四川省射洪县2018-2019学年高二下学期期末英才班能力素质监测数学(理)试题

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四川省射洪县2018-2019学年高二下学期期末英才班能力素质监测数学(理)试题

射洪县高2017级第四期期末英才班能力素质监测 理 科 数 学 第Ⅰ卷(选择题 共36分)‎ 一.选择题。(本大题共6小题,每小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)‎ ‎1.设是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标,由复数的几何意义即得答案。‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限.故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则,复数的几何意义应用。‎ ‎2.已知命题;命题若,则,则下列为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因,所以命题为真; 命题为假,所以为真,选B.‎ ‎3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:‎ ‎①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为:( )‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数,平均数,方差的概念计算比较可得.‎ ‎【详解】甲的中位数为29,乙的中位数为30,故①不正确;‎ 甲的平均数为29,乙的平均数为30,故②正确;‎ 从比分来看,乙的高分集中度比甲的高分集中度高,故③正确,④不正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图,属基础题.平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.‎ ‎4.某单位有7个连在一起车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为( )‎ A. 16 B. 18 C. 32 D. 72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分2步进行分析:①分析3辆不同型号的车的停放方法,②利用插空法分析剩余的4个车位中恰有3个连在一起的排法,由分步计数原理计算即可得。‎ ‎【详解】根据题意,分2步进行分析:‎ ‎①,3辆不同型号的车需停放,共有种方法,‎ ‎②,要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起,利用插空法,有种方法,‎ 所以不同的停放方法有种.故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合中捆绑法和插空法的应用。‎ ‎5.已知是双曲线上任意一点,过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为、,则的值是( )‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析:令点,因该双曲线的 渐近线分别是,,‎ 所以,,又 ‎,‎ 所以,选A.‎ 此题可以用特殊位置法解决:令P为实轴右顶点,此时 ‎,选A.‎ 考点:1.双曲线标准方程及其几何性质;2.平面向量的数量积.‎ ‎6.已知定义在上的函数,其导函数为,若,且当时,,则不等式的解集为  ‎ A. , B. C. , D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由得 ‎ ,‎ ‎②构造函数,得到为偶函数,又当时,,,可得出的单调性,‎ ‎③‎ 即可得,从而解得。‎ ‎【详解】定义在上的函数,,‎ ‎,‎ 令,则 为偶函数 ‎,又当时,,‎ ‎,在,为减函数,且在为增函数 不等式 即 解得,故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性、利用单调性定义解不等式,偶函数性质应用,构造函数是本题的解题难点。‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共64分)‎ 二.填空题。(本大题共3个小题,每小题6分,共18分)‎ ‎7.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。‎ ‎【答案】或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.‎ ‎【详解】的导数为,‎ 可得切线的斜率为3,切线方程为,‎ 可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,‎ 可得,解得或。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。‎ ‎8.过抛物线C:的焦点F作互相垂直的弦AB,CD,则四边形ACBD面积的最小值为____。‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为,将直线的方程代入抛物线的方程,列出韦达定理,利用抛物线的定义得出,同理得出,由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值.‎ ‎【详解】如下图所示,显然焦点的坐标为,所以,可设直线的方程为 ‎,‎ 将直线的方程代入抛物线的方程并整理得 ‎,‎ 所以,,所以,,‎ 同理可得,‎ 由基本不等式可知,四边形的面积为 ‎.‎ 当且仅当时,等号成立,因此,四边形的面积的最小值为32.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用,弦长的求法,基本不等式应用,意在考查学生数学运算能力。‎ ‎9.已知在极坐标系中,曲线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线的参数方程是,M(0,),直线与曲线C的公共点为P,,则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线的直角坐标方程,把直线的方程化为,代入曲线的直角坐标方程,然后利用参数的几何意义求解.‎ ‎【详解】由曲线的极坐标方程是,得,‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ 由直线的参数方程是,消去参数,可得直线的普通方程为.‎ 化直线的普通方程为参数方程,代入,‎ 得.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,以及参数方程中的几何意义的应用,注意直线参数方程形式必须是标准式。‎ 三.解答题。(本小题共3个小题,共46分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎10.近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:‎ 土地使用面积(单位:亩)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 管理时间(单位:月)‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ 女性村民 ‎50‎ ‎(1)求出相关系数的大小,并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关?‎ ‎(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?‎ ‎(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。‎ 参考公式:‎ 其中。临界值表:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考数据:‎ ‎【答案】(1)线性相关;(2)有;(3)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求出,,从而,,,求出,从而得到管理时间与土地使用面积线性相关.‎ ‎(2)完善列联表,求出,从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.‎ ‎(3)的可能取值为0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名,取到不愿意参与管理的男性村民的概率为,由此能求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解:依题意:‎ 故 则,‎ 故管理时间与土地使用面积线性相关。‎ ‎(2)依题意,完善表格如下:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 女性村民 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。‎ ‎(3)依题意,的可能取值为0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名,则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为,‎ 故 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则数学期望为 ‎(或由,得 ‎【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等。‎ ‎11.已知,分别是椭圆:的左,右焦点,点在椭圆上,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点。‎ ‎(1)求,的值:‎ ‎(2)过点作不与轴重合的直线,设与圆相交于A,B两点,且与椭圆相交于C,D两点,当时,求△的面积。‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出,;‎ ‎(2)设直线方程为,联立直线与圆的方程可以求出,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.‎ ‎【详解】(1)焦点为F(1,0),则F1(1,0),F2(1,0),‎ ‎,解得,=1,=1,‎ ‎(Ⅱ)由已知,可设直线方程为,,‎ 联立得,易知△>0,则 ‎==‎ ‎=‎ 因为,所以=1,解得 联立 ,得,△=8>0‎ 设,则 ‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆,直线与椭圆的位置关系问题。 意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎12.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若在内单调递减,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点分别为,,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)先求得函数导数,根据函数在上的单调性列不等式,分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.(II)将极值点代入导函数列方程组,将所要证明的不等式转化为证明,利用构造函数法证得上述不等式成立.‎ ‎【详解】(I). ‎ ‎∴在内单调递减, ‎ ‎∴内恒成立, ‎ 即在内恒成立.‎ 令,则,‎ ‎∴当时,,即在内为增函数;‎ 当时,,即在内为减函数. ‎ ‎∴的最大值为,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点分别为,,‎ 则在内有两根,,‎ 由(I),知. ‎ 由,两式相减,得.‎ 不妨设, ‎ ‎∴要证明,只需证明. ‎ 即证明,亦即证明. ‎ 令函数.‎ ‎∴,即函数在内单调递减.‎ ‎∴时,有,∴.‎ 即不等式成立. ‎ 综上,得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数,考查利用导数研究函数极值点问题,考查利用导数证明不等式,考查利用构造函数法证明不等式,难度较大,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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