黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

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黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试 高二理科数学 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集,集合,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出集合,,由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。‎ ‎【详解】由题可得,;‎ 所以,则选项正确;‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算,属于基础题。‎ ‎2.给定下列两个命题:‎ ‎①“”为真是“”为真的充分不必要条件;‎ ‎②“,都有”的否定是“,使得”,‎ 其中说法正确的是()‎ A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①和②都为假 D. ①和②都为真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分条件和必要条件的定义对①进行判断,由全称命题的否定是特称命题对②进行判断,从而得到答案。‎ ‎【详解】对①,“”为真,则命题,都真,“”为真,则命题,‎ 至少一个为真,所以“”为真是“”为真的充分不必要条件,①为真命题;‎ 对②,全称命题的否定是特称命题,所以“,都有”的否定是“,使得”, ②为真命题;‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查命题真假的判定,属于基础题。‎ ‎3.若函数的定义域为,则函数的定义域为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抽象函数的定义域,对数的真数大于零,分母不为零,列出不等式,从而求出的定义域。‎ ‎【详解】由题可得: ,解得且,所以函数的定义域为;‎ 故答案选B ‎【点睛】本题主要抽象函数与初等函数的定义域,属于基础题。‎ ‎4.已知函数,则的解集为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分段函数的表达式,讨论当和时,不等式的解,从而得到答案。‎ ‎【详解】因为,由,得:① 或②;‎ 解①得;;解②得: ;‎ 所以的解集为;‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题。‎ ‎5.已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得,与联立便可解出和,从而得到的值。‎ ‎【详解】①;‎ ‎;‎ 又函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数;‎ ‎,;‎ ‎②;‎ 联立①② ,解得 ‎ 所以;‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查奇函数、偶函数的定义,解题的关键是通过建立关于与的方程组求出和的解析式,属于中档题。‎ ‎6.设,,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出,,的范围,从而得到答案。‎ ‎【详解】根据指数函数图像可得,‎ ‎,;‎ 由于,则 ,则;‎ 所以;‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查指数、对数值的大小比较,解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围,属于中档题。‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数,且以2为周期,当时,,则的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得:,代入中计算即可得到答案。‎ ‎【详解】由于;‎ 因为函数是定义在上的奇函数,且以2为周期;‎ 所以 又因为,所以;‎ 故答案选A ‎【点睛】本题主要考查函数的有关性质,奇偶性、周期性,以及对数的有关运算,属于基础题。‎ ‎8.已知是定义在上的函数,若且,则的解集为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后将转化为,即,根据单调建立关系,解之即可。‎ ‎【详解】令函数;‎ 由,则;‎ 所以在上单调递减;‎ ‎,则,‎ 转化为,即;‎ 根据在上单调递减,则;‎ 所以的解集为;‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用构造新函数解不等式,考查学生转化的思想,属于中档题。‎ ‎9.已知定义在上的函数的导函数为,且,若存在实数,使不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导,分别求出和的值,得到,利用导数得函数的最小值为1,把存在实数,使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立,分离参数,分类讨论大于零,等于零,小于零的情况,从而得到的取值范围。‎ ‎【详解】由题可得,分别把和代入与中得到 ,解得:;‎ ‎ ,,即 当时,,则在上单调递减;‎ 当时,,则在上单调递增;‎ ‎ ‎ 要存在实数,使不等式对于任意恒成立,则不等式对于任意恒成立,即不等式对于任意恒成立;‎ ‎(1)当时,显然不等式不成立,舍去;‎ ‎(2)当时,不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立,即,解得:;‎ ‎(3)当时,不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立,即,解得:;‎ 综述所述,实数的取值范围是 故答案选C ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法,利用导数求函数最小值,分类参数法,考查学生转化的思想,分类讨论的能力,属于中档题。‎ ‎10.已知函数,若方程有4个不同的实数根,则的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作函数图像,方程有4个不同的实数根,从而得到 ‎,,,的范围,代入化简,再利用函数的单调性即可得到取值范围。‎ ‎【详解】作函数的图像如下:‎ 由图可知:,,,‎ 故 ;‎ 由在单调递减,所以的范围是 ,即的取值范围是;‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查分段函数的运用,主要考查函数单调性的运用,运用数形结合的思想方法是解题的关键。‎ ‎11.已知函数,则关于的不等式解集为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得为偶函数,利用导数可得的单调区间,利用函数的奇偶性和单调性转化不等式求解即可。‎ ‎【详解】函数的定义域为,,‎ 所以在上为偶函数;‎ 当时,,则,由于当时,,,则在上恒大于零,即在单调递增;‎ 由在上为偶函数,则在单调递减;故不等式等价于,解得;;‎ 所以不等式解集;‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式,考查学生转化的思想,属于中档题。‎ ‎12.已知函数,且对任意的,都有恒成立,则的最大值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数,再分别讨论,,的情况,从而得出的最大值 ‎【详解】由题可得:;‎ ‎(1) 当时,则,由于,所以不可能恒大于等于零;‎ ‎(2) 当时,则在恒成立,则函数在上单调递增,当时,,故不可能恒有;‎ ‎(3) 当 时,令,解得:,令,解得:,令,解得:,‎ 故在上单调递减,在上单调递增,则,对任意的,都有恒成立,即,得,所以;‎ 先求的最大值:由,‎ 令,解得:,令,解得:,令,解得,则在上所以单调递增,在上单调递减,所以;所以的最大值为;‎ 综述所述,的最大值为;‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查函数的单调性,导数的应用,渗透了分类讨论思想,属于中档题。‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知函数,则在处的切线方程为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数,令,可得,求出,即可求出切线方程。‎ ‎【详解】;‎ ‎;‎ 又;‎ 在处的切线方程为,即;‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题。‎ ‎14.若对任意,都有恒成立,则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据()代入中求得的最大值,进而得到实数的取值范围。‎ ‎【详解】因为,所以(当且仅当时取等号);‎ 所以,即的最大值为,即实数的取值范围是 ;‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解题方法,解题关键是利用基本不等式求出的最大值,属于中档题。‎ ‎15.若,则实数的值为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意找出的原函数,然后根据定积分运算法则,两边进行计算,求出实数的值 ‎【详解】由于;‎ 所以,即;‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算,解题的关键是找到被积函数的原函数,属于基础题,‎ ‎16.设函数,若对任意的,存在,使得,则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意的,存在,使得,可得在的值域为在的值域的子集,构造关于实数的不等式,可得结论。‎ ‎【详解】由题可得:,令,解得:,令,解得:,令,解得: ‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,,,故在的值域为;‎ ‎,所以在为偶函数;‎ 当时,,由于,则,,由,即当时,,故函数在上单调递增,在单调递减,,,故在值域为;‎ 由任意的,存在,使得,可得在的值域为在的值域的子集,则 ,解得:;‎ 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,解题的关键是根据条件分析出在的值域为在的值域的子集,属于中档题。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.已知函数().‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由曲线在点处的切线平行于轴,可得,从而得到答案;‎ ‎(Ⅱ)令函数,要证,即证,利用导数求出的最小值即可。‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题可得; ,由于曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得:;‎ ‎(Ⅱ)当时,,要证明,即证:;‎ 令,求得;‎ 令,解得:,令,解得:,令,解得:,所以在上单调递减,在 上单调递增,则,即,从而。‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,以及导数在研究函数中的应用,本题解题的关键是构造函数,利用导数求出函数的最小值,属于中档题。‎ ‎18.设 ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)对任意的非零实数,有恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过讨论的范围去绝对值符号,从而解出不等式。‎ ‎(2)恒成立等价于恒成立的问题即可解决。‎ ‎【详解】(1)‎ 令 当时 当时 当时 综上所述 ‎(2)恒成立等价于 ‎(当且仅当时取等)‎ 恒成立 ‎【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题,在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号。属于中等题。‎ ‎19.已知曲线的参数方程为,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线与曲线交于两点,与直线交于点,射线与曲线交于两点,求的面积.‎ ‎【答案】(1) ;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程,再把直接直角坐标方程化为极坐标方程。根据即可把直线化为直角坐标方程。‎ ‎(2)把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标,把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标。根据即可求出面积。‎ ‎【详解】(1)因为曲线的参数方程为 所以 所以曲线的极坐标方程为:‎ 又直线的极坐标方程为 所以直线的直角坐标系方程为 综上所述:‎ ‎(2)由(1)知曲线的极坐标方程为 所以联立射线与曲线及直线的极坐标方程可得 所以联立射线与曲线的极坐标方程可得 所以 所以 ‎【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程直接的互化,主要掌握。属于基础题。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,在定义域内恒成立,求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)当时,单调递增区间为,无单调递减区间;当时,单调递增区间为,单调递减区间为 ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求出函数的的定义域以及导函数,分类讨论,,情况下导数的正负,由此得到答案;‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得函数的最小值,要使在定义域内恒成立,则恒成立,令,利用导数求出的最值,从而得到实数的值。‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题可得函数的的定义域为,;‎ ‎(1) 当时,恒成立,则单调递增区间为,无单调递减区间 ‎(2) 当时,恒成立,则单调递增区间为,无单调递减区间;‎ ‎(3) 当时,令,解得:,令,解得:,则单调递增区间为,单调递减区间为;‎ 综述所述:当时,单调递增区间为,无单调递减区间;当时,单调递增区间为,单调递减区间为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时, 单调递增区间为,单调递减区间为,则;‎ 所以在定义域内恒成立,则恒成立,即,‎ 令,先求的最大值:,令,解得:,令,解得:,令,解得:,所以的单调增区间为,单调减区间为,则 ‎ 所以当时,恒成立,即在定义域内恒成立,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性,以及利用导数研究函数的最值,考查学生转化的思想和运算求解能力,属于中档题。‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求实数的值及在内的最小值;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:函数存在唯一的极小值点,且.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知条件的导函数,以及,从而求出实数的值,利用导数求出函数在内的单调性,从而得到在内的最小值 ‎(Ⅱ)由题可得,令,要证函数存在唯一的极小值点,即证只有唯一根,利用导数求出的单调区间与值域即可,且由零点定理可知,由,可得,代入中,利用导数求出在内的最值即可证明。‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题可得:,则,‎ 是函数的一个极值点,‎ ‎,即,解得:,经检验,当时,是函数的一个极值点;‎ ‎;‎ 当时,,令,解得:或,‎ 当时,、的变化如下表:‎ 所以当时,有最小值,‎ ‎(Ⅱ)当时,,‎ 令,,则,‎ 由于恒成立,所以恒大于零,则在上单调递增,‎ 由于,,根据零点定理,可得存在唯一的,使得,‎ 令,解得:,,当或时,,即的单调增区间为,,当时,,即的单调减区间为,‎ 函数存在唯一的极小值点,且,,则;‎ ‎,‎ 则,令,解得:或,‎ 当时,,则在上单调递减,则,,所以 ‎【点睛】本题考查导数在函数最值以及极值中的运用,考查学生转化的思想,综合性较强,有一定难度。‎ ‎22.已知函数有两个不同极值点,且.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)把函数有两个不同极值点转化为有两个不同的实数根,分类讨论,,时,值域情况,从而得到实数 的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)显然 , 恒成立,只需讨论的情况,由于,为方程的两个根,从而有,变形可得:‎ 所以要使恒成立等价于恒成立,令,利用导数讨论的值域即可。‎ ‎【详解】由题可得的定义域为,,‎ 函数有两个不同极值点等价于有两个不同的实数根,令 ,‎ 当时,,则在定义域内单调递增,不可能存在两个根使得,舍去;‎ 当时,,则在定义域内单调递增,不可能存在两个根使得,舍去;‎ 当时,令,解得:,令时,解得: ,所以的增区间为,减区间为,则;‎ 由于当时,,当时,,所以要使由两个根,则,解得:;‎ 综述所述,实数的取值范围为 ‎(Ⅱ)(1)由于,所以当时,显然恒成立,下讨论的情况;‎ ‎(2)当时,由(I),为方程 的两个根,从而有,‎ 可得:,,‎ 所以,‎ 要使恒成立等价于恒成立,即恒成立,即恒成立,‎ 令,,则,只要使即可,‎ 则,,‎ 再令,则,‎ 可知:在内单调递减,从而,‎ ‎(i)当时,,则,在内单调递增,所以 ,所以满足条件;‎ ‎(ii)当时,,当时,,由于在内单调递减,根据零点存在定理,可知存在唯一,使得,‎ 当时,,单调递增;当时,,单调递减,‎ 则,不满足恒成立,故不满足条件;‎ 综述所述,实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性和极值,问题(Ⅱ)为极值点偏移问题,常见的处理方法是根据极值点满足的等式构造求证目标满足的等式,再把求证目标不等式归结为函数不等式来证明.‎ ‎ ‎
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