数学文卷·2018届云南省玉溪一中高三上学期第四次月考（2017

数学文卷·2018届云南省玉溪一中高三上学期第四次月考（2017

玉溪一中 2018 届高三第四次月考试题 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本小题 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，） 1.已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B 等于( ) A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3} 2.设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( ) A． 充要条件 B． 充分而不必要条件 C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 3.已知集合 A={1，2，3}，集合 B={4，5}，映射 f：A→B，且满足 1 对应的元素是 4，则这 样的映射有（ ） A． 2 个 B． 4 个 C． 8 个 D． 9 个 4.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于( ) A． －3 B． －2 C． 2 D． 3 5.对于函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若存在实数 m 使得 f(m)<0 成立，则一定有( ) A．f(m－1)<0 且 f(m＋1)<0 B．f(m－1)<0 且 f(m＋1)>0 C．f(m－1)>0 且 f(m＋1)<0 D．f(m－1)>0 且 f(m＋1)>0 6.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A． 1 B． 4 C． 1 或 4 D． 2 或 4 7．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为( ) A． B． C． D． 8.若实数 满足 ，则 的最小值为( ) A． B． 2 C． D． 4 9.已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 =（ ） A． B． C． D． 10.设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题： ①若 m ⊂ β，α⊥β，则 m⊥α； ②若α∥β，m ⊂ α，则 m∥β； ③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则 m⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A．①③ B．①② C．③④ D．②③ 11.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)>0， 且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )． A．(－3，0)∪(3，＋∞) B． (－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－∞，－3)∪(0，3) 12.由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长的最小值为( ) A．1 B． C． D．3 第Ⅱ卷[][] 本卷包括必考和选考题两部分，第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第 22 题—第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分） 13.若 a＝log43，则 2a＋2－a＝________. 14.半径为 a 的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到 墙角顶点的最短距离是________. 15.椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是________． 16.已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，b= ，A+C=2B，则 sinA=.________． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分） 17.(本小题 12 分)等差数列{ }中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{ }的通项公式； (2)设 ，求数列{ }的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]＝0， [2.6]＝2. 18.(本小题 12 分)如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上，且直 线 DP 过正方形 的中心， (1)求证：AC (2) 求 DP 与 CC′所成角的正切值； 19.(本小题 12 分) (1)若 ， 求直线 与圆 有交点的概率。 (2)甲，乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达 是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码 头空出的概率； 20.(本题 12 分)已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在 上． (1)求 的方程； (2)直线 不过原点 且不平行于坐标轴，l 与 有两个交点 线段 的中点为 ， 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)． (1)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a 的取值范围． 22．选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C：ρsin2 θ＝2acosθ(a＞0)，过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为 2(t 是参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值． 23．选修 4—5：不等式选讲 设函数 f(x)＝|x－a|＋x. (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的值域； (2)若 g(x)＝|x＋1|，求不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立时 a 的取值范围． 2018 届高三第 4 次月考答案(文数） 1.C 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C . 7.A 8.C 9.D 10.D 11.D 12.C 13. 14.( －1)a 15.2x＋4y－3＝0 16. 17.【答案】(1)设数列{an}的公差为 d，由题意有 2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得 a1＝1，d＝ . 所以{an}的通项公式为 an＝ . (2)由(1)知，bn＝ . 当 n＝1,2,3 时，1≤ <2，bn＝1； 当 n＝4,5 时，2≤ <3，bn＝2； 当 n＝6,7,8 时，3≤ <4，bn＝3； 当 n＝9,10 时，4≤ <5，bn＝4. 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 18.【答案】（2）， 19.【答案】(1)a,b 的选取有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1）， （3，2），（3，3）共 9 种情况。直线与圆有公共点，则满足 即 共 有（1，3），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）故 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，两船不需等待码头空出，则满 足 x－y≥2 或 y－x≥4． 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B，画出区域 P(B)＝ ＝ ＝ ． 20.【答案】(1)由题意得 ＝ ， ＋ ＝1， 解得 a2＝8，b2＝4. 所以 C 的方程为 ＋ ＝1. (2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入 ＋ ＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝ ＝ ，yM＝k·xM＋b＝ . 于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ， 即 kOM·k＝－ . 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 21.【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝4 时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′ (x)＝lnx＋ －3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x ＋y－2＝0. (2)当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 等价于 lnx－ >0，设 g(x)＝lnx－ ，则 g′(x)＝ － ＝ ，g(1)＝0. (ⅰ)当 a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故 g′(x)>0，g(x)在(1， ＋∞)单调递增， 因此 g(x)>0； (ⅱ)当 a>2 时，令 g′(x)＝0 得， x1＝a－1－ ，x2＝a－1＋ .由 x2>1 和 x1x2＝1 得 x1<1，故当 x∈(1， x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此 g(x)<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 22.【答案】解：(1)曲线 C 的普通方程为 C：y2＝2ax， 直线 l 的普通方程为 x－y－2＝0. 将直线的参数表达式代入抛物线得 1 2t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0， ∴t1＋t2＝8＋2a， t1t2＝32＋8a. 又|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|， 由题意知，|t1－ t2|2＝|t1t2| ⇒ (t1＋t2)2＝5t1t2， 代入得 a＝1 或 a＝－4(舍)． 23.【答案】(1)由题意得，当 a＝2 时， ∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的值域为[2，＋∞)． (2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立，有|x＋1|＋|x－a|>2 恒成立，即(|x ＋1|＋|x－a|)min>2. 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|， ∴|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3.