2018届二轮复习第三讲分类讨论思想课件（全国通用）
第三讲
分类讨论思想
【
思想解读
】
分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时
,
就需要对研究的对象按某个标准进行分类
,
然后对每一类分别研究
,
给出每一类的结论
,
最终综合各类结果得到整个问题的解答
.
实质上分类讨论就是“化整为零
,
各个击破
,
再集零为整”的数学思想
.
热点
1
由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
【
典例
1】
函数
f(x)=
若
f(1)+f(a)=2
，
则
a
的所有可能值为
________.
【
解析
】
f(1
)=e
0
=1
，即
f(1)=1.
由
f(1)+f(a)=2
，得
f(a)=1.
当
a≥0
时，
f(a)=1=e
a-1
，所以
a=1.
当
-1
|PF
2
|,
则 的值为
________.
【
解析
】
若∠
PF
2
F
1
=90°.
则
|PF
1
|
2
=|PF
2
|
2
+|F
1
F
2
|
2
,
又因为
|PF
1
|+|PF
2
|=6,|F
1
F
2
|=2 ,
解得
|PF
1
|= ,|PF
2
|= ,
所以
若∠
F
1
PF
2
=90°,
则
|F
1
F
2
|
2
=|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
,
所以
|PF
1
|
2
+(6-|PF
1
|)
2
=20,
所以
|PF
1
|=4,|PF
2
|=2,
所以
=2.
综上知
,
或
2.
答案
:
或
2
【
规律方法
】
图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不确定时
,
常按椭圆、双曲线来分类讨论
,
求圆锥曲线的方程时
,
常按焦点的位置不同来分类讨论
;
相关计算中
,
涉及图形问题时
,
也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论
.
【
变式训练
】
1.
若函数
f(x)=-x(x-a)
在
x∈[-1,1]
上的最大值为
4,
则
a
的值为
________.
【
解析
】
函数
f(x)=
的图象的对称轴为
x= ,
应分
<-1,-1≤ ≤1 , >1,
即
a<-2,-2≤a≤2
和
a>2
三种情形讨论
.
①
当
a<-2
时
,
由图
(1)
可知
f(x)
在
[-1,1]
上的最大值为
f(-1)=-1-a=-(a+1),
由
-(a+1)=4,
得
a=-5,
满足题意
.
②
当
-2≤a≤2
时
,
由图
(2)
可知
f(x)
在
[-1,1]
上的最大
值为 由
=4,
得
a=±4(
舍去
).
③
当
a>2
时
,
由图
(3)
可知
f(x)
在
[-1,1]
上的最大值为
f(1)=a-1,
由
a-1=4,
得
a=5,
满足题意
.
综上可知
,a=5
或
-5.
答案
:
5
或
-5
2.
设圆锥曲线
T
的两个焦点分别为
F
1
,F
2
,
若曲线
T
上存在点
P
满足
|PF
1
|∶|F
1
F
2
|∶|PF
2
|=4∶3∶2,
则曲线
T
的离心率为
________.
【
解析
】
不妨设
|PF
1
|=4t,|F
1
F
2
|=3t,|PF
2
|=2t,
若该圆锥曲线为椭圆
,
则有
|PF
1
|+|PF
2
|=6t=2a>3t,
|F
1
F
2
|=3t=2c,e=
若该圆锥曲线是双曲线
,
则有
|PF
1
|-|PF
2
|=2t=2a<3t,
|F
1
F
2
|=3t=2c,
e=
所以圆锥曲线
T
的离心率为
答案
:
热点
3
由变量或参数引起的分类讨论
【
典例
3】
已知函数
f(x)=sinx,g(x)=mx- (m
为实数
).
(1)
求曲线
y=f(x)
在点
P
处的切线方程
.
(2)
求函数
g(x)
的单调递减区间
.
【
解析
】
(1)
由题意得所求切线的斜率
k=
则切线方程为
即
(2)g′(x)=m- x
2
.
①
当
m≤0
时
,g′(x)≤0,
则
g(x)
的单调递减区间是
(-∞,+∞);
②
当
m>0
时
,
令
g′(x)<0,
解得
则
g(x)
的单调递减区间是
综上所述
,m≤0
时
,g(x)
的单调递减区间是
(-∞,+∞);
m>0
时
,g(x)
的单调递减区间是
【
规律方法
】
1.
几种常见的由参数变化引起的分类讨论
(1)
含有参数的不等式的求解
.
(2)
含有参数的方程的求解
.
(3)
对于解析式系数是参数的函数
,
求最值与单调性问题
.
(4)
二元二次方程表示曲线类型的判定等
.
2.
利用分类讨论思想的注意点
(1)
分类讨论要标准统一
,
层次分明
,
分类要做到“不重不漏”
.
(2)
分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别
,
再确定每级讨论的对象与标准
,
每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏
.
(3)
讨论结果归类合并
,
最后整合时要注意是取交集、并集
,
还是既不取交集也不取并集只是分条列出
.
【
变式训练
】
设函数
f(x)=x
2
-ax+b
，讨论函数
f(sinx)
在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出
极值
.
【
解析
】
f(sinx)=sin
2
x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b
，
- 0
，
-2<2sinx<2.
①a≤-2
，
b∈R
时，函数
f(sinx)
单调递增，无极值
.
②a≥2
，
b∈R
时，函数
f(sinx)
单调递减，无极值
.
③
对于
-2
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