内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

开来中学2019-2020学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;‎ ‎2．请将答案正确填写在答题卡上;‎ 卷I（选择题）‎ 一、 选择题 （本题共计12小题，每题5分 ，共计60分）‎ ‎1.下列集合的表示法正确的是（ ）‎ A. 实数集可表示为 B. 第二、四象限内的点集可表示为 C. 集合 D. 不等式的解集为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的表示方法,一一分析选项正误即可.‎ ‎【详解】A.实数集是用R表示,所以A正确;‎ B.第二､四象限内的点集可表示为,所以B错误;‎ C.根据集合元素的互异性可知,不能有2个元素2,所以C错误;‎ D.不等式的解集为,所以D错误;‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的含义与表示,属于基础题.‎ ‎2.若一个集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的互异性可知，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．‎ ‎【详解】由集合的性质互异性可知：，‎ 所以一定不是等腰三角形.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断以及集合的性质，解题的关键是对集合的性质互异性的熟练掌握, 属于基础题.‎ ‎3.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，故选B.‎ ‎【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.‎ ‎4.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别化简集合,再求其并集.‎ ‎【详解】∵集合,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算,涉及解不等式,属于简单题.‎ ‎5.下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（　　）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；‎ 对于B图，当x=0时，有两个y值对应；‎ 对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．‎ ‎6.设函数，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为时，‎ 所以；‎ 又时，，‎ 所以故选A.‎ 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.‎ ‎7.已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：讨论函数的性质，可得答案.‎ 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，‎ 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.‎ ‎8.若函数是指数函数,则的值为( )‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案．‎ ‎【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，‎ ‎∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，‎ 解得a＝8，‎ ‎∴f（x）＝8x，‎ ‎∴f（）2，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．‎ ‎9.若函数满足,则的解析式是( )‎ A. B. ‎ C D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设 ‎,故选B.‎ 考点：换元法求解析式 ‎10.函数的图象关于（ ）‎ A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出为奇函数,再根据奇函数的图象性质得出结论.‎ ‎【详解】∵为奇函数,且也为奇函数,‎ 故由函数奇偶性的性质:奇-奇奇,‎ 可知函数为奇函数,‎ 由奇函数图象的性质可得:函数的图象关于坐标原点对称,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查奇偶函数图象的对称性,属于基础题.‎ ‎11.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）‎ A. << B. <<‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.‎ ‎【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,‎ ‎∴x∈(-∞,0)时,是减函数,‎ ‎∵为偶函数,∴.‎ ‎∵在上为减函数,且,‎ ‎∴,即,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.‎ ‎12.是定义在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知,在每一段区间上都要单调递减,并且在分段处,应有,‎ 据此列式求解即可.‎ ‎【详解】因为是定义在上是减函数,‎ 所以,求得,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数问题,在分段函数中,除了每一段区间上都要单调递减外,在分段处也应满足递减的条件.‎ 卷II（非选择题）‎ 二、填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分） ‎ ‎13.已知，则 .‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 试题分析：令，；令，，‎ 令，令，‎ 考点：赋值法求抽象函数的函数值 ‎14.已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】m≤2‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数y＝f(x)是R上增函数，且f(m＋3)≤f(5)，‎ ‎∴m＋3≤5，∴m≤2‎ 故答案为m≤2‎ ‎15.已知的定义域为，则的定义域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,根据的定义域为,可得,即,解此不等式可得的定义域.‎ ‎【详解】的定义域为，.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法,属于基础题.‎ 一般地,已知的定义域为 ,求的定义域,只需解不等式即可得.已知的定义域为,求的定义域,只需求在上的值域即可得.‎ ‎16.给出下列四个命题：‎ ‎①函数与函数表示同一个函数；‎ ‎②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；‎ ‎③函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到；‎ ‎④若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根．‎ 其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质,一一分析命题正误即可.‎ ‎【详解】①函数的定义域为R,函数的定义域为,‎ 两函数的定义域不同,不是同一函数,故错误;‎ ‎②函数为奇函数,但其图象不过坐标原点,故错误;‎ ‎③将的图象向右平移1个单位得到的图象,故正确;‎ ‎④∵函数的定义域为,要使函数有意义,需,‎ 即,故函数的定义域为,故错误;‎ ‎⑤函数是在区间上图象连续的函数,,‎ 则方程在区间上至少有一实根,故正确;‎ 故答案为:③⑤.‎ ‎【点睛】本题考查函数的各项性质,涉及抽象函数以及函数的概念,图象变化,奇偶性判断等知识,需要学生牢固掌握基础知识并灵活运用.‎ 三、解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分） ‎ ‎17.求下列各式的值： ‎ ‎（1）．‎ ‎（2）设，求 的值．‎ ‎【答案】（1）89 （2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数运算法则求解;‎ ‎(2)将变形为,即可得解.‎ ‎【详解】(1)原式;‎ ‎(2),‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,难度不大.‎ ‎18. 已知A＝{x|－13}．‎ 当B＝，即m≥1＋‎3m时得，满足，‎ 当B≠时，要使成立，则解之得m>3．‎ 综上可知，实数m的取值范围是m>3或．‎ 考点：集合的关系与运算 ‎19.已知函数 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求的值（其中且）.‎ ‎【答案】（1）且；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要使函数有意义，则，由此能求出函数的定义域（2）由函数，能求出的值（3）由函数，能求出的值.‎ ‎【详解】（1）要使函数有意义 则即且，‎ ‎∴函数的定义域为且（区间表示也可以）‎ ‎（2）∵函数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）∵函数，且，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域及函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.‎ ‎20.已知函数 ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求方程的解．‎ ‎【答案】（1）-2 （2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据分段函数解析式求解;‎ ‎(2)分和两种情况解方程,最后取其并集.‎ ‎【详解】(1)函数 ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎(2)∵函数,‎ ‎∴当时,有,解得;‎ 当时,有,解得或(舍),‎ ‎∴的解为或.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的求值及应用,难度不大,答题注意检验.‎ ‎21.已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．‎ ‎（1）试求出函数的解析式；‎ ‎（2）证明函数在定义域内是单调增函数．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，由得；（2）任取，，作差，分解因式，判断符号，得结论 ‎【详解】（1）由得，‎ 由得，‎ 所以 ‎（2）任取，‎ 即 所以定义域内递增 ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎ ‎22.已知函数，（且）过点．‎ ‎（1）求实数a；‎ ‎（2）若函数，求函数的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若函数，求在的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入解析式，可构造方程求得的值；‎ ‎（2）根据解析式的变化原则可直接求得结果；‎ ‎（3）由（2）可得，采用换元法，可将函数化为，；分别在，和三种情况下，由二次函数性质得到函数单调性，进而确定最小值点，求得最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）过点 ，即 ‎，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎，即 ‎（3）由（2）得：‎ ‎ ‎ 令，则 ‎ ‎①当时，在上单调递增 ‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎③当时，在上单调递减 ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解、与指数函数有关的二次函数型的最值的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，从而根据对称轴的不同位置得到所求的最值；易错点是换元时忽略新变量的取值范围.‎