甘肃省武威市凉州区武威第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

甘肃省武威市凉州区武威第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

武威一中2019年秋季学期期中考试 高三年级数学（文）试卷 一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：,,所以，故选A.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A. （￢p）∨（￢q） B. p∨（￢q） C. （￢p）∧（￢q） D. p∨q ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A.‎ 考点：复合命题的构成及运用.‎ ‎【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.设，，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，选项A错误；‎ 当时，选项B错误；‎ 当时，选项C错误；‎ ‎∵函数在上单调递增，‎ ‎∴当时，．‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.已知点，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，向量在方向上的投影为，故选A．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，故函数奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出可行域如图所示：‎ 作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．‎ 考点：线性规划．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.设，则（ ）‎ A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，‎ ‎，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．‎ 考点：函数的奇偶性和单调性．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.函数的最小值和最大值分别为 （ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式可将整理为关于的二次函数形式，根据二次函数的性质可求得最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 当时，；当时，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查与三角函数有关的二次函数最值的求解问题，关键是能够利用二倍角公式将函数化简整理为二次函数的形式，进而根据二次函数性质进行求解.‎ ‎10.中，边的高为，若，，，，，则（ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 详解】试题分析：由，，可知 ‎11.设函数，若实数满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.‎ 考点：利用导数求函数的单调性.‎ ‎【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，‎ 所以∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，‎ f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．‎ 即.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.‎ 考点：抽象函数的不等式.‎ ‎【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．‎ ‎13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，三个正数，，成等比数列，所以，解得．‎ 考点：等比中项．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为 ‎，所以切线方程为，即.‎ ‎15.在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在等腰梯形ABCD中,由,得,,,所以 ‎.考点：平面向量的数量积.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，‎ ‎，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．‎ 考点：利用导数求函数的极值和最值．‎ 三、解答题：本题6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知等差数列的公差=1，前项和为.‎ ‎(I)若；‎ ‎(II)若 ‎【答案】(I) 或；(II)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）因为数列的公差，且成等比数列，‎ 所以，‎ 即，解得或．‎ ‎（2）因为数列的公差，且，‎ 所以；‎ 即，解得 ‎18.已知向量，，．‎ ‎（1）求函数的单调递减区间及其图象的对称轴方程；‎ ‎（2）当时，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据向量的数量积公式可得：和并用三角公式进行化简可得：，联想到三角函数的图象，并运用整体思想和数形结合的方法可求出它的单调递减区间：，再根据图象对称轴的特征可求得：令即为函数的对称轴方程为；（2）对于前面所求的三角函数由：，即为，又由题中所给范围；‎ ‎（注：漏写扣1分）‎ 试题解析：（1）‎ ‎，‎ 即函数的单调递减区间 令，‎ 即函数的对称轴方程为 ‎（2），即 ‎；‎ ‎（注：漏写扣1分）‎ ‎19.等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．‎ 所以 ‎．‎ 考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.‎ 试题解析：（1）因为向量与平行，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 又，从而tanA＝，由于00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsinA＝.‎ 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 ‎【答案】(1)的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点：或 ‎，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系.设集合，集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于，所以,因此，又，所以，即 解(1)由已知有令，解得或，列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.‎ 下面分三种情况讨论：‎ 当即时，由可知而，所以A不是B的子集 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上取值范围包含，所以 当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集 综上，的取值范围为 考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎ ‎