2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用

‎2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第8节 正弦定理和余弦定理的应用 ‎1．(2014·四川，13,5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37°≈×0.60＝60(m)．‎ 答案：60‎ ‎2．(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为‎50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为‎130 m/min，山路AC长为1 ‎260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．‎ ‎(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以 sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 ‎040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，‎ 因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走‎710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．‎ ‎3．(2010福建，12分)(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝＝‎ ＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.‎ 即，小艇以‎30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．则 v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.‎ ‎∵0AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．‎ 设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t＝和t＝，‎ 所以，＝.‎ 由此可得，v＝.‎ 又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.‎ 从而，30°≤θ<90°.‎ 由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.‎ 于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.‎ 法三：(1)同法一或法二．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：‎ v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ ‎(v2－900)t2＋600t－400＝0.‎ ‎(ⅰ)若0.‎ ‎(ⅱ)若v＝30，则t＝；‎ 综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.‎ 此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东30°，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．‎