湖北省“荆荆襄宜”四地七校考试联盟2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题

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湖北省“荆荆襄宜”四地七校考试联盟2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题

‎2020年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” ‎ 高二期中联考 数 学 试 题 试卷满分:150分 考试时间: 分钟:120分钟 第Ⅰ卷(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.随机变量ξ服从二项分布ξ~B(,),且Eξ=300,Dξ=100,则等于( )‎ A. B‎.0 C.1 D.‎ ‎2.已知函数,则=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a6+a7=24,S8=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1 B.‎3 C.4 D.8‎ ‎4.“岂曰无衣,与子同袍”,“山川异域,风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来,全国各省争相施援湖北,某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队,按照3人、2人、2人分成了三个小组,负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有( )‎ A.105种 B.210种 C.630种 D.1260种 ‎5.若椭圆和双曲线的共同焦点为,,是两曲线的一个交点,则的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.,则  ‎ A.40 B. C.80 D.‎ ‎8.已知直线y=a分别与函数y=和y=交于A,B两点,则A,B之间的最短距离是(  )‎ A. B. C. D. ‎9.如图,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线左、右两支分别交于点,若,为的中点,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ E D C B A F ‎11.如图,四边形为正方形,四边形为矩形,且平面与平面互相垂直.若多面体的体积为,则该多面体外接球表面积的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数,,若存在,使得成立,则的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.顶点在原点,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是________________.‎ ‎14.若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是________.‎ ‎15.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲和乙都不是第一个出场,且甲不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为__________.‎ ‎16.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列,在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是在1654年发现这一规律的,我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表,这是我国数学史上的一次伟大成就,如图所示,在“杨辉三角”中去除所有为1的项,依次构成数列,2,3,3,4,6,4,5 ,10 ,10,5,……,则此数列的前119项的和为__________.(参考数据:,,)‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)已知数列{an}满足an+1an=0(n∈N*),且,,成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和为.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=,其中a为常数.‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的最大值;‎ ‎(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-2,求a的值.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,点为棱的中点,点分别为棱上的动点(与所在棱的端点不重合),且满足.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)某种工业机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:‎ 方案一:交纳延保金700元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费200元;‎ 方案二:交纳延保金1000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费100元.‎ 某工厂准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,工厂选择哪种延保方案更合算?‎ ‎21.(12分)已知点为圆上的动点,点在轴上的投影为,点为线段AB的中点,设点的轨迹为.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)已知直线与交于两点,,若直线的斜率之和为3,直线是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎22.(12分)已知函数,函数的图象在点处的切线方程为. ‎ ‎(1)求函数的表达式;‎ ‎(2)若,且在上的最小值为,证明:当时,.‎ ‎2020年高二期中联考数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B C A C A C B C A D 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. 131022 ‎ 第12题 参考解析:解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),,‎ ‎∴当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,又f(1)=0,所以x∈(0,1)时,f(x)<0; x∈(1,+∞)时,f(x)>0,‎ 同时,若存在,使得成立,‎ 则且,所以,即x2=lnx1,又所以,‎ 故,令,k<0,则,‎ 令,解得,令,解得,‎ ‎∴在(﹣∞,﹣3)单调递减,在(﹣3,0)单调递增,‎ ‎∴.故选:D.‎ 三、解答题 ‎17.(1)数列{an}满足an+1an=0(n∈N*),可得数列{an}是公比为2的等比数列,‎ 又知a2,a3+2,a4成等差数列,可得2(a3+2)=a2+a4,‎ 即2(‎4a1+2)=‎2a1+‎8a1,解得a1=2,则an=2n. …………………………………………………………………5分 ‎(2)由(1)知an=2n,所以==…………………7分 ‎=………………………………9分 则.…………………………………………………………………………………………………10分 ‎18.解 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=-x+ln x,f′(x)=-1+=,‎ 令f′(x)=0,得x=1.‎ 当00;‎ 当x>1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. …………………………………3分 ‎∴f(x)max=f(1)=-1.‎ ‎∴当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1. …………………………………………………6分 ‎(2)f′(x)=-a,x∈(0,e],∈.‎ ‎①若,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,‎ ‎∴f(x)max=f(e)=≥0,不合题意. …………………………………………………………………8分 ‎②若,令f′(x)>0得-a >0,结合x∈(0,e],解得0
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