，所以是上增函数，故错误；‎ B：因为，所以是偶函数，所以在上不可能是减函数，故错误；‎ C：因为，所以是奇函数，又在上是增函数，所以无最值，故错误；‎ D：任意的，且，所以，‎ 因为，，所以，所以，所以在上单调递增，‎ 因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，无最大值，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等.‎ ‎12．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,设出,.由向量的坐标运算,代入表达式可得.根据圆的性质可求得的取值范围.利用坐标运算表示出 ‎,即可求得模的表达式.结合的取值范围,求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为是单位向量,可设,‎ 则 因为向量满足 代入可得,化简可得 由圆的性质可知,即 根据向量的坐标运算可知 所以根据坐标可得 所以当时取得最大值为 当时取得最小值为 ‎ 即的取值范围为 ‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算,数量积的应用,圆的方程及几何性质应用,向量模的求法,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．计算：________ ；________．‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】直接利用对数和指数幂公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为： (1). 2 (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数，指数幂的运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14．已知函数，则______；若，则实数_______．‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】直接代入计算得到答案；讨论和两种情况计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 则 当时：或（舍去）；‎ 当时：（舍去）；‎ 综上所述： ‎ 故答案为：(1). 0 (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15．已知函数，有三个零点、、，则实数a的取值范围是________；的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)令,则,设函数画出图像再分析与 的交点个数即可.‎ ‎(2)根据图像分析得,再分析的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令,则,设函数,‎ 画出函数的图像.易得当为抛物线上顶点为 ‎ 又有三个零点、、,即与有三个交点,故 ‎(2)有图像得,即,当时, ‎ 即,此时,故 故 故答案为(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.‎ ‎16．若___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式,即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了诱导公式,关键抓住,属于容易题.‎ ‎17．若函数，对任意实数t都有，且，则实数____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据可得函数关于对称.结合及正弦函数的性质,即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 函数,对任意实数t都有 则函数关于对称.‎ 所以在时的函数值最大值或最小值 由题意可知 所以或 解得或 故答案为: 或 ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的性质及应用,正弦函数的最值与对称轴关系,属于基础题.‎ ‎18．在中，已知，斜边，D是AB的中点，M是线段CD上的动点，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.求得直线CD的方程,设出M点坐标,即可表示出.结合平面向量数量积的定义及M点横坐标的范围,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 中,已知,斜边 所以以C为原点建立平面直角坐标系,如下图所示:‎ 由三角函数可知 则 则直线CD的直线方程为.‎ 设,‎ 则 所以由平面向量数量积的坐标运算可得 因为 所以 即的取值范围为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查坐标法解决平面向量的数量积问题,根据垂直关系建立平面直角坐标系,研究几何关系是较为简洁的方法,属于中档题.‎ ‎19．已知函数，若的最小值与的最小值相等，则实数b的取值范围是____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据函数的性质,先求得的最小值,所以的值域为最小值到正无穷大.而的图像只能是上的一段,因而若两个函数的最小值相等,则只需即可.‎ ‎【详解】‎ 函数 所以当时,的最小值为 因为的最小值与的最小值相等 所以必须能取到最小值.结合二次函数的性质可知,需满足 解得或 故答案为: 或 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图像与性质的应用,二次函数的值域问题,考查对复合函数的理解能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎20．已知向量 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）运用坐标求出，再由向量的模长公式即可求出的值；‎ ‎（2）由已知可求得，再由，可求得，的值，再运用诱导公式即可求值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴，‎ ‎∴解得，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式，属中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)若在上单调递减，求实数的取值范围； ‎ ‎(2)当时，解不等式.‎ ‎【答案】(1)；(2)或 ‎【解析】（1）根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得的取值范围.‎ ‎（2）将代入函数解析式,结合不等式可变形为关于的不等式,解不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知需单调递减则 解得.‎ ‎（2）将代入函数解析式可得 则由,代入可得 同取对数可得 即,‎ 所以 即或 或,‎ 所以原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.‎ ‎22．已知函数的部分图象如图所示，､分别是图象的最高点与相邻的最低点，且，，为坐标原点.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）根据部分函数图象,可先判断出最高点的纵坐标,可得.再根据向量的坐标运算及模的表示,求得周期和.再将最高点代入求得,即可得解析式.‎ ‎（2）根据三角函数平移变换,求得的解析式.结合余弦函数的图象与性质,即可求得值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为最高点且 则点的坐标为.所以 设,所以 则 由 可知,解得 所以,解得 ‎ 由周期公式可知 ‎ 所以 因为为过点,代入可得 ‎,‎ 所以解得 故 ‎（2）由（1）可知 将函数的图象向左平移1个单位后可得 因为 则 所以由正弦函数的图象与性质可知 ‎【点睛】‎ 本题考查了根据三角函数部分图象求解析式,三角函数图象平移变换,正弦函数的图像与性质的综合应用,平面向量的坐标运算及模的表示,属于中档题.‎ ‎23．已知函数，为实数.‎ ‎(1)当时，求的最小值；‎ ‎(2)若存在实数，使得对任意实数都有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）根据题意将二次函数配成顶点式,画出函数图像.通过对分类讨论,即可确定在不同区间内的最小值.‎ ‎（2）根据函数解析式,代入求得,再代入不等式中可得关于的二次不等式.构造函数,即分析对任意实数成立即可.由二次函数性质可知需满足.得不等式组后,可利用求得的取值范围.则在此范围内有解即可.构造函数,即在时有解即可.根据二次函数的对称、与y轴交点情况,分类讨论即可求得n的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数 对应函数图像如下图所示:‎ ‎(ⅰ)当即时,,‎ ‎(ⅱ)当即时,,‎ ‎(ⅲ)当时,.‎ 综上,‎ ‎（2）因为 则 因为 代入得,变形可得 令,即对任意实数,成立 由二次函数性质可得,代入可得 关于t的不等式组有解即可,‎ 解不等式可得 ‎ 在上有解即可 令 因为,所以,所以函数与y轴交点位于y轴正半轴 ‎(ⅰ)当对称轴位于左侧时,满足即可,也就是,解不等式组可得,‎ ‎(ⅱ)当对称轴位于之间时,满足即可,也就是,解得 ‎(ⅲ)当对称轴在右侧时,即 时,函数在时无解.‎ 综上可知 又因为, ‎ ‎∴n的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图像及性质的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.‎