2019-2020学年河北省唐山市开滦第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省唐山市开滦第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河北省唐山市开滦第二中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知直线的倾斜角为，则的斜率是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用斜率与倾斜角的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.‎ ‎2．如图所示，为水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据斜二测画法的原则还原三角形的边长与高,进而求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,因为,,,‎ 所以,,‎ 则为底边为,高为的三角形,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测画法的应用,属于基础题.‎ ‎3．过两点的直线在轴上的截距为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：过两点的直线的方程为，令得到 ‎，即在y轴上的截距为3‎ ‎【考点】直线的两点式方程，直线在y轴上的截距.‎ ‎4．若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由直线经过第一、二、四象限可得,,由于圆心为,即可判断圆心的位置.‎ ‎【详解】‎ 由题,因为直线经过第一、二、四象限,‎ 所以,,‎ 因为圆的方程为,‎ 所以圆心为,则,,‎ 所以圆心位于第四象限,‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查直线的图象性质的应用,考查圆的图象性质的应用.‎ ‎5．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于(　　)‎ A．－1 B．1 C．±1 D．－‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，从而可求a的值 ‎【详解】‎ 由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直 ‎∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0‎ ‎∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0‎ ‎∴（a﹣1）（a+1）=0‎ ‎∴a=1，或a=﹣1‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．‎ ‎6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为（ ）‎ A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】由展开图还原正方体,即可判断.‎ ‎【详解】‎ 由题,则正方体的直观图如图所示,‎ 易知,与既不平行,也不相交,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线的空间位置关系的判定,考查正方体的展开图的应用,考查空间想象能力.‎ ‎7．圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎【答案】A ‎【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的圆心坐标，半径为，‎ 圆的圆心坐标，半径为，‎ 则圆心距为，所以，‎ 所以两圆相离，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两圆的位置关系的判定，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．下列说法中正确的是（ ）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点 ‎【答案】C ‎【解析】根据平面的概念进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A错误；‎ 对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B错误；‎ 对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C正确；‎ 对于选项D,若两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面与平面重合,与已知矛盾,故D错误.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查平面的概念的应用,考查空间想象能力.‎ ‎9．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；‎ 相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．‎ ‎【详解】‎ 圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3，‎ 圆心到到直线x+y﹣14＝0的距离为3，‎ 故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题．‎ ‎10．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三棱锥的直观图判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由图,可得左视图为选项A,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查三视图,考查空间想象能力,属于基础题.‎ ‎11．若直线与圆相交于，两点且（其中为原点），则的值为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】A ‎【解析】设圆与轴正半轴交于点,则由题可得或,进而利用斜率公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设圆与轴正半轴交于点,‎ 因为直线与轴交于点,且,‎ 所以或,‎ 所以为或,即或,‎ 所以或,‎ 故答案为:A ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率公式的应用,考查圆的应用.‎ ‎12．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P ‎，设点P到CD的距离为，则有,当直径通过AB与CD的中点时，，故.‎ 二、填空题 ‎13．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以异面直线和所成角，‎ 设正方体的棱长为，‎ 则直角三角形中，，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ ‎14．圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．‎ 因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，‎ 故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=‎ ‎∴圆C的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎15．已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】斜率，令，为上的奇函数，当时，有，当时，有，∵，∴，∴当时，的值域为，因此，动直线的倾斜角的范围为．‎ ‎16．以下命题（其中表示直线，表示平面）‎ ‎①若，则 ②若，,则 ‎ ‎③若，,则 ④若，,则 ‎ 其中正确命题的个数是 ______________________. ‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】①根据线面平行的判定定理，还需要这一个条件；‎ ‎②的关系不确定，可以平行，相交，还可以异面；‎ ‎③还存在这种可能性；‎ ‎④可以是两条异面直线.‎ ‎【详解】‎ ‎①要想，还需要这个条件，故本命题是假命题；‎ ‎②除了平行以外还可以相交，异面，故本命题是假命题；‎ ‎③还存在这种可能性，故本命题是假命题；‎ ‎④可以是两条异面直线，故本命题是假命题，因此正确的命题的个数为零.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知线线平行是否可以得到线面平行，同样已知线面平行是否可以得到线线平行.解决本题重点是要知道平行线的性质传递是受条件限制的.‎ 三、解答题 ‎17．设直线与直线交于P点.‎ ‎（Ⅰ）当直线过P点，且与直线平行时，求直线的方程.‎ ‎（Ⅱ）当直线过P点，且原点O到直线的距离为1时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】本试题主要是考查了两条直线的位置关系的运用．点到直线的距离公式的综合运用．‎ ‎（1）因为直线过P点，且与直线平行时，则可以设出直线的方程，代入交点P得到结论．‎ ‎（2）根据当直线过P点，且原点O到直线的距离为1时结合点到直线的距离公式得到直线l的方程 解：设直线与直线交于P点 ‎（Ⅰ）联立方程解得交点坐标P为（1,2）‎ 设直线的方程为，代入点P（1,2）的坐标求得C=-4，所以直线的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，成立；‎ 当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为：y-2=k(x-1),整理得kx-y+2-k=0,‎ 则原点到直线的距离，解得，此时直线方程为：‎ 综上：直线的方程为：或 ‎18．如图，正方体中，‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)证明过程详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由AC⊥BD，AC⊥BB1，由此能够证明AC⊥平面B1D1DB；‎ ‎（2）设直线与平面所成的角记为，求出点面的距离为，则.‎ ‎【详解】‎ 解：(1) 面，面，，，，‎ 面.‎ ‎(2)设正方体的棱长为1，记点面的距离为,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，得 直线与平面所成的角记为，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎19．已知直线，，且.‎ ‎（1）求以圆心，且与相切的圆的方程；‎ ‎（2）判断直线与（1）中所求出圆的位置关系，若直线与圆相交，求弦长.‎ ‎【答案】（1）；（2）相交，‎ ‎【解析】（1）由可得且,即可解得,再由求解即可；‎ ‎（2）利用圆心与直线的距离与圆的半径比较大小即可判断位置关系,再利用弦长为求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵,‎ ‎∴且,解得,‎ ‎∴的方程为,‎ ‎∴‎ ‎∴圆方程为 ‎（2）∵,‎ ‎∴与圆相交,‎ ‎∴弦长为 ‎【点睛】‎ 本题考查直线平行的应用,考查几何法求圆的方程,考查直线与圆的位置关系的判定,考查圆内的弦长.‎ ‎20．已知一个直角三角形的两条直角边长分别是2，；以这个直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，求这个旋转体的表面积和体积.‎ ‎【答案】表面积：，体积：‎ ‎【解析】设一个直角三角形的两条直角边长分别是,,由勾股定理可得,进而利用圆锥的体积公式求旋转体的体积和表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,设一个直角三角形的两条直角边长分别是,,‎ ‎∴斜边长,‎ 以这个直角三角形的斜边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个圆锥的组合体,如图,‎ 则,,‎ ‎,‎ ‎∴这个旋转体的表面积.‎ 这个旋转体的体积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转体的体积、表面积,考查圆锥的体积公式的应用.‎ ‎21．已知点在圆上运动，，点线段的中点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程.‎ ‎（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值，最小值为 ‎【解析】（1）利用中点公式可得,则,代入圆中求解即可；‎ ‎（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心,半径等于1的圆,转化问题为圆心到直线的距离加减半径,先求得圆心到直线的距离,进而求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据线段中点坐标公式得,解得,‎ ‎∵点,即在圆上运动,‎ ‎∴坐标代入,得,化简得,‎ 即点的轨迹方程为 ‎（2）由（1）,∵点的轨迹是以为圆心,半径等于1的圆,‎ ‎∴圆心到直线的距离,‎ 则点到直线的距离的最大值为,最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相关点法求轨迹方程,考查圆上一点到圆外一直线的距离的最值问题,考查转化思想.‎ ‎22．‎ 如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证:平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】解：(Ⅰ) 连结与交于，‎ 则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面………………4分 ‎（Ⅱ）(解法1)过作于，由正三棱柱的性质可知，‎ 平面，连结，在正中，‎ 在直角三角形中，‎ 由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，‎ 又得，‎ ‎，‎ ‎∴.故所求二面角的大小为.………………8分 解法（2）（向量法）‎ 建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎．‎ 设是平面的一个法向量，则可得 ‎，所以即取 可得 又平面的一个法向量设则 又知二面角是锐角,所以二面角的大小是……………………………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）设求点到平面的距离；因，所以，故，而………………10分 由……………12分 ‎【解析】(Ⅰ) 连结与交于，则为的中点，‎ 为的中点，‎ 为的中位线，‎ ‎//．又平面，平面，‎ ‎//平面……… ……4分 ‎（Ⅱ）过作于，由正三棱柱的性质可知，‎ 平面，连结，在正中，‎ 在直角三角形中，‎ 由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，又得，‎ ‎，‎ ‎∴.故所求二面角的大小为.………………8分 解法（2）（向量法）‎ 建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎.‎ 设是平面的一个法向量，则可得 ‎，所以即取可得 又平面的一个法向量设则 又知二面角是锐角,所以二面角的大小是……………………………………… ……………8分 ‎（Ⅲ）设点到平面的距离；因，所以，故，而………… ……10分 由……… …12分