黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试 高二理科数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出集合，，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。‎ ‎【详解】由题可得，；‎ 所以，则选项正确；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。‎ ‎2.给定下列两个命题：‎ ‎①“”为真是“”为真的充分不必要条件；‎ ‎②“，都有”的否定是“，使得”，‎ 其中说法正确的是（）‎ A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①和②都为假 D. ①和②都为真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。‎ ‎【详解】对①，“”为真，则命题，都真，“”为真，则命题，‎ 至少一个为真，所以“”为真是“”为真的充分不必要条件，①为真命题；‎ 对②，全称命题的否定是特称命题，所以“，都有”的否定是“，使得”， ②为真命题；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题。‎ ‎3.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出的定义域。‎ ‎【详解】由题可得： ，解得且，所以函数的定义域为；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题主要抽象函数与初等函数的定义域，属于基础题。‎ ‎4.已知函数，则的解集为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分段函数的表达式，讨论当和时，不等式的解，从而得到答案。‎ ‎【详解】因为，由，得：① 或②；‎ 解①得;；解②得： ；‎ 所以的解集为；‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。‎ ‎5.已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得，与联立便可解出和，从而得到的值。‎ ‎【详解】①；‎ ‎；‎ 又函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数；‎ ‎，；‎ ‎②；‎ 联立①② ，解得 ‎ 所以；‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查奇函数、偶函数的定义，解题的关键是通过建立关于与的方程组求出和的解析式，属于中档题。‎ ‎6.设，，，则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出，，的范围，从而得到答案。‎ ‎【详解】根据指数函数图像可得，‎ ‎，；‎ 由于，则 ，则；‎ 所以；‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题。‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得：，代入中计算即可得到答案。‎ ‎【详解】由于；‎ 因为函数是定义在上的奇函数，且以2为周期；‎ 所以 又因为，所以；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。‎ ‎8.已知是定义在上的函数，若且，则的解集为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，根据单调建立关系，解之即可。‎ ‎【详解】令函数；‎ 由，则；‎ 所以在上单调递减；‎ ‎，则，‎ 转化为，即；‎ 根据在上单调递减，则；‎ 所以的解集为；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用构造新函数解不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。‎ ‎9.已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。‎ ‎【详解】由题可得，分别把和代入与中得到 ，解得：；‎ ‎ ，，即 当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增；‎ ‎ ‎ 要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；‎ ‎（1）当时，显然不等式不成立，舍去；‎ ‎（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；‎ ‎（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；‎ 综述所述，实数的取值范围是 故答案选C ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。‎ ‎10.已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作函数图像，方程有4个不同的实数根，从而得到 ‎，，，的范围，代入化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围。‎ ‎【详解】作函数的图像如下：‎ 由图可知：，，，‎ 故 ；‎ 由在单调递减，所以的范围是 ，即的取值范围是；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键。‎ ‎11.已知函数，则关于的不等式解集为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得为偶函数，利用导数可得的单调区间，利用函数的奇偶性和单调性转化不等式求解即可。‎ ‎【详解】函数的定义域为，，‎ 所以在上为偶函数；‎ 当时，，则，由于当时，，，则在上恒大于零，即在单调递增；‎ 由在上为偶函数，则在单调递减；故不等式等价于，解得;;‎ 所以不等式解集；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。‎ ‎12.已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值 ‎【详解】由题可得：；‎ ‎（1） 当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；‎ ‎（2） 当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；‎ ‎（3） 当 时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；‎ 先求的最大值：由，‎ 令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；‎ 综述所述，的最大值为；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，则在处的切线方程为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ 又；‎ 在处的切线方程为，即；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎14.若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据（）代入中求得的最大值，进而得到实数的取值范围。‎ ‎【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）；‎ 所以，即的最大值为，即实数的取值范围是 ；‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解题方法，解题关键是利用基本不等式求出的最大值，属于中档题。‎ ‎15.若，则实数的值为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意找出的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算，求出实数的值 ‎【详解】由于；‎ 所以，即；‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题，‎ ‎16.设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意的，存在，使得，可得在的值域为在的值域的子集，构造关于实数的不等式，可得结论。‎ ‎【详解】由题可得：，令，解得：，令，解得：，令，解得： ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，，，故在的值域为；‎ ‎，所以在为偶函数；‎ 当时，，由于，则，，由，即当时，，故函数在上单调递增，在单调递减，，，故在值域为；‎ 由任意的，存在，使得，可得在的值域为在的值域的子集，则 ，解得：；‎ 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键是根据条件分析出在的值域为在的值域的子集，属于中档题。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.已知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由曲线在点处的切线平行于轴，可得，从而得到答案；‎ ‎（Ⅱ）令函数，要证，即证，利用导数求出的最小值即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得; ，由于曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得：；‎ ‎（Ⅱ）当时，，要证明，即证：；‎ 令，求得；‎ 令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在 上单调递增，则，即，从而。‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，以及导数在研究函数中的应用，本题解题的关键是构造函数，利用导数求出函数的最小值，属于中档题。‎ ‎18.设 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式。‎ ‎（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决。‎ ‎【详解】（1）‎ 令 当时 当时 当时 综上所述 ‎（2）恒成立等价于 ‎（当且仅当时取等）‎ 恒成立 ‎【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号。属于中等题。‎ ‎19.已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程，再把直接直角坐标方程化为极坐标方程。根据即可把直线化为直角坐标方程。‎ ‎（2）把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标，把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标。根据即可求出面积。‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为 所以 所以曲线的极坐标方程为：‎ 又直线的极坐标方程为 所以直线的直角坐标系方程为 综上所述：‎ ‎（2）由（1）知曲线的极坐标方程为 所以联立射线与曲线及直线的极坐标方程可得 所以联立射线与曲线的极坐标方程可得 所以 所以 ‎【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程直接的互化，主要掌握。属于基础题。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，，情况下导数的正负，由此得到答案；‎ ‎（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得函数的的定义域为，；‎ ‎（1） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间 ‎（2） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎（3） 当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时， 单调递增区间为，单调递减区间为，则；‎ 所以在定义域内恒成立，则恒成立，即，‎ 令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的单调增区间为，单调减区间为，则 ‎ 所以当时，恒成立，即在定义域内恒成立，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想和运算求解能力，属于中档题。‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求实数的值及在内的最小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：函数存在唯一的极小值点，且.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件的导函数，以及，从而求出实数的值，利用导数求出函数在内的单调性，从而得到在内的最小值 ‎（Ⅱ）由题可得,令，要证函数存在唯一的极小值点，即证只有唯一根，利用导数求出的单调区间与值域即可，且由零点定理可知，由，可得，代入中，利用导数求出在内的最值即可证明。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得：，则，‎ 是函数的一个极值点，‎ ‎，即，解得：，经检验，当时，是函数的一个极值点；‎ ‎；‎ 当时，，令，解得：或，‎ 当时，、的变化如下表：‎ 所以当时，有最小值，‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 令，，则，‎ 由于恒成立，所以恒大于零，则在上单调递增，‎ 由于，，根据零点定理，可得存在唯一的，使得，‎ 令，解得：，，当或时，，即的单调增区间为，，当时，，即的单调减区间为，‎ 函数存在唯一的极小值点，且，，则；‎ ‎，‎ 则，令，解得：或，‎ 当时，，则在上单调递减，则，，所以 ‎【点睛】本题考查导数在函数最值以及极值中的运用，考查学生转化的思想，综合性较强，有一定难度。‎ ‎22.已知函数有两个不同极值点，且.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把函数有两个不同极值点转化为有两个不同的实数根，分类讨论，，时，值域情况，从而得到实数 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）显然 ， 恒成立，只需讨论的情况，由于，为方程的两个根，从而有，变形可得：‎ 所以要使恒成立等价于恒成立，令，利用导数讨论的值域即可。‎ ‎【详解】由题可得的定义域为，，‎ 函数有两个不同极值点等价于有两个不同的实数根，令 ，‎ 当时，，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；‎ 当时，，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；‎ 当时，令，解得：，令时，解得： ，所以的增区间为，减区间为，则；‎ 由于当时，，当时，，所以要使由两个根，则，解得：；‎ 综述所述，实数的取值范围为 ‎（Ⅱ）（1）由于，所以当时，显然恒成立，下讨论的情况；‎ ‎（2）当时，由（I），为方程 的两个根，从而有，‎ 可得：，，‎ 所以，‎ 要使恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，‎ 令，，则，只要使即可，‎ 则，，‎ 再令，则，‎ 可知：在内单调递减，从而，‎ ‎（i）当时，，则，在内单调递增，所以 ，所以满足条件；‎ ‎（ii）当时，，当时，，由于在内单调递减，根据零点存在定理，可知存在唯一，使得，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ 则，不满足恒成立，故不满足条件；‎ 综述所述，实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性和极值，问题（Ⅱ）为极值点偏移问题，常见的处理方法是根据极值点满足的等式构造求证目标满足的等式，再把求证目标不等式归结为函数不等式来证明．‎ ‎ ‎