2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第6练

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第6练

第6练　三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：三角函数的概念和应用；利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度：单独考查概念和三角变换，难度为中低档；三角恒等变换和其他知识交汇命题，难度为中档.‎ 考点一　任意角的三角函数 要点重组　(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.‎ ‎(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).‎ ‎(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.‎ ‎1.(2018·四川棠湖中学开学考试)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A.(－7，－) B. (－7， )　C.(－4，－2) D.(－4，2)‎ 答案　A 解析　 因为点O(0，0)，P(6，8)，所以＝(6，8)，‎ 设＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝，sin θ＝，‎ 因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到，‎ 设Q(x，y)，则x＝10cos＝10＝－7，‎ y＝10sin＝10＝－，‎ 所以点Q的坐标为，故选A.‎ ‎2.若角θ的终边过点P(3，－4)，则tan(θ＋π)等于(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 答案　D 解析　因为角θ的终边过点P(3，－4)，则tan θ＝－，则tan(θ＋π)＝tan θ＝－.‎ ‎3.已知角θ的终边经过点，若sin θ＝2sin cos ，则实数a等于(　　)‎ A.－ B.－ C.± D.± 答案　B 解析　由题意知2sin2－1＝－cos ＝－，‎ 得sin θ＝＝－2sin cos ＝－，且a<0，‎ 解得a＝－.故选B.‎ ‎4.函数y＝的定义域是__________________.‎ 答案　，k∈Z 考点二　三角函数的求值与化简 要点重组　(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：‎ 奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎(3)和差公式.‎ 方法技巧　(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”：注意角的变形；看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.‎ ‎(2)公式的变形使用尤其是二倍角的余弦公式的变形是高考的热点，sin2α＝，cos2α＝.‎ ‎5.(2018·湖北长望浏宁四县调研)若sin＝，则sin的值为(　　)‎ A. B.－　C. D.－ 答案　D 解析　∵sin＝，‎ ‎∴sin＝cos＝cos＝cos 2 ‎＝1－2sin2＝1－2×＝－.‎ ‎6.若tan α＝2tan ，则等于(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C 解析　cos＝cos＝cos＝sin， ‎ 所以原式＝＝＝＝＝3.‎ ‎7.若cos＝，sin＝，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝_______.‎ 答案　 解析　∵α∈， 且cos>0，∴－<－α<0，∵β∈，∴<＋β<，‎ 又cos＝， sin＝，‎ ‎∴sin＝－， cos＝，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin＝sincos－cossin ‎＝×－×＝.‎ ‎8.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　因为0<β<<α<，‎ 所以<2α<π，－<－β<0，‎ 所以<2α－β<π.‎ 又因为cos(2α－β)＝－，‎ 所以sin(2α－β)＝.‎ 因为0<β<<α<，‎ 所以－<－2β<0，‎ 所以－<α－2β<.‎ 又因为sin(α－2β)＝，‎ 所以cos(α－2β)＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)‎ ‎＝－×＋×＝.‎ 又因为＜α＋β＜，‎ 所以α＋β＝.‎ 考点三　三角恒等变换的应用 要点重组　辅助角公式：asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .‎ ‎9.(2016·全国Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　B 解析　由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ 因为sin x∈[－1，1]，‎ 所以当sin x＝1时函数f(x)取得最大值，最大值为5，故选B.‎ ‎10.(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 答案　B 解析　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，‎ ‎∴＝，又cos α≠0，∴＝，‎ ‎∴tan α＝±，‎ 即＝±，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ 故选B.‎ ‎11.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ 答案　－ 解析　f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，‎ 即当θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，‎ 所以cos θ＝－sin φ＝－.‎ ‎12.函数f(x)＝sin x－cos的值域为________.‎ 答案　[－，]‎ 解析　f(x)＝sin x－cos＝sin x－＝sin x－cos x ‎＝＝sin∈[－，].‎ ‎1.(2018·济南模拟)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)‎ A. B.　C.或 D. 答案　B 解析　∵ A∈，∴A＋∈，‎ ‎∴cos<0，∴cos＝－＝－，‎ ‎∴sin A＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.‎ ‎2.若tan＝，且－＜α＜0，则＝________.‎ 答案　－ 解析　由tan＝＝，得tan α＝－.‎ 又－＜α＜0，所以sin α＝－.‎ 故＝＝2sin α＝－.‎ ‎3.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________.‎ 答案　－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，‎ ‎∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin θcos θ＝－，‎ ‎∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.‎ 又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝，‎ ‎∴sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴tan θ＝－.‎ 解题秘籍　(1)使用平方关系求函数值，要注意角所在的象限和三角函数值的符号.‎ ‎(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：‎ ‎①角的某一个三角函数值；‎ ‎②角的范围(尽量缩小).‎ ‎1.已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的纵坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知|OA|＝|OB|＝7，设射线OA与x轴正方向所成的角为α，‎ 显然sin α＝，cos α＝，‎ 故sin＝sin αcos ＋cos α sin ＝×＋×＝，‎ 故点B的纵坐标为|OB|sin＝.‎ ‎2.已知P(m，2)为角α的终边上一点，且sin α＝－，则tan α的值为(　　)‎ A. B.－　C.1 D.－1‎ 答案　D 解析　由题意知，＝－，‎ 所以故m＝－2，所以tan α＝－1.‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α等于(　　)‎ A. B.　C.－ D.－ 答案　B 解析　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.‎ ‎4.的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝＝＝＝.‎ ‎5.已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是(　　)‎ A.f(x)的最小正周期为π B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递增 D.|f(x)|的值域是[0，1]‎ 答案　C 解析　f(x)＝cos 2x，f(x)在上不单调，‎ ‎∴选项C中的结论错误.‎ ‎6.记a＝sin(cos 2 010°)，b＝sin(sin 2 010°)，c＝cos(sin 2 010°)，d＝cos(cos 2 010°)，则a，b，c，d中最大的是(　　)‎ A.a B.b C.c D.d 答案　C 解析　注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－，cos 2 010°＝－cos 30°＝－，因为－＜－＜0，－＜－＜0，0＜＜＜，所以cos ＞cos ＞0，所以a＝sin＝－sin ＜0，b＝sin＝－sin ＜0，c＝cos＝cos ＞d＝cos＝cos ＞0，因此c最大.‎ ‎7.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　∵sin α＝＋cos α，‎ ‎∴sin α－cos α＝.‎ 两边平方，得1－2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝.‎ ‎∴1＋2sin αcos α＝，‎ 即(sin α＋cos α)2＝.‎ ‎∵α∈，∴sin α＋cos α＝.‎ ‎∴＝＝－(sin α＋cos α)＝－.‎ ‎8.定义2×2矩阵＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，则(　　)‎ A.f(x)图象关于(π，0)中心对称 B.f(x)图象关于直线x＝对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)是周期为π的奇函数 答案　C 解析　由题中所给定义可知，f(x)＝cos2x－sin2x－cos＝cos 2x＋sin 2x＝2cos.‎ 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以f(x)在区间上单调递增.‎ ‎9.函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ＝________.‎ 答案　－ 解析　因为函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，所以f(0)＝cos θ＋sin θ＝0，得 tan θ＝－.‎ ‎10.已知sin＝，则cos＝________.‎ 答案　－ 解析　因为sin＝sin＝cos＝cos＝，‎ 所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ ‎11.已知sin＝，则sin－cos的值为________.‎ 答案　 解析　sin－cos＝sin－cos ‎＝－sin＋cos 2＝－sin＋1－2sin2＝－＋1－＝.‎ ‎12.若α∈，则的最大值为________.‎ 答案　 解析　∵α∈，‎ ‎∴＝＝，‎ 且tan α>0，‎ ‎∴＝≤＝，‎ 当且仅当tan α＝，‎ 即tan α＝2(舍负)时，等号成立.‎ 故的最大值为.‎