2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试 高二数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.点在极坐标系中的坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.抛物线的准线方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.直线与直线平行，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. 0 B. 2 C. D. 2或 ‎4.圆与圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 ‎ ‎5.以抛物线的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）‎ ‎ A. 20 B. 22 C. 24 D. 28‎ ‎8. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支 ‎ ‎10. 、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是该椭圆上的动点，则 面积的最大值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知直线被椭圆截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为2017的有（ ）‎ ‎① ② ③ ④ ‎ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎ ‎12. 如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13. 直线（为参数）的斜率为 ；‎ ‎14. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ；‎ ‎15. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为 ；‎ ‎16. 已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，且，求双曲线的标准方程.‎ ‎18 .（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于，两点，点的直角坐标为．‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎19 .（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的方程为，过点作直线交抛物线于、两点，且为线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长度.‎ ‎20 .（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，满足圆的方程，求的取值范围.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 椭圆与直线相交于、两点，且，其中为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．‎ ‎22.(本小题满分12分) ‎ 如图，椭圆的左右焦点分别为的、，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，当时，点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点，连接；与的面积分别记为，，设.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；‎ N O y M F A B O ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ 南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试 高二数学（理）试卷参考答案 一、选择题 ‎1—5 ACDBA 6—10 BCBDB 11—12 CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 2 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）因为在抛物线上，可设抛物线方程为，由抛物线的定义可知，到准线的距离为4，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；‎ ‎…………………………5分 ‎（Ⅱ）由双曲线定义及可知，所以，‎ 又因为是双曲线上的点，所以，解得，‎ 所以，双曲线的标准方程为.…………………………10分 ‎18. 解：（Ⅰ）由消去参数，得到直线的普通方程为．‎ 把，，代入，得：‎ 圆的直角坐标方程，即．‎ ‎…………………………6分 ‎（Ⅱ）把（为参数）代入，化简得：‎ ‎，由于，‎ 所以设，是该方程的两根．所以．‎ 又直线过，所以．………12分 ‎19 .解：（Ⅰ）设，，因为、在抛物线上，所以有 ‎，相减得，‎ 所以，‎ 因为为线段的中点，所以，，‎ 所以，又因为直线过点，‎ 所以直线的方程为，即；.……………6分 ‎（Ⅱ）由得，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以线段的长度为..…………………………12分 ‎20． （Ⅰ）解：设圆的圆心为，半径为，则有：‎ ‎ ，‎ 解得，‎ 所以圆的方程为：.…………………………6分 ‎（Ⅱ），‎ 设（），则该圆与圆有公共点，‎ ‎，则，‎ 从而的取值范围为.…………………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）由联立得，‎ ‎，‎ 设，，则，，‎ 由，得，‎ ‎，化简得，‎ 所以，化简得；………………6分 ‎（Ⅱ），由，得，‎ 所以，‎ 又由（Ⅰ）知，所以，‎ 因此，，解得，所以，‎ ‎，即椭圆的长轴长的取值范围为．‎ ‎…………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入有，即 ①‎ 又得到代入①，解得，‎ 所以的方程为，的方程为；…………………4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，.‎ 由，得到，则，‎ 设，，则，‎ 所以， ②‎ 设直线的方程为，‎ 由，解得，所以，‎ 由②可知，用代替，‎ 可得，…………………………8分 由，可得，‎ 所以，‎ 用代替，可得 所以，‎ ‎（时等号成立）‎ 所以的取值范围为.…………………………12分