高三数学同步辅导教材(第6讲)

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高三数学总复习教程（第 6 讲） 一、本讲内容 函数的概念 一、本讲进度：函数的概念、函数的定义域和值域、函数的解析式、函数与反函数. 二、学习指导 函数是高中数学最重要的内容. A、B 两上集合，如果存有对应关系 f，使 A 中任一元素通过 f，B 中有唯一确定的元素与之对应， 则把 A、B 两集合连同它们之间的对应关系 f 称为一个映射，记作 f：A→B. 因此，集合有三要素：A、 B 及小，能否构成映射，关键在于 A 中元素是否都有象，这些象是否都是唯一的，而不在于 B 中元素是 否都是原象，或原象是否唯一. 如果映射 f：A→B 中，B 中元素都有原象，且原象都是唯一的，则称这样的映射为一一映射，一一 映射才有逆映射（即把 A 中元素的象作为原象而把原象作为象的映射，记作 f－1：B→A） 函数是其定义域到值域的一种映射，定义域和值域都必须为非定数集. 一一映射构成的函数才有反函数(即逆映射所确定的函数). 原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对 称，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 注意以下两个问题的区别： (1)曲线 f(x、y)=0 与 g(x、y)=0 关于直线 y=x 对称，那么 g(x、y)=0 是 f(x、y)=0 的反函数吗？ (2)函数 y=f(x)和 y=g(x)图象关于直线 y=x 对称. 那么，y=g(x)是 f(x、y)=0 的反函数吗？ 当对应关系 f 确定后，定义域即决定了它的值域. 三、典型例题讲评 例 1．(1)函数 y=f(x)的对应关系如表： 它是否有反函数？如果有试写出其反函数： (2)已知 f(1－cosx)=cos2x+2cosx. 求 f－1(x). (1) 函数的表达方式有三种：①图象法. 如急诊病人的体温和入院时间之间的函数关系，它无法用解析法 表达. ②列表法. 如住院病人的常规体温测试与时间 f 的关系. ③解析法. 如果对应关系可以用一个解析 式表达的话，称此解析式为函数的解析式. 当然，初等数学接能的大都为此. 本题是用列表法表示的函数，由表中数据的此函数有反函数为 (2)令 u=1－cosx∈［0，2］ 则 cosx=1－u 可是 f(u)=2(1－u)2－1+2(1－u)=2u2－6u+3 在［0，2］上单调递减，故有反函数. 2(u－3)3=y+15 －(u－3)= 2 15y  . 故反函数解析式为 y=3－ 2 15y  . 其定义域为原函数的值 域为［－1，3］. 若把题目变为“已知 f(－cosx)=cos2x，则可得 f(x)=2(x－1)2－1 x∈［0，2］. 则 f(x)没有反函数， 因为此函数在［0，2］上不是单调函数，不是一一映射构成的函数”. 例 2．如图，一上部为半圆周，下部为一矩形三边的周长为 l 的钢窗框， 试用半圆半径 r 表示<><>面积 S，并写出定义域、值域. 解：矩形一边为 2x，另一边为 2 r2rl  . S= lrr)22(2 r)2(lr2r2 1 22   . 要求定义域，r＞0 是显然的，另一端则应改为下部是矩形，其一边 2 r)2(l   ＞0，故 r＜ 2 l  . S=f(x)在      4 l,0  单调递增，在( 4 l  ， 2 l  )单调减， x 1 2 4 y 2 4 8 x 2 4 8 y 1 2 4 且因 2 l  － 4 l  = )4)(2( l2   ＜ 82 l2  = 04 l  ∴S∈       )4(2 l,0 2  求函数的定义域，除了要使解析式有意义(如分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数真数为正， 指数与对数的底大于 0 且不等 1，等等)、对实际问题还应考虑实际可能的范围. 例 3．求函数 y= xsinlg x81 2 的定义域. 由 81－x2≥0 x∈［－9，9］ sinx＞0 知 lgsinx≠1 x∈(2k ，2k + 2  )∪(2k + 2  ，(2k+1) ) (k∈z) 因 x 取值范围有限，故结果应逐段写出，如 y=f(2x)是由 y=f(u)，u=2x 复合而成。它的定义域是指初 始自变量 x 的取值范围，而不是中间变量 u 的取值范围，这个概念搞清楚了，本题也就迎刃而解了. 例 5．已知函数 f(x)满足：f(x)+xf(1－x)=x，求其值域. 在本题中，要求值域，必须先把 f(x)的解析式写出，那就须先设法除去 f(1－x). 令 1－x =u，则 x=1－u，由已知 f(1－u)+( 1－u)f(u)= 1－u. 亦即 f(1－x)+ (1－x)f(x)=1－x 它与原先的 f(x)+ xf(1－x)=x 就形成了关于 f(x)和 f(1－x)的二元架构，就可通过解二元方程组的办法消去 f(1－x)除则 f(x)= 2 2 xx1 x  . 下面我们来求它的值域. 我们可把原式写为(y－1)x2－yx+y=0 的形式，图形别式法求出 y 的取值范围. 我们也可知，当 x=0 时，f(x)=0，当 x≠0 时， y 1 =1－ x 1 + 2x 1 =( － 2 1 )2+ 4 3 ∈      ,4 3 来求 y 的取 值范围. 例 6．x∈A. 求 f(x)= 3x 5x2   (x∈A)的值域为 ,4 时的 A. f(x)的定义域 A 即其反函数的值域故可令 ≥4，得 x∈［3， 2 7 ］.∴A=［3， ］ 例 7．求下列函数的值域. (1)y= x1x2  (2)y= x1x  (3)y= x1x2  这三题定义域均为［0，1］，值域与此有关. 在第一小题中，f(x)= x2 在［0，1］单调递增，而 g(x)= x1 在［0，1］单调递减，故原函数在［0，1］单调递增，利用定义域和单调性，立即可求出值 域为［－1，2］. 在第(2)小题中，因( x )2+( x1 )2=1 故可利用基本不等式知 + x1 ≤ )x1x(2  = 2 (当 x= 时)，也可直接写为 + = )x1(x2)x1(x  = xx21 2  求 出 值 域 ； 在 第 (3) 小题中，仍有 ( )2+( )2=1 但(2)中的方法却不适用了，但下面的方法对(2)却适用： 记 u= ∈［0，1］ V=∈ ［0，1］.由已知 u2+V2=1. 而 2 + =2u+V. 问题就变成 了过圆的一部分(第一象限，且含与 x、y 轴正向的交点)上的点作平行直线来，在 y 轴上的截距的范围了. 针对 . ∈［0，1］且( )2+( )2=1. 我们可以令 x=cos2 ( ∈［0， 2  ］).则(1)中 y=2cos － sin = 5 cos( +arctan ). (2) 中 y=cos +sin = cos( － 4  ). (3) 中 y=2cos +sin = 5 cos( －arctan 2 1 ). 范围立即可求出，从此上例题可看出，求函数值域的方法较多， 有反函数值，差别式法，利用函数单调性法，利用基本不等式法，代换法，几何化法等等，应根据题目 的特点适当范围. 四、巩固练习 1．设 x＞0，y≥0. x+2y= , 求当 x、y 为何值时，u=log 3 1 (8xy+△y2+1)有最大值、有最大值并求出 最大值和最小值. 2．求值域：(1)y=x－ 2x1 (2)y= 1xx 1xx 2 2   (3)y= 2xx 1x 2 2   (4)y=21－1×1 3．若 a＞0，且 a≠1，求函数 y=ln(ax－2x－1)的定义域. 4．已知函数 f(x)的定义域为［0，1］，那么 g(x)=f(x+a)+f(x－a)的定义域是什么？ 5．已知函数 y=f(x)有反函数 f－1(x)，记 f(x+1)的反函数为 y=g(x)，则函数 y=g(x)的图象与 y= f－1 (x+1) 的图像的关系是 （ ） (A)g(x)的图像可由 f－1(x+1)的图像向右平移 1 个单位，再向下平移一个单位得到. (B) g(x)的图像可由 f－1(x+1)的图像向左平移 1 个单位，再向上平移一个单位得到. (C) g(x)的图像可由 f－1(x+1)的图像向右平移 1 个单位，再向上平移一个单位得到. (D) g(x)与 f－1(x+1)的图像完全相同. 6．已知：a∈［ ，1］， f(x)=ax2－x+1 x∈［1，3］的最大值为 M(a)，最小值为 N(a)，g(a)=M(a) －g(a). (1)求 g(a)的解析式； (2)求 g(a)的最小值. 7．函数 y=x2+2mx+2m+3 的图像与 x 轴有两个交点(x1，0) (x2，0). 求 2 2 2 1 xx  +的取值范围. 8．(1)已知 x2+y2∈［2，4］.求 4x+3y 的取值范围. (2)已知 sinx + siny= . 求 sinx+cos2y 的取值范围. 9．已知函数 f(x)= 4x 1 2  ( x＜－2 ) (1)求 f－1(x)， (2)数列 na 中，a1=1， 1na 1  = f－1(an)，求 的通项公式； (3)设 bn= 1nn 1nn aa aa    ，Sn 为 nb 前 n 项之和，求 . n NS n lim  . 10．f(x)= 1x 3x2   ，函数 y=g(x)的图象与 y= f－1(x+1)的图象关于直线 y=x 对称，求 g(x)的表达式. 11．如图所示铁路线上 AB 段长 100 千米， 工厂 C 到铁路线的距离 CA=20 千米，现<>在 AB 段 的某点 D 处向 C 修 CD，以便把货物由 B 经铁路运到 D 处，再沿公路这至 C 处，若吨千米运费铁路与公路 之比为 3：5，问 C 远在何处可使运费最省？ 12．设 f(k)是满足不等式 log2x+log2(3×2k－1－x)≥2k－1 (k∈N+)的正整数 x 的个数. (1)求 f(k)的解析式； (2)求 Sn=f(1)+f(2)+……+f(n)的表达式. 13．求函数 y= 2xcos 4xcos3xsin 2   的值域. 14．(1)求关于 x 的函数 y=x2+2a 2x1 +a2－6a+13 的最大值 M； (2)是否存在正的常数 b，使 a 在（1，+∞）上变动时，y=logbM 的最大值为 3 4 ？ 参考答案 1．2y= 2 1 －x≥0 ∴∈     2 1,0 ，于是 u=log 3 1 (4×( －x)+( －x)2+1)= log (－3x2+x+ 4 5 ). 当 x= 6 1 时，－3x2+x+ 有最大值 3 4 ，从而 u 有最小值 1－2log3 2. 当 x= 时，－3x2+x+ 有最小值 1，从而 u 有最大值 0. 2．(1)令 x=cos ∈［0， ］ 则 y=cos －sin = 2 cos( + 4  )∈［－ ，1］ (2)(y－1)x2－(y+1)x+y+1=0 当 x=1 时，y=1. 当 y≠1 时，∵x∈R. ∴(y+1)2－4(y2－1)≥0 y∈［－1， 3 5 ］ 且 y≠1，∴y∈［－1， ］ (3)y= )2x)(1x( )1x)(1x(   = 2x 1x   (x≠1) y=1－ 2x 1  ≠1，当 x=1 时 2x 1x   = 3 2 ∴y∈    3 2y1yRyy 且且 . (4)∵1－ x ∈ 1, ∴y=21－1×1∈  2,0 3．令 ax－2x－1＞0. ( 2 a )x＞ 当 a∈(0,1)∪(1,2)时， ∈(0,1) x∈(－ , 2 1log 2 a ) 当 a＞2 时， ＞1 x∈( ,+ ,) 当 a＝2 时，x∈R. 4． x+a∈［0，1］ x∈［－a，1－a］ x－a∈［0，1］ x∈［a，1+a］ 1O 当 a=0 时，g(x)定义域为［0，1］ 2O 当 a∈［0， ］时，g(x)定义域为［a，1－a］ 3O 当 a∈［－ ，0］时，g(x)定义域为［－a，1+a］ 4O 当 a=± 时，g(x)定义域为   2 1 5O 当 a＞ 或 a＜－ 时，g(x)不存在. 5．(A) 6．∵a＞0 ∴f(x)为开口向上的抛物线，其对称轴为 x= a 1 ∈［1，3］. 故 N(a)=f( )=1－ M(a)=max )3(f),1(f =max 5a9,1a  = a－1 当 a∈［ 3 1 ， 2 1 ］ 9a－5 当 a∈( ， 3 ∴g(a)= a+ －2 当 a∈［ ， ］ 9a+ －6 当 a∈ ， 任取 a1、a2∈［ ， ］， a1＜a2 ∵(a1+ 1a 1 －2)－(a2+ 2a 1 －2)= 21 2121 aa )1aa)(aa(  ＞0 单调递减， 此时 g(a)∈［ ， 3 4 ］任取 ＜a1＜a2≤3. .∵(9a1+ －6)－(9a2+ －6)= 21 2121 aa )9 1aa)(aa(9  ＜ 0 单调递增. 此时 g(a)∈［ ，21 ］ ∴g(a)最小值为 (当 a = 时). 7．△=4m2－4(2m+3)＞0 m＞3 或 m＜－1. 2 1x + 2 2x =(x1+x2)2－2x1x2=4m2－4m－6. 在(－∞，－1)单调递减(3，+∞)单调递增， ∴ + ∈(2，+∞) 8．(1)设 x=rcos y=rsin x［ 2 ,2］ 则 4x+3y=5rcos( －4)∈［－10,10］( =costan 4 3 ) (2)由已知，siny∈［－ 3 2 ,1］ ∴cos2y+sinx=1－2sin2y+ 3 1 －siny=－2sin2y－siny+ ∈［－ 3 5 , 24 35 ］ 9．(1)x2－4= 2 1 y ，∵x＜－2 ∴x=－ 2 241 y y ，f－1(x)=－ 2 241 x x . 其中 x∈(0,+∞). (2) 1 1 na = 2 241 n n a a ∴( 1 1 na )2=( na 1 )2+4 又( 1 1 a )=1 ∴ 2 1 na =1+4(n－1), 又 an＞0，∴an= 34 1 n (3)bn= 14 1 34 1 14 1 34 1   nn nn = 1434 1  nn = 4 3414  nn ∴Sn= 4 1 ( 14 n －1) 4 1lim  n Sn n 2 1)114(lim  nnn 10．yx－y=2x+3 (y－2)x=y+3 ∴f－1(x)= 2 3   x x f－1(x+1)= 1 4   x x yx－y=x+4 (y－1)x=y+4 ∴g(x)= 11．设铁路吨千米运费为 3k 元，公路吨千米运费为 5k 元， AD ＝X 千米，总运费为 y 元 y=(100－x)·3k+5k 2220 x =k［300+5 2220 x －3x］ 只要求 x 为何值时 u=5 2400 x －3x 最小. (u－3x)2=10000+25x2 16x2+6ux+10000－u2=0 ∵x∈R ∴△=36u2－64(10000－u2)≥0 u2≥6400. 故当 x＝15(千米)时运费最省. 12．原不等式即 x(3×2k－1－x)≥22 k－1 整理得 x2－3×2k－1+22 k－1≤0 x∈［2k－1，2 k］ ∴f(k)= 2k－1+1, (k∈N+) Sn= 12 12  n +n=2n+n－1 13．记 u=cosx－2∈［－3，－1］则 y=－u－ u 1 －1，在［－3，－1］单调减 ∴y∈［1， 3 7 ］ 14．(1)令 t= 21 x ∈［0，1］，则 y=－(t－a)2+2a2－6a+14. 记 y=g(t) 则 M= 2a2－6a+14 当 a∈［0，1］ g(1)= a2－4a+13 当 a＞1 g(0)=a2－6a+14, 当 a＜0 (2)当 a∈(1,+∞)时，M= a2－4a+13∈ ,6 要使 logbM 取得最大值－ 3 4 ，须 b∈(0,1)且 logb6=－ , ∴b= 4 3 6 ∈(0,1) 答案是肯定的. 六、附录 例 1 (1)原函数为一一映射确定的函数，有反函数为 f－1： X 2 4 8 Y 1 2 4 (2)令 u=1－cosx∈［0，2］则 cosx=1－u f(u)=2(1－u)2－1+2(1－u)=2u2－6u+3 ∴f(x)=2x2－6x+3 x∈［0，2］ ∴f－1(x)=3c 2 15x x∈［－1，3］ 例 2 设半圆半径为 r，则矩形一边长为 2r，一边点为 2 2rrl  . ∴S= )2 )2(2(2 1 2 rlrr   =－( 2  +2)r2+lr 定义域为 r∈(0, 2 l ), 值域为       )4(2,0 2  l . 例 3 81－x2≥0 SMX＞0 Lgsinx≠0 例 4 ∵x∈ 1,1 ∴2x∈      2,2 1 令 log 2 1 x∈      2,2 1 , 得所求定义域为       2 2,4 1 例 5 由已知 f(x)+xf(1－x)=x 以 1－x 代 x, 得 f(1－x)+(1－x)f(x)= 1－x 由上述两式消去 f(1－x)，得 f(x)＝ 12 2  xx x 当 x＝1 时，y=1 当 y≠1 时 (y－1)x2－yx+y=0 △=y2－△y(y－1)≥0 y∈［0， 3 4 ］且 y≠1 ∴值域为［0， ］ 例 6 令 3 52   x x ＞4，解得 x∈［3， 2 7 ］ ∴A=［3， ］ 例 7 (1)y= x2 － x1 在其定义域［0，1］上单调减增 ∴y∈［－1，2］ (2) 令 x=cos2 ∈［0， 2  ］ 则 y=cos +sin = 2 cos( － 4  ) ∵ － 4  ∈［－ 4  ， ］. ∴cos( － )∈［ 2 1 ，1］ ∴y∈［1， ］ (3) 令 x=cos2 ∈［0， ］ 则 y=2cos +sin = 5 cos( －arctan ) ∵ －arctan ∈［－arctan , －arctan ］ ∴cos( －arctan )∈［ 5 5 ,1］ y∈［1, ］ 解得定义域为