云南省曲靖市会泽县第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（理）试题

云南省曲靖市会泽县第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（理）试题

理科数学试卷 一、选择题 ‎1.命题“，”的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据全称命题的否定得结果.‎ 详解：因为，，所以否定为，,‎ 选C.‎ 点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.‎ ‎2.设，，则是成立的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，分析是否成立即可．‎ ‎【详解】若，则成立，所以是充分性 若，则当时成立，不满足，所以不是必要性 所以是的充分不必要条件 所以选A ‎【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题．‎ ‎3.已知曲线的方程为，现给出下列两个命题：：是曲线 为双曲线的充要条件，： 是曲线为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p与命题q的真假，进而判断出复合命题的真假．‎ ‎【详解】若曲线C为双曲线，则 ，可解得 若，则，所以命题p为真命题 若曲线C为椭圆，则且m≠1，所以命题q为假命题 因而为真命题 所以选C ‎【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．‎ ‎4.下列四个命题中真命题的个数是 ‎①命题的逆否命题为；‎ ‎②命题的否定是 ‎③命题“，”是假命题.‎ ‎④命题，命题，则为真命题 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的关系进行判断．‎ ‎【详解】①命题的逆否命题为，正确；‎ ‎②命题的否定是，正确；‎ ‎③命题“，”是假命题，正确.‎ ‎④命题，命题，p是真命题，‎ 则为真命题，正确．‎ 因此4个命题均正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．‎ ‎5.设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，，从而，进而得到Q的轨迹为圆，由此能求出动点Q的轨迹方程．‎ ‎【详解】为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，‎ 延长至点Q，使得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，‎ 动点Q的轨迹方程为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎6.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．‎ ‎【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，‎ 于，，，可得，，‎ ‎，解得，，‎ 所以所求椭圆方程为：，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．‎ ‎7.点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.‎ ‎【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为，‎ 因为为正三角形，则点在椭圆上，‎ 代入得，即，‎ 得，解得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用双曲线的定义求出和 的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】设，‎ 由双曲线的定义得：，解得：，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.‎ ‎9.已知曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，，直线交双曲线于另一点，若，且则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合双曲线的定义可得 ，在三角形中，由余弦定理可得，据此计算双曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】由题意，，由双曲线的定义可得， ，可得 ，‎ 由四边形为平行四边形，又，可得，‎ 三角形中，由余弦定理可得 ，‎ 即有，即，可得，即.‎ ‎【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，利用抛物线的定义知：‎ 当三点共线时，的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程：，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.‎ ‎11.已知抛物线交双曲线的渐近线于，两点（异于坐标原点），若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性列出方程组确定p的值即可确定焦点坐标.‎ ‎【详解】，∴，‎ 设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性可得：‎ ‎，解得：，∴抛物线的焦点为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知抛物线焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知，，过点作垂直于准线，则．记，则，当最小时，有最小值，此时直线 与抛物线相切于点．设，可得，所以，则，∴，，∴，故选D．‎ 二、填空题 ‎13.已知命题：存在，使得成立，命题对任意， 恒成立，若命题是真命题，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定各命题为真时实数的取值范围，再根据复合命题真假得各命题真假，最后求交集得结果.‎ ‎【详解】命题：存在，使得成立，所以最小值1，即所以；‎ 命题对任意， 恒成立，所以;‎ 因为命题是真命题，所以是真命题，是假命题，即 ‎【点睛】本题考查命题真假以及不等式恒成立与存性问题，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.‎ ‎14.已知椭圆C：，，是其两个焦点，P为C上任意一点，则的最大值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得椭圆焦点的坐标，设出点的坐标代入向量数量积的坐标运算，利用椭圆标准方程化简后，利用二次函数的最值的求法，求得最大值.‎ ‎【详解】依题意得 ， ，设，则，即，‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查式子的最大值的求法，属于基础题..‎ ‎15.点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴这条弦所在的直线方程是 ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查弦中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．‎ ‎16.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 抛物线 方程为,可得它的焦点为 ，‎ ‎ 设直线 方程为 ，‎ 由 ,消去x得 .‎ 设 ，‎ 可得 ①．‎ ‎，‎ ‎ 可得代入①得 ,且 ，‎ 消去 得 ,解之得.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ 三、解答题 ‎17.(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．‎ ‎(2)设命题p：；命题q：，若是 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题的真值表知：p真q假；‎ 非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．‎ ‎【详解】命题p：，即；‎ 命题，即；‎ 由于“”为真命题，则p真q假，‎ 从而由q假得，，‎ 所以x的取值范围是．‎ 命题p：，即 命题q：，即 由于是充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．‎ 即有，‎ ‎【点睛】本题考查了复合命题及其真假属基础题．‎ ‎18.已知椭圆：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过椭圆左焦点交椭圆于，为椭圆短轴的上顶点，当直线时，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的几何性质以及等边三角形的性质，得到的一个关系式，结合求得的关系式，将点的坐标代入椭圆方程，由此求得的值，进而求得椭圆方程.（2）根据（1）求得点的坐标，进而求得和的斜率，写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）由题意知，即，，‎ 即，‎ ‎∵在椭圆上，∴，，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2），则，‎ ‎，∴,‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 将其代入：得：‎ 设，‎ ‎∴，,‎ ‎，‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，属于中档题.要求椭圆的标准方程，主要方法是根据已知条件，列出方程组，解方程组求得的值.直线和圆锥曲线相交所得弦长公式为.其中为直线的斜率，和可由韦达定理求得.‎ ‎19.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.‎ ‎【详解】（1）由椭圆定义知：的周长为： ‎ 由椭圆离心率： ，‎ 椭圆的方程：‎ ‎（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为： ‎ 设， ‎ 联立方程，消去得：‎ 由已知，且，‎ 由，即得：‎ 即：‎ ‎，整理得：，满足 点到直线的距离：为定值 ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、消元，从而得到定值.‎ ‎20.已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，；（2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.‎ 试题解析：（1）由，得，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，‎ 由，得，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴弦长，解得，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ 考点：1.双曲线的定义；2.弦长公式.‎ ‎【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式，或是，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.‎ ‎21.设抛物线：的焦点为，是上的点．‎ ‎（1）求的方程：‎ ‎（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接把代入抛物线方程中，求出；‎ ‎（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用 ‎，求出的值.‎ ‎【详解】（1）因为是上的点，‎ 所以， ‎ 因为，解得，‎ 抛物线的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 由得，‎ 则，，‎ 由抛物线定义知，，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.‎ ‎22.已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求点P,Q坐标，再根据求得（2）先设，则，再根据点在抛物线上化简得，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得，即得 试题解析：（1），由以及抛物线定义可知，‎ ‎∵，∴，抛物线的方程为.‎ ‎（2）不妨设，直线：，‎ 由，得，，‎ 故.‎