2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学 word版

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汕头市金山中学 2019-2020 学年高二上学期期末考试数学科试卷 命题： 一、单项选择题 (本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．设集合 则 （ ） A． B． C． D． 2．若向量 ＝(1，－2)， ＝(x,2)，且 ⊥ ，则 x＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．若幂函数 的图象过点 ，则 的解析式为（ ）. A． B． C． D． 4. 如图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 1000 个点， 其中落入黑色部分的有 498 个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 5．命题“x=π”是“sin x=0”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6. 函数 的图象大致是（ ） A B C D 7. 已知四棱锥 的三视图如图所示，则四棱锥 的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上存在点 P， 使 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1，2，．．．，9 填入 的方格内，3 3× { } { }2 4 0 , 1 5A x x x B x x= − < = < < A B = ( )0,5 ( )1,5 ( )1,4 ( )4,5 a b a b 使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15 (如图）．将连续的正整数 1，2，3，…， 填入 的方格内，使 得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记 阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在 3 阶幻方中， )，则 （ ） A．1020 B．1010 C．510 D．505 10. 已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，左右顶点为 、 ， 是双曲线上任意一点，则分别以 线段 、 为直径的两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况均有可能 二、多项选择题 （本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。） 11. 空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市 12 月 1 日 日 AQI 指数变化趋势： 下列叙述正确的是（ ） A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市 12 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 12. 已知定义域为 的奇函数 ，满足 ,下列叙述正确的是（ ） A.存在实数 ，使关于 的方程 有 个不相等的实数根 B.当 时，恒有 C.若当 时， 的最小值为 ，则 D.若关于 的方程 和 的所有实数根之和为零，则 三、填空题（本题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13.设直线 与圆 相交于 两点，则 ___________. 2n n n× n n nN 3 15N = 10N = x 7 ( ]0,x a∈ 51, 2a  ∈   x 3 1 0x y+ + = 2 2 4 1 0x y x+ − + = ,A B AB = 14.若直三棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球 的表面上， 若 ,则球 的表面积等于________. 15.如图， 是一块半径为 的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去 一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 、 、 、 、 ，记第 块纸板 的面积为 ， 则（1） _______,（2）如果对 恒成立，那么 a 的取值范围是____________. （本题第一个空 2 分，第二个空 3 分.） 16.已知函数 ，当 时 取得最小值，当 时 取得最大值， 且 在区间 上单调．则当 取最大值时 的值为______ ． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 10 分） 已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为 3 的等比数列，且 ． （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 n 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求内角 的值； （Ⅱ）若 ， ，求 的面积． 19. （本小题满分 12 分） 如图， 中， ， ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕把 折起， 使点 A 到达点 P 的位置，且 ． 1 1 1ABC A B C− O 1, 3, 4, 2AB BC AB BC AA⊥ = = = O   （Ⅰ）证明： 平面 PBE； （Ⅱ）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 20. （本小题满分 12 分） 已知圆 C 的圆心在 轴的正半轴上，且 轴和直线 均与圆相切. （Ⅰ）求圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设点 P（0,1），若直线 与圆相交于 M,N 两点，且∠MPN=90°，求 的值. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 Ⅰ当 时，求 的值域； Ⅱ若方程 有解，求实数 a 的取值范围． 22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，且抛物线 的焦点恰好是椭圆 的一个焦点. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 作直线与椭圆 交于 两点，点 满足 （ 为坐标原点），求四边形 面 积的最大值，并求此时直线的方程. x y 3 2 0x y− + = y x m= + m 数学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B D A C B B D B ABD AC 13.__ __; 14.__ __; 15._ ; ___; 16.___ ___. 17. 解：解：（1）设等差数列 的公差为 d． 由 ， ，得 ，解得 ． ………………………………1 分 所以 ． ………………………………2 分 由于 是公比为 3 的等比数列，且 ， ………………………………3 分 所以 ． ………………………………4 分 从而 ． ………………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ） ． ．……10 分 18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得 …………………………1 分 化简得 ， ∴ . …………………………3 分 ∵ ，∴ . ……………………………5 分 （Ⅱ）由 ，得 ， ……………………………6 分 在 中，∵ ，……8 分 由正弦定理 ，得 ， ……………………………10 分 . ………………………………12 分 19. 解：（Ⅰ）证明： ，F 分别为 AB，AC 边的中点， ， …………………………1 分 29π { }na ， ， ， …………………………3 分 又 ，BE、 平面 PBE， …………………………4 分 平面 PBE， 平面 PBE； …………………………5 分 （Ⅱ）解：取 BE 的中点 O，连接 PO， 由 知 平面 PBE， 平面 BCFE， 平面 平面 BCFE， ， ， 又 平面 PBE，平面 平面 ， 平面 BCFE， 过 O 作 交 CF 于 M，则 OB，OM，OP 两两相互垂直. …………………………6 分 分别以 OB，OM，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ，F ． ， ， 设平面 PCF 的法向量为 ， 由 ，取 ，得 ，………8 分 由图可知 为平面 PBE 的一个法向量， ………………………10 分 ， ………………………11 分 平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值 ． ……………………12 分 20. 解：(1)设圆心（ ） ∴ 圆的半径为 ，所以 ，解得： ……2 分 圆的标准方程是： ………………………4 分 (2)设 . ， 消去 得： ……………………………6 分 △= ，得： ……………………………7 分 ， ……………………………9 分 因为∠MPN=90°，所以 ……………………………10 分 又 ,0a 0a > r a= 2 2 a a + = 2a = 2 2( 2) 4x y− + = 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ( )2 22 4 y x m x y = + − + = y 2 22 2( 2) 0x m x m+ − + = 2 24( 2) 8 0m m− − > 2 2 2 2 2 2m− − < < − + 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 22 2 x x m y y m m mx x y y m + = − + = +  ∴ ⋅ = ⋅ = +   ……………………………11 分 解得 或 . ……………………………12 分 21. 解：（Ⅰ）当 时， ……………………………1 分 令 ，令 ， ……………………………2 分 二次函数 的图像开口向下，对称轴是 ， 所以二次函数 在 上单调递增，在 上单调递减. …………………………3 分 又 ， ， 所以 ， …………………………4 分 所以 的值域为 ……………………………5 分 （Ⅱ）法一： ………………………6 分 令 ，令 ， …………………………7 分 ①当 ，即 时， ，且 ，解得 ……………………8 分 ② ，即 时， ，无解 ………………………9 分 ③当 ，即 时， 且 ，解得 …………………10 分 综上所述 或 …………………………12 分 法二： …………………………6 分 令 ， …………………………7 分 当 ，不合题意，∴ ………………………8 分 ∴ ， ………………………9 分 ∵ 在 ， 递减 ………………………10 分 ∴ 或 ………………………11 分 ∴ 或 ………………………12 分 22. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ， ∵离心率为 ，∴ ， 又点 是抛物线 的焦点，∴ ， ∴椭圆 的方程为 . ………………………………4 分 （Ⅱ）∵ ，∴四边形 为平行四边形. 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； ………………………………5 分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 由 得 . 由 得 . …………………………6 分 设 ，则 ， ， …………………………7 分 ∵ ， …………………………8 分 ∴ ， …………………………9 分 令 ，则 （ ）， ∴ ， …………………………11 分 当且仅当 ，即 即 时取等号， ∴当 时，平行四边形 的面积最大值为 2. 此时直线的方程为 . …………………………12 分