数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试(2017-04)

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文档介绍

数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试(2017-04)

‎2017年岳阳县一中高二下期段考试题 数学(文科)‎ 时量:120分钟 分值:150分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)= (  )‎ A.{1,3,5}         B.{2,4,6}‎ C.{1,5} D.{1,6}‎ 解析:选D.本题考查集合的基本运算.∵M={2,3,4},N={4,5},∴M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}.‎ ‎2.已知非零向量a,b,使得|a-b|=|a|+|b|成立的一个充分不必要条件是(  )‎ A.a∥b B.a+2b=0‎ C.= D.a=b 解析:选B.|a-b|=|a|+|b|成立,其充要条件是向量a,b共线且方向相反.当a+2b=0时,a=-2b,|a-b|=|a|+|b|成立;反之,不成立.‎ ‎3.设x>y>1,0<a<1,则下列关系正确的是 (  )‎ A.x-a>y-a B.ax<ay C.ax<ay D.logax>logay 解析:选C.本题考查函数的单调性及不等式的性质.对于A,-a<0,幂函数f(x)=x-a在(0,+∞)上是减函数,所以x-a<y-a,故A不正确;对于B,x>y>1,又a>0,利用不等式的性质得ax>ay,故B不正确;易知C正确;对于D,因为0<a<1,所以函数f(x)=logax在(1,+∞)上是减函数,又x>y>1,所以logax<logay,故D不正确.‎ ‎4.函数f(x)=+的定义域为 (  )‎ A.(-∞,2] B.(0,1)∪(1,2]‎ C.(0,2] D.(0,2)‎ 解析:选B.本题主要考查函数的定义域.f(x)=+是复合函数,所以定义域要满足,解得0<x≤2且x≠1.‎ 5. 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 ‎ (  ) A. ‎ B.- C. D.- 解析:选D.由已知条件可得λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).因为向量λa+b与a-2b垂直,所以(λa+b)·(a-2b)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.‎ ‎6.定义:|a×b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|=(  )‎ A.-8 B.8‎ C.-8或8 D.6‎ 解析:选B.由题意知a·b=2×5cos θ=-6,解得cos θ=-.由0≤θ≤π,得sin θ=.所以|a×b|=|a|·|b|·sin θ=2×5×=8.‎ 7. 若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分 图象如图所示,则ω和φ的取值是(  )‎ A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- C.ω=,φ= D.ω=,φ=- ‎7.解析:选C.由题图可知=-=π,∴T=4π,‎ ‎∴ω==,∴f(x)=sin,将代入可求得φ=.‎ ‎8.设函数f(x)=,且f(2)=1,则f(1)= (  )‎ A.8 B.6‎ C.4 D.2‎ 解析:选B.本题考查分段函数的求值.因为f(2)=1,所以logt(22-1)=logt3=1,解得t=3,所以f(1)=2×31=6.‎ ‎9.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2sin(A+B)-=0,则c= (  )‎ A.4 B. C.2 D.3 解析:选B.∵a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,‎ ‎∴a+b=2,ab=2.‎ 又2sin(A+B)-=0,即sin(A+B)=,‎ ‎∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=,‎ 又C为锐角,∴cos C==.‎ 根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C= (a+b)2-3ab=6,∴c=(负值舍去).‎ ‎10.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围可以是 (  )‎ A. B. C. D. (0,2]‎ 解析:选A.本题考查三角函数单调性的应用.‎ 法一:通过取特殊值ω=2,ω=,验证三角函数自变量的范围,排除选项,得到结果.令ω=2⇒ωx+∈,不符合题意,排除D;令ω=⇒ωx+∈,不符合题意,排除B,C.故选A.‎ 法二:y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,则k∈Z,解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z,又由4k+-=2k-<0,k∈Z得k=0,所以ω∈,故选A.‎ ‎11.若x∈R,n∈N,规定:H=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如:H=(-4)·(-3)·(-2)·(-1)=24,则f(x)=x·H的奇偶性为 (  ) ‎ A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 解析:选B.本题考查函数的奇偶性.由定义可知f(x)=x·H=x(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=x2(x2-1)(x2-4),易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=x2(x2-1)(x2-4)=f(x),所以函数f(x)是偶函数但不是奇函数.‎ ‎12.设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,向量a-c 与 b-c 的夹角为60°,则|c|的最大值等于 (  )‎ A.2 B. C. D.1‎ 解析:选A.∵|a|=|b|=1,a·b=-,∴向量a,b的夹角为120°.如图所示,设=a,=b,=c,则=a-c,=b-c,∠AOB=120°,所以∠ACB=60°,∴∠AOB+∠ACB=180°,∴A,O,B,C四点共圆,不妨设为圆M.‎ ‎∵=b-a,∴2=a2-2a·b+b2=3,‎ ‎∴||=,由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径2R==2,∴当||为圆M的直径时,|c|取得最大值2.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)‎ ‎13.已知向量a=(3,4),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan 2α=________.‎ 解析:∵a∥b,∴3cos α-4sin α=0,∴tan α=,‎ ‎∴tan 2α===.‎ 答案: ‎14.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-1<0的解集是________.‎ 解析:本题考查了分类讨论思想,函数的奇偶性及函数的解析式.由题意知,函数y=f(x)的定义域是R,当x<0时,f(x)=x+2,则当x>0时,- x<0,所以f(-x)=-x+2,又函数y=f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x-2,即f(x)=,因此不等式2f(x)-1<0等价于或或,‎ 解得x<-或x=0或0<x<,故不等式2f(x)-1<0的解集为{x|x<-或0≤x<}.‎ 答案:{x|x<-或0≤x<}‎ ‎15.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在点C处测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=________.‎ 解析:本题主要考查解三角形的实际应用.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,由正弦定理,得=,即=,所以BC=15(m).在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=15×=15(m).‎ 答案:15m ‎16.已知函数 其中,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是_________.‎ ‎ 16. . ‎ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8).‎ ‎(1)求实数k,a的值;‎ ‎(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由.‎ ‎17.解:(1)把A(0,1),B(3,8)的坐标代入f(x)=k·a-x,得,解得k=1,a=. …… 5分 ‎(2)g(x)是奇函数,理由如下:‎ 由(1)知f(x)=2x,所以g(x)==.‎ 函数g(x)的定义域为R,又g(-x)===-=-g(x),‎ 所以 g(x)是奇函数 …… 10分 18. ‎(本小题满分12分)‎ 已知三角形的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足a2+c2-b2=ac.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若2bcos A=(ccos A+acos C),BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.‎ ‎18.解:(1)由余弦定理得cos B===.‎ 因为B是三角形的内角,所以B=. …… 5分 ‎(2)由正弦定理得==,代入2bcos A=(ccos A+acos C)‎ ‎∴2sin Bcos A=sin(A+C).‎ ‎∴cos A=,A∈(0,π),A= 设CM=m,则AC=2m.‎ 在△ACM中,7=4m2+m2+2m2,‎ ‎∴m2=1,m=1,m=-1(舍去),‎ ‎∴AC=BC=2‎ ‎∴S△ABC=CA·CB·sinπ=×2×2×=. …… 12分 19. ‎(本小题满分12分)‎ 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n), 函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,-2).‎ ‎(1)求m,n的值;‎ ‎(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.‎ ‎19.解:(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.‎ 因为y=f(x)的图象过点(,)和(,-2),‎ 所以 即解得 …… 6分 ‎(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).‎ 由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+).‎ 设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),‎ 由题意知x+1=1,所以x0=0,‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).‎ 将其代入y=g(x)得sin(2φ+)=1,‎ 因为0<φ<π,所以φ=,‎ 因此g(x)=2sin(2x+)=2cos 2x.‎ 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得 kπ-≤x≤kπ,k∈Z,‎ 所以函数y=g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ],k∈Z. …… 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知二次函数满足条件,‎ 且方程有两相等实根 . ‎ ‎(1)求 ‎(2)是否存在实数,使得函数在定义域为时,值域为。如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由 ‎20.(1)解:由题意得 ………………4分 解得 ………………6分 ‎(2),对称轴为x=1,最大值为…………8分 函数在定义域为时值域为 ‎……………………10分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α
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