【数学】2018届一轮复习人教A版函数及其表示学案

【数学】2018届一轮复习人教A版函数及其表示学案

第四节 函数及其表示 1． 了解函数的概念及构成函数的要素，；了解映射的概念．‎ 2． 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．‎ 3． 了解简单的分段函数，并能简单应用．‎ 1． 考查函数的概念．‎ 2． 以分段函数为载体，考查函数的求值．‎ 3． 以新定义、新情景为载体，考查函数的表示方法．‎ 一、函数及映射的概念 函数 映射 两集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 二、函数的定义域、值域、相等函数 ‎1．定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域．‎ ‎2．值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．‎ ‎3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．‎ 三、函数的表示方法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．‎ 四、分段函数 ‎1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ ‎2．分段函数三要点：(1)‎ 分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．‎ 考向一 函数与映射的概念 例1．有以下判断：①f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数．‎ ‎②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．‎ ‎③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．‎ ‎④若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝0．其中正确判断的序号是________．‎ ‎2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？‎ x x≤1‎ ‎1＜x＜2‎ x≥2‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎①f1：y＝；f2：y＝1.②f1：y＝ f2：‎ ‎③f1：y＝2x；f2：如图所示．‎ ‎3．已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是(　　)‎ A．k>1 B．k≥1 C．k<1 D．k≤1‎ ‎1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法：要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应．‎ ‎2．判断两个函数是否为同一个函数的方法：判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．‎ 考向二 求函数的解析式 例1．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．‎ ‎2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；‎ ‎3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．‎ ‎ 求函数解析式常用以下解法：‎ ‎1．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；‎ ‎2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；‎ ‎3．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎4．解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．‎ 考向三 分段函数求值 例1．已知函数f(x)＝，则＝________.‎ ‎2．设函数f(x)＝若f(x)＞4，则x的取值范围是________．‎ ‎3．已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[)∪(0,1]‎ C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．[]∪(0,1)‎ ‎ ‎ 应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论。‎ .‎ 思想方法 分段函数求值妙招——分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：‎ ‎1．明确分段函数的分段区间．‎ ‎2．依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．‎ ‎3．在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．‎ 答题模版1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)‎ A．－3 B．－3或1 C．1 D．－1或3‎ ‎【解析】∵f(1)＝lg 1＝0，∴f(a)＝0.当a＞0时，lg a＝0，a＝1.‎ 当a≤0时，a＋3＝0，a＝－3. 所以a＝－3或1.‎ ‎【答案】B ‎2．(2014·洛阳模拟)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ ‎【解析】当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；‎ f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，‎ 所以a＝－.当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；‎ f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．综上，满足条件的a＝－.‎ ‎【答案】－.‎ ‎【防范措施】解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．‎ 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．下列各图形中是函数图象的是(　　)‎ ‎2．给出下列五个命题，正确的有(　　)‎ ‎①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f(x)＝+；‎ ‎③f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数． ④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ‎ ‎⑤f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．下列函数中，与函数y＝x相同的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2‎ ‎4．给出四个命题：‎ ‎①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝+是一个函数； ‎ ‎③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．‎ 其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)‎ A． B．3 C． D． ‎6．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ 二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎7．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.‎ ‎8．已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.‎ ‎9．已知f()＝x2＋5x，则f(x)＝________.‎ ‎10．已知实数a≠0,函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为　　　　.‎ 第四节 函数及其表示 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．下列函数中是同一函数的是(　　)‎ A．y＝1与y＝x0 B．y=x与y=‎ C．y＝2lgx与y＝lgx2 D．y＝2x＋1－2x与y＝2x ‎2．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)‎ A． B． C．2 D．9‎ ‎3．已知f(x5)＝lgx，则f(2)等于(　　)‎ A．lg2 B．lg32 C．lg D．lg2‎ ‎4. f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　)‎ A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3‎ ‎5．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)‎ ‎ ‎ ‎6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：‎ 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________．‎ ‎ ‎ ‎8．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)的函数解析式为________．‎ ‎9．已知函数f(x)＝2x－，且g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)‎ ‎10．(15分)如图所示，△AOB是边长为2的正三角形，设直线x＝t截这个三角形所得到的位于此直线左方的图形的面积为y，求函数y＝f(t)的解析式．‎ ‎ ‎ ‎11．(15分)(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是正比例函数，g(x)是反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，求F(x)的解析式．‎ ‎(3)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)的解析式．‎ ‎12．(15分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2x＋5.‎ 第四节 函数及其表示 考向一：例1．【解析】对于①，函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是②④．【答案】②④ 2．【解析】①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.‎ ‎3．【解析】由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k)<0，解得k>1时满足题意.【答案】A ‎ 考向二：例1．【解析】法一：(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，‎ 即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.法二：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2. 2．【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2. 3．【解析】由2f(x)＋f＝3x，得2f＋f(x)＝.由得f(x)＝2x－(x≠0)．‎ 考向三：例1．【解析】∵∈，∴f＝－tan ＝－1，∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2. 2．【解析】方法一：①当x＜1时，由2－x＞4得x＜－2.②当x≥1时，由x2＞4得x＞2.综上可知，所求x的范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ 方法二：函数f(x)＝的图象如图所示，由图可知 f(x)＞4的x的取值范围是x＞2或x＜－2.【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ ‎3．【解析】方法一：①当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝x＋1，‎ ‎∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1，得x＜－，则－1≤x＜－.②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1，解得x＜，则0＜x≤1. 故所求不等式的解集为∪(0,1]．‎ 方法二：画出函数f(x)＝的图象如图所示．‎ 由图可知f(x)为奇函数，从而f(x)－f(－x)＞－1，可知f(x)＞－，解得－1≤x≤－或0＜x≤1.【答案】B 基础自测：1-6．DBCADA 7．【答案】10 8．【答案】 14 9．【答案】＋(x≠0)‎ ‎10．【答案】－,‎ 能力提升：1-6．DCDBDC 7．【答案】y＝8．【答案】f(x)‎ ‎＝x＋－1或f(x)＝－x－－1 9．【答案】0‎ ‎10．【解析】当t∈[0,1]时，y＝t·t·tan60°＝t2；当t∈(1,2]时，y＝·22－(2－t)2tan60°＝－(2－t)2，∴y＝f(t)＝11．【解析】(1)令t＝1－cos x，则cos x＝1－t,0≤t≤2，∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，即f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．‎ ‎(2)由题意设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则F(x)＝kx＋.由F＝16，F(1)＝8，‎ 所以F(x)＝3x＋. (3)∵2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，∴2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)．解方程组得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1＜x＜1) 12．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－‎ ‎4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．‎