高考文科数学复习：夯基提能作业本 (60)

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第二节　空间几何体的表面积和体积 A组　基础题组 ‎1.(2016广东3月适应性考试)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.12 B.6 C.4 D.2‎ ‎2.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A.‎2‎2‎π‎3‎ B.‎4‎2‎π‎3‎ C.2‎2‎π D.4‎2‎π ‎3.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A.‎1‎‎8‎ B.‎1‎‎7‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎5.(2017福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为(　　)‎ A.8(1+‎2‎) B.4(1+‎2‎) C.2(1+‎2‎) D.1+‎‎2‎ ‎6.(2016山西太原一模)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=‎2‎,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,若四面体A'-BCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为(　　)‎ A.3π B.‎3‎‎2‎π C.4π D.‎3‎‎4‎π ‎7.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且BPPD‎1‎=‎1‎‎2‎,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为　　　　. ‎ ‎8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　m3. ‎ ‎9.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为　　　　. ‎ ‎10.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ B组　提升题组 ‎11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)‎ A.6 B.9 C.12 D.18‎ ‎12.(2017贵州遵义模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.24+12‎3‎ B.24+5‎3‎ C.12+15‎3‎ D.12+12‎‎3‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π ‎14.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　)‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎15.(2017安徽师大附中)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(　　)‎ A.4 B.2‎2‎ C.4‎2‎ D.8‎ ‎16.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.‎ ‎(1)证明:AC⊥HD';‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,AE=‎5‎‎4‎,OD'=2‎2‎,求五棱锥D'-ABCFE的体积.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　该几何体为四棱锥P-ABCD,其中PA⊥平面ABCD,如图,‎ 则该几何体的体积为V=‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×(2+1)×2=2.‎ ‎2.B　依题意知,该几何体是以‎2‎为底面半径,‎2‎为高的两个同底圆锥组成的组合体,则其体积为‎1‎‎3‎π(‎2‎)2×‎2‎×2=‎4‎‎2‎‎3‎π,故选B.‎ ‎3.D　如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为‎1‎‎6‎a3,剩余部分的体积为a3-‎1‎‎6‎a3=‎5‎‎6‎a3,它们的体积之比为‎1‎‎5‎.故选D.‎ ‎4.B　设圆锥底面的半径为R尺,由‎1‎‎4‎×2πR=8得R=‎16‎π,从而米堆的体积V=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎πR2×5=‎16×20‎‎3π(立方尺),因此堆放的米约有‎16×20‎‎3×1.62π≈22(斛).故选B.‎ ‎5.B　由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示:‎ 底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为SA=2.‎ SB=SD=2‎2‎,CD⊥SD,CB⊥SB,‎ 所以S侧=S△SAB+S△SAD+S△SCB+S△SCD ‎=2S△SAB+2S△SCB ‎=2×‎1‎‎2‎×2×2+2×‎1‎‎2‎×2×2‎‎2‎ ‎=4+4‎2‎.故选B.‎ ‎6.A　由题意可得BD=A'C=‎2‎,BC=‎3‎,△BDC与△A'BC都是以BC为斜边的直角三角形,由此可得BC中点到A',B,C,D四个点的距离相等,故可得该三棱锥的外接球的直径为‎3‎,所以该外接球的表面积S=4π×‎3‎‎2‎‎2‎=3π.‎ ‎7.答案　‎‎3‎‎2‎ 解析　∵BPPD‎1‎=‎1‎‎2‎,∴点P到平面BC1C的距离是点D1到平面BC1C距离的‎1‎‎3‎,即为D‎1‎C‎1‎‎3‎=1,∵M为线段B1C1上的点,‎ ‎∴S△MBC=‎1‎‎2‎×3×3=‎9‎‎2‎,∴VM-PBC=VP-MBC=‎1‎‎3‎×‎9‎‎2‎×1=‎3‎‎2‎.‎ ‎8.答案　‎‎20π‎3‎ 解析　该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积V=π×12×4+‎1‎‎3‎×π×22×2=‎20π‎3‎(m3).‎ ‎9.答案　‎‎9π‎2‎ 解析　如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=‎1‎‎3‎R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+‎1‎‎3‎R‎2‎,即R2=‎9‎‎8‎.由球的表面积公式,得所求表面积S=4πR2=‎9π‎2‎.‎ ‎10.解析　(1)交线围成的正方形EHGF如图:‎ ‎(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.‎ 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.‎ 于是MH=EH‎2‎-EM‎2‎=6,AH=10,HB=6.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为‎9‎‎7‎‎7‎‎9‎也正确.‎ B组　提升题组 ‎11.B　由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×6×3×3=9.故选B.‎ ‎12.A　由已知可得该几何体为三棱柱,‎ 底面是斜边长为4,斜边上的高为‎3‎的直角三角形,‎ 棱柱的高为4,‎ 故棱柱的表面积S=2×‎1‎‎2‎×4×‎3‎+4×4+4×4sin 30°+4×4cos 30°=24+12‎3‎,故选A.‎ ‎13.A　由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积为V=4×2×2+‎1‎‎2‎π×22×4=16+8π.故选A.‎ ‎14.C　△AOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由‎1‎‎6‎R3=36得R=6.从而球O的表面积S=4πR2=144π.故选C.‎ ‎15.D　根据题中三视图可得该几何体的直观图如图所示,则这个几何体的体积为2×2×3×‎2‎‎3‎=8.故选D.‎ ‎16.解析　(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.‎ 由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.‎ ‎(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=‎1‎‎4‎.‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO=AB‎2‎-AO‎2‎=4.‎ 所以OH=1,D'H=DH=3.‎ 于是OD'2+OH2=(2‎2‎)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.‎ 由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.‎ 又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.‎ 又由EFAC=DHDO得EF=‎9‎‎2‎.‎ 五边形ABCFE的面积S=‎1‎‎2‎×6×8-‎1‎‎2‎×‎9‎‎2‎×3=‎69‎‎4‎.‎ 所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=‎1‎‎3‎×‎69‎‎4‎×2‎2‎=‎23‎‎2‎‎2‎.‎