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文档介绍
2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第6练
第6练 三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练] [明晰考情] 1.命题角度:三角函数的概念和应用;利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度:单独考查概念和三角变换,难度为中低档;三角恒等变换和其他知识交汇命题,难度为中档. 考点一 任意角的三角函数 要点重组 (1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. (2)三角函数:角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (3)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 1.(2018·四川棠湖中学开学考试)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是( ) A.(-7,-) B. (-7, ) C.(-4,-2) D.(-4,2) 答案 A 解析 因为点O(0,0),P(6,8),所以=(6,8), 设=(10cos θ,10sin θ),则cos θ=,sin θ=, 因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到, 设Q(x,y),则x=10cos=10=-7, y=10sin=10=-, 所以点Q的坐标为,故选A. 2.若角θ的终边过点P(3,-4),则tan(θ+π)等于( ) A. B.- C. D.- 答案 D 解析 因为角θ的终边过点P(3,-4),则tan θ=-,则tan(θ+π)=tan θ=-. 3.已知角θ的终边经过点,若sin θ=2sin cos ,则实数a等于( ) A.- B.- C.± D.± 答案 B 解析 由题意知2sin2-1=-cos =-, 得sin θ==-2sin cos =-,且a<0, 解得a=-.故选B. 4.函数y=的定义域是__________________. 答案 ,k∈Z 考点二 三角函数的求值与化简 要点重组 (1)同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. (2)诱导公式:角π±α(k∈Z)的三角函数口诀: 奇变偶不变,符号看象限. (3)和差公式. 方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”:注意角的变形;看函数名称之间的关系;观察式子的结构特点. (2)公式的变形使用尤其是二倍角的余弦公式的变形是高考的热点,sin2α=,cos2α=. 5.(2018·湖北长望浏宁四县调研)若sin=,则sin的值为( ) A. B.- C. D.- 答案 D 解析 ∵sin=, ∴sin=cos=cos=cos 2 =1-2sin2=1-2×=-. 6.若tan α=2tan ,则等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 cos=cos=cos=sin, 所以原式=====3. 7.若cos=,sin=,α∈,β∈,则sin(α+β)=_______. 答案 解析 ∵α∈, 且cos>0,∴-<-α<0,∵β∈,∴<+β<, 又cos=, sin=, ∴sin=-, cos=, ∴sin(α+β)=sin=sincos-cossin =×-×=. 8.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,则α+β=________. 答案 解析 因为0<β<<α<, 所以<2α<π,-<-β<0, 所以<2α-β<π. 又因为cos(2α-β)=-, 所以sin(2α-β)=. 因为0<β<<α<, 所以-<-2β<0, 所以-<α-2β<. 又因为sin(α-2β)=, 所以cos(α-2β)=. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =-×+×=. 又因为<α+β<, 所以α+β=. 考点三 三角恒等变换的应用 要点重组 辅助角公式:asin α+bcos α=·sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ= . 9.(2016·全国Ⅱ)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-22+, 因为sin x∈[-1,1], 所以当sin x=1时函数f(x)取得最大值,最大值为5,故选B. 10.(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( ) A. B. C. D.1 答案 B 解析 由cos 2α=,得cos2α-sin2α=, ∴=,又cos α≠0,∴=, ∴tan α=±, 即=±, ∴|a-b|=. 故选B. 11.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________. 答案 - 解析 f(x)=sin x-2cos x==sin(x-φ), 其中sin φ=,cos φ=. 当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值, 即当θ=2kπ++φ(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值, 所以cos θ=-sin φ=-. 12.函数f(x)=sin x-cos的值域为________. 答案 [-,] 解析 f(x)=sin x-cos=sin x-=sin x-cos x ==sin∈[-,]. 1.(2018·济南模拟)若sin=,A∈,则sin A的值为( ) A. B. C.或 D. 答案 B 解析 ∵ A∈,∴A+∈, ∴cos<0,∴cos=-=-, ∴sin A=sin=sincos -cossin =×-×=. 2.若tan=,且-<α<0,则=________. 答案 - 解析 由tan==,得tan α=-. 又-<α<0,所以sin α=-. 故==2sin α=-. 3.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ的值为________. 答案 - 解析 ∵sin θ+cos θ=,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, ∴sin θcos θ=-, ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=. 又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0, ∴sin θ-cos θ=, ∴sin θ=,cos θ=-, ∴tan θ=-. 解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值,要注意角所在的象限和三角函数值的符号. (2)利用三角函数值求角要解决两个要素: ①角的某一个三角函数值; ②角的范围(尽量缩小). 1.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB,则点B的纵坐标为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由题意知|OA|=|OB|=7,设射线OA与x轴正方向所成的角为α, 显然sin α=,cos α=, 故sin=sin αcos +cos α sin =×+×=, 故点B的纵坐标为|OB|sin=. 2.已知P(m,2)为角α的终边上一点,且sin α=-,则tan α的值为( ) A. B.- C.1 D.-1 答案 D 解析 由题意知,=-, 所以故m=-2,所以tan α=-1. 3.(2018·全国Ⅲ)若sin α=,则cos 2α等于( ) A. B. C.- D.- 答案 B 解析 ∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=. 4.的值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 原式====. 5.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列说法错误的是( ) A.f(x)的最小正周期为π B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递增 D.|f(x)|的值域是[0,1] 答案 C 解析 f(x)=cos 2x,f(x)在上不单调, ∴选项C中的结论错误. 6.记a=sin(cos 2 010°),b=sin(sin 2 010°),c=cos(sin 2 010°),d=cos(cos 2 010°),则a,b,c,d中最大的是( ) A.a B.b C.c D.d 答案 C 解析 注意到2 010°=360°×5+180°+30°,因此sin 2 010°=-sin 30°=-,cos 2 010°=-cos 30°=-,因为-<-<0,-<-<0,0<<<,所以cos >cos >0,所以a=sin=-sin <0,b=sin=-sin <0,c=cos=cos >d=cos=cos >0,因此c最大. 7.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为( ) A. B.- C. D.- 答案 B 解析 ∵sin α=+cos α, ∴sin α-cos α=. 两边平方,得1-2sin αcos α=, ∴2sin αcos α=. ∴1+2sin αcos α=, 即(sin α+cos α)2=. ∵α∈,∴sin α+cos α=. ∴==-(sin α+cos α)=-. 8.定义2×2矩阵=a1a4-a2a3,若f(x)=,则( ) A.f(x)图象关于(π,0)中心对称 B.f(x)图象关于直线x=对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)是周期为π的奇函数 答案 C 解析 由题中所给定义可知,f(x)=cos2x-sin2x-cos=cos 2x+sin 2x=2cos. 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)在区间上单调递增. 9.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ=________. 答案 - 解析 因为函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,所以f(0)=cos θ+sin θ=0,得 tan θ=-. 10.已知sin=,则cos=________. 答案 - 解析 因为sin=sin=cos=cos=, 所以cos=2cos2-1=2×2-1=-. 11.已知sin=,则sin-cos的值为________. 答案 解析 sin-cos=sin-cos =-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=. 12.若α∈,则的最大值为________. 答案 解析 ∵α∈, ∴==, 且tan α>0, ∴=≤=, 当且仅当tan α=, 即tan α=2(舍负)时,等号成立. 故的最大值为.查看更多