黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试 数 学 试 题（文 科） 第Ⅰ卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.复数 为纯虚数，则实数 为(　　) A. B. C. D. 2.若向量 ,则 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 ，则 ( ) A.8 B. C. D. 4.设 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是( ) A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 平行于同一条直线 C． 内有两条相交直线与 平行 D ． ， 垂直于同一平面 5.已知曲线 在 处的切线过点 ,则实数 ( ) A. B. C. D. 6.函数 在 的图像大致为 （ ） i ai − + 2 1 a 2 2− 2 1− 2 1 )2,1(),3,2( −== ba =−⋅ )2( baa }{ na n nS 1 1 11, 27m m ma a a a− += + + = 45mS = m = 9 10 11 α β， α β α β α β α β α β xeaxf )12()( += 0=x )1,2( =a 3 3− 3 1 3 1− 2 sin( )( ) sin( )2 x xf x x x π π − += + + ],[ ππ− A． B． C． D． 7. 若把函数 的图象关于点 对称，将其图象沿 轴向右 平移 个单位后,得到函数 的图象,则 的最大值为( ) A． B． C． D． 8. 如图，三棱锥 中， ， ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角余弦值为( ) A. B. C. D. 9. 是两个平面， 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 ，那么 ;②如果 ，那么 ; ③如果 ，那么 ;④如果 ，那么 与 所成的角和 与 所 成的角相等.其中正确的命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. 定义在 的函数 满足 ，当 时，恒有 成立， 若 ， ，则 大小关系为（ ） x ,α β ,m n , , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , / /m nα α⊥ m n⊥ / / ,mα β α⊂ / /m β / / , / /m n α β m α n β ( ) sin(2 )( )2f x x πϕ ϕ= + < ,06 π −   6 π ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= − 3 2 1 2 1 A BCD− 90DAB DAC BAC∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB AD AC= = = ,M N ,CD BC AM DN 1 6 3 6 5 6 5 6 R )(xf )1()1( +−=+ xfxf 1≠x )()( xfxfx ′>′ 21 << m )(log),4(log),2( 22 mfcfbfa m === cba ,, A. B. C. D. 11. 在 中， ，则三角形的 形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D ．无法确定 12.设定义在 的函数 的导函数为 ，且满足 ，则关于 的 不等式 的解集（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13.已知 ,则 . 14.已知等比数列 的首项为 ，前 项和为 ,若数列 为等比数列，则 . 15.已知 则 的最大值是 .Com] 16.在四棱锥 中, 底面 , ,若点 为棱 上一点,满足 ,则 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）[来源:Z&xx&k.Com] 已知关于 的不等式 的解集为 . （1）求 的值； 1=AB cba >> abc >> bca >> cab >> ABC∆ 2sin 4sin 3sinC CB A CA B AB⋅ = ⋅ + ⋅   ABC∆ (0, )+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) 3 ( ) 0xf x f x′ + > x 3 1 ( 3) (3) 03 x f x f − − − <   )6,3( )3,0( )6,0( ),6( +∞ 2cos 4 4 π α + =   =α2sin }{ na 1a n nS { }12nS a− 3 2 a a = ,08,0,0 =−++>> xyyxyx xy ABCDP − ⊥PA ABCD ,2,//, ===⊥ APDCADDCABABAD E PC ACBE ⊥ = EC PE x |2 | 1( )x m m R− ≤ ∈ [0,1] m （2）若 均为正数，且 ，求 的最小值. 18．（本小题满分 12 分） 已知 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 的周长为 12，面积为 ，求三角形三边长. [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 19．（本小题满分 12 分） 三棱柱 中， 平面 ， 为正三角形， 为 中点， 为 线段 的中点， 为 中点 . （1）求证： 面 ；[来源:学|科|网] （2）求证： , ,a b c a b c m+ + = 1 1 1 3 1 3 1 3 1a b c + ++ + + ABC∆ , ,A B C , , ,a b c sin cos( )6c B b C π= − C ABC∆ 4 3 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC D 1B B F 1C D M AB / /FM 1 1A ACC AF BC⊥ [来源:学_科_网] 20.（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 项和 满足 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 . 21．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， =135°， 底面 ， ， 分别为 的中点，点 在线段 上．[来源:Zxxk.Com] （1）求证：面 ⊥面 ； （2）若 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正切值． { }na n nS 2( 1)n nn a S n+ = + 1 1a = { }na 11 3 2 na n nb a −= + +  { }nb n nT P ABCD− ABCD BCD∠ PA ⊥ ABCD 2AB AC PA= = = ,E F ,BC AD M PD EMF PAC M PD ME PAD 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 由两个不同的极值点 . （1）求实数 的取值范围； （2）证明： . 哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试 数 学 答 案（文科） 一、选择题 二、填空题 三、解答题 17. （本小题满分 10 分） （1） ， 由已知解集为 得 解得 ；……5 分 2( ) 2 x kf x e x= − 1 2,x x k 1 2 2x x+ > 1 5: ;6 10: ;11 ,12ADBCD DDBCA B A− − 3 1 113. ; 14. ; 15.4; 16.4 2 3 1 12 | 1 1 2 1 2 2 m mx m x m x − +− ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ [0,1] 1 02 1 12 m m − = + = 1m = （2） 当且仅当 时， 的最小值 ……10 分 （注：“当且仅当 时”不写，扣 2 分） 18. （本小题满分 12 分） （1）由正弦定 理得， ， 即 ， ； ……6 分 （2）由余弦定理得 ， , 解得 ……12 分 19. （本小题满分 12 分） （1）取 AA1 中点 N，连结 C1N，ND，取 C1N 中点 E，连结 EF，AE，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形 ANDB 为平行四边形，∴AB//ND，AB=ND，∵NE=EC1，C1F=FD，∴ ，又∵ ∴四边 形 MAEF 为平行四边形，∴MF//AE，∵ 面 ，AE 面 ， 面 .……6 分 （2）设 中点为 ，连接 ， 三棱柱 中， ， 为 中点，所以四边形 为梯形， 又 为 中点， 为线段 的中点，所以 ， 三棱柱 中， ，所以 ，所以 平面 ， 三棱柱 中， 平面 ，且 平面 ，所以 ① 1a b c+ + = [(3 1) (3 1) 3( 1)]a b c+ + + + + 21 1 1( ) (1 1 1)3 1 3 1 3 1a b c + + ≥ + ++ + + 1 3a b c= = = 1 1 1 3 1 3 1 3 1a b c + ++ + + 3 2 1 3a b c= = = sin sin sin cos( )6C B B C π= − sin 3 cosC C= tan 3C = 3C π= 2 2 2c a b ab= + − 342 3 2 1 == abS 12=++ cba 4=== cba NDEF 2 1//= NDAM 2 1//= ⊄MF 1 1A ACC ⊂ 1 1A ACC / /FM 1 1A ACC BC P PF 1A F 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /BB CC D 1B B 1BDC C P BC F 1C D 1/ /PF CC 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AA CC 1 / /AA PF AF ⊂ 1A APF 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1AA BC⊥ 正 三角形中， 为 中点，则 ② 由①②及 得 平面 ，所以 ……12 分 20. （本小题满分 12 分） （1） ， 时， ， 两式相减得： ……2 分 因为 ，所以 ，……4 分 又 ，所以数列 为首项 ，公差 的等差数列，所以 .……6 分 （2） ……8 分 ……12 分 21. （本小题满分 12 分） (1)∵ 面 ABCD，EF 面 ABCD，∴EF AP 在 中，AB=AC， ，∴AB AC， 又 ，∴四边形 ABEF 为平行四边形，∴AB//EF，因此，A C EF AP AC=C，AP 面 PAC，AC 面 PAC，∴EF 面 PAC 又 EF 面 EMF，∴面 ⊥面 . ……6 分 （2）连接 ① P BC AP BC⊥ 1AA AP A= BC ⊥ 1A APF AF BC⊥ 2( 1)n nn a S n+ = + 2n ≥ 2 1 1( 1)( 1) ( 1)n nn a S n− −− + = + − 1( 1) ( 1) 2( 1)n nn a n a n−− − − = − 2n ≥ 1 2n na a −− = 1 1a = { }na 1 1a = 2d = 2 1na n= − 1 12 3 2 2 3 4na n nb n n− −= + = +  2(2 2 ) (4 1)3 4 12 4 1 n n n n nT n n + −= + = + + −− ⊥PA ⊂ ⊥ ABC∆ °=∠=∠ 45ACBABC ⊥ BEAF =// ⊥  ⊂ ⊂ ⊥ ⊂ EMF PAC ,AE AM / / ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC = ⇒ ⊥  ⇒ ⊥    中 ， 为 的中点 中 ② 由①②及 得 所以 是 在平面 中的射影， 是 与平面 所成的角；……9 分 等腰直角三角形 ， ，所以 ， ，又 为 的中点，故 ，直线 与平面 所成角的正切值为 .……12 分 22．（本小题满分 12 分） （1） 若 ，故舍去； ， 所以 ，.……2 分 ， 又 ， 设 ， 所 以 ， PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥  ⇒ ⊥⊂  平面 平面 PA AD A= AE PAD⊥ 平面 AM EM PAD EMA∠ EM PAD ABC 2AB AC= = 2AE = 2 2 2 2 2 2 3 2 BC AB AD PA ABCD PA AD PD PA = = ⇒ = ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = =  平面 M PD 3AM = 6tan 3 AERt MAE EMA AM ∠ = = 中 ME PAD 6 3 ( ) , ( )x xf x e kx f x e k′ ′′= − = − 0, ( ) 0 ( ) ( )k f x f x f x′′ ′≤ ≥则 恒成立，则 单调递增，则 至多有一个极值点 0, ( ) 0 ln ; ( ) 0 lnk f x x k f x x k′′ ′′∴ > > ⇒ > < ⇒ < ( ) ,ln ) (ln ,f x k k′ ∞ +∞在( - 递减， ）递增 (ln ) (1 ln ) 0f k k k k e′ = − < ⇒ > 1 1(0) 1 0, (1,ln ), ( ) 0f x k f x′ ′= > ∃ ∈ = (2ln ) ( 2ln )f k k k k′ = − 2( ) 2ln , ( ) 1 0( )h k k k h k k ek ′= − = − > > ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 0h k e h k h e e+∞ > = − >在 递增， 时函数 有两个不同的极值点 .……6 分 （2） ， 设 ， 则 ， ……12 分 2 2(ln ,2ln ), ( ) 0x k k f x′∃ ∈ = 1 2 1 2( ) 0 , ( ) 0f x x x x x f x x x x′ ′> ⇒ < > < ⇒ < <，或 ， ( ) ( ) ( )1 1 2 1( ) , +f x x x x x−∞ ∞所以 在 递增， ， 递减， ， 递增 k e> ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) 0, ( ) 0 ln ln , ln ln ,x xf x e kx f x e kx x k x x k x′ ′= − = = − = ⇒ = − = − 2 2 1 1 ln xx x x − = + 2 1 x tx = 2 1 1 2 ln lnln , ,1 1 t t tx x t x xt t − = = =− − 2 1 ln ln ( 1)1 1 t t tx x tt t + = + >− − ( ) ln ln 2( 1),( 1) 1 1( ) ln 1, ( ) 0,( 1) g t t t t t t tg t t g t tt t = + − − > −′ ′′= + − = > > 1( ) ln 1 (1, ) 1 ( ) (1) 0g t t g t gt ′ ′ ′= + − +∞ > > =在 递增，所以t 时， ( ) (1, ) 1 ( ) (1) 0g t g t g+∞ > > =在 递增，所以t 时， 1 ln ln 2( 1) 0, ln ln 2( 1)t t t t t t t t t> + − − > + > −时， 即 1 2 ln ln1 2, 2( 1) t t tt x xt +> > + >−时， 即