【数学】2020年高考真题——全国III卷（文）（精校版）
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若，则z=( )
A．1–i B．1+i C．–i D．i
3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）( )
A．60 B．63 C．66 D．69
5．已知，则( )
A． B． C． D．
6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
7．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．点到直线距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
10．设a=log32，b=log53，c=，则( )
A．a
0,b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
15．设函数．若，则a=_________．
16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
18．（12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：，
P(K2≥k)
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
19．（12分）
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
20．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
设a，b，cR， a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
参考答案
选择题答案
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．C
5．B 6．A 7．B 8．B
9．C 10．A 11．C 12．D
非选择题答案
二、填空题
13．7 14． 15．1 16．
三、解答题
17．解：（1）设的公比为，则.由已知得
，
解得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）知 故
由得，即.
解得（舍去），.
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
．
（3）根据所给数据，可得列联表：
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得
．
由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：（1）如图，连结，．因为，所以四边形为正方形，故．
又因为平面，于是．所以平面．
由于平面，所以．
（2）如图，在棱上取点，使得，连结，，，
因为，，，所以，于是四边形为平行四边形，故．
因为，，，所以，，四边形为平行四边形，故．
于是．所以四点共面，即点在平面内．
20．解：（1）．
当k=0时，，故在单调递增；
当k<0时，，故在单调递增．
当k>0时，令，得．当时，；当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点．
当k>0时，为的极大值点，为的极小值点．
此时，且，，．
根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得．因此k的取值范围为．
21．解：（1）由题设可得，得，
所以的方程为.
（2）设，根据对称性可设，由题意知，
由已知可得，直线BP的方程为，所以，，
因为，所以，将代入的方程，解得或.
由直线BP的方程得或8.
所以点的坐标分别为.
，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
综上，的面积为.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
解：（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；
由得t=2，所以C与x轴的交点为．
故．
（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，
得直线AB的极坐标方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]
解：（1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以
.
（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.
