数学（理）卷·2017届湖南省株洲市高三上学期教学质量检测（一）（2017

数学（理）卷·2017届湖南省株洲市高三上学期教学质量检测（一）（2017

株洲市2017届高三年级教学质量统一检测（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.集合，则是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数为纯虚数，那么实数a的值为 ‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎3.已知，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知数列的前项和为，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在面积为1的等边三角形ABC内任取一点，使三角形的面积都小于的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如右图所示的程序框图表示求算式之值，则判断框内可以填入 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：升），若取3，其体积为12.6（立方升），则图中的x为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知椭圆为左焦点，A为右顶点，分别为上、下顶点，若四点在同一圆上，则此椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 函数在区间上的图象如图所示，则的值为 A. B. C. D.‎ ‎10.设函数，是常数，,且其部分图象如图所示，则有 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.若双曲线上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2:1，则称此双曲线存在“L点”，下列双曲线中存在“L点”的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图，平面平面，直线l，A,C是内不同的两点，B,D是内不同的两点，且A,B,C,D直线l上M,N分别是线段AB,CD的中点，下列判断正确的是 ‎ A. 当|MN|=2|AB|时，M,N两点不可能重合 ‎ B. M,N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 ‎ C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 ‎ D.当AB,CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图，在菱形ABCD中，AB=1，DAB=,E为CD的中点，则的值是 .‎ ‎14. 在的展开式中，项的系数为为 .（用数字作答）‎ (1) 某市家庭煤气的使用量和燃气费（元）满足关系，已知某家庭今年前三个月的燃气费如下表：‎ 若四月份该家庭使用了的煤气，则其燃气费为 .‎ ‎16. 正整数数列满足，将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，则 .（用表示）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ (2) ‎（本题满分12分）‎ 在梯形ABCD中，AB//CD,CD=2，,‎ ‎ （1）求AC的长；‎ ‎ （2）求梯形ABCD的高.‎ (1) ‎（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，,且是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD,E是线段AB的中点.‎ ‎ （1）求证：‎ ‎ （2）求PC与平面PDE所成角的正弦值.‎ (2) ‎（本题满分12分）风力发电项目投资较少，开发前景广阔，受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险，根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下：‎ 风能分类 一类风区 二类风区 平均风速 ‎8.5—10‎ ‎6.5—8.5‎ 某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年中，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性为0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为x万元，投资B项目资金为y万元，且公司要求对A项目的投资不低于B项目.‎ ‎ （1）记投资A、B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望；‎ ‎ （2）根据以上条件和市场调研，试估计后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资资金的建议.‎ (3) ‎（本题满分12分）‎ ‎ 已知，坐标平面上一点P满足：的周长为，记点P的轨迹为,抛物线以为焦点，顶点为坐标原点O.‎ ‎ （1）求,的方程；‎ ‎ （2）若过点的直线与抛物线交于A,B两点，问在上且在直线l外是否存在一点M,使直线MA,MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.‎ (1) ‎（本题满分12分）‎ 已知函数，实数是常数.‎ ‎ （1）若，函数的图象上是否存在两条相互垂直的切线，并说明理由.‎ ‎ （2）若在上有零点，求实数a的取值范围.‎ 请考生在第22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ (2) ‎（本题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（为参数），在以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，A,B两点的极坐标为.‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线L的直角坐标方程；‎ ‎ （2）点P是圆C上任意一点，求面积的最大值.‎ (3) ‎（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 ‎ （1）解不等式；‎ ‎ （2）若使得成立，求实数的取值范围.‎