2019届二轮复习第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题课件（41张）（全国通用）

2019届二轮复习第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题课件（41张）（全国通用）

第 4 讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位　 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题 . 1. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax . 若 f ( x ) 为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 ( 　　 ) A. y ＝－ 2 x B. y ＝－ x C. y ＝ 2 x D. y ＝ x 解析　 因为函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax 为奇函数，所以 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，可得 a ＝ 1 ，所以 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x ，所以 f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 1 ，所以 f ′(0) ＝ 1 ，所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 y ＝ x . 答案 　 D 真 题 感 悟 2. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 若 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)·e x － 1 的极值点，则 f ( x ) 的极小值为 ( 　　 ) A. － 1 B . － 2e － 3 C.5e － 3 D.1 解析 　 f ′( x ) ＝ [ x 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ a － 1]·e x － 1 ， 则 f ′( － 2) ＝ [4 － 2( a ＋ 2) ＋ a － 1]·e － 3 ＝ 0  a ＝－ 1 ， 则 f ( x ) ＝ ( x 2 － x － 1)·e x － 1 ， f ′( x ) ＝ ( x 2 ＋ x － 2)·e x － 1 ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1 ， 当 x < － 2 或 x >1 时， f ′( x )>0 ；当－ 2< x <1 时， f ′( x )<0. 则 f ( x ) 极小值为 f (1) ＝－ 1. 答案 　 A 3. (2018· 天津卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x ln x ， f ′( x ) 为 f ( x ) 的导函数，则 f ′(1) 的值为 ________. 答案　 e ( ⅰ ) 若 a ≤ 2 ，则 f ′( x ) ≤ 0 ， 当且仅当 a ＝ 2 ， x ＝ 1 时 f ′( x ) ＝ 0 ， 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上单调递减 . (1) 试讨论函数 f ( x ) 的单调性； (2) 设 x 1 ， x 2 是 f ( x ) 的两个极值点，且 x 2 > x 1 ，设 t ＝ f ( x 1 ) － f ( x 2 ) － ( a － 2)( x 1 － x 2 ) ，试证明 t >0. (2) 证明　 由 (1) 知， f ( x ) 存在两个极值点时，当且仅当 a >2. 由于 f ( x ) 的两个极值点 x 1 ， x 2 满足 x 2 － ax ＋ 1 ＝ 0 ， 所以 x 1 x 2 ＝ 1. 又 ∵ x 2 > x 1 >0 ，所以 x 2 >1. 又 t ＝ f ( x 1 ) － f ( x 2 ) － ( a － 2)( x 1 － x 2 ) 1. 导数的几何意义 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ f ′( x 0 ) ，相应的切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ). 易错提醒 　 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点 . 考 点 整 合 2. 四个易误导数公式 3. 利用导数研究函数的单调性 (1) 导数与函数单调性的关系 . ① f ′( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件，如函数 f ( x ) ＝ x 3 在 ( － ∞ ，＋ ∞) 上单调递增，但 f ′( x ) ≥ 0. ② f ′( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f ′( x ) ＝ 0 时，则 f ( x ) 为常数函数 . (2) 利用导数研究函数单调性的方法 . ① 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. ② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0 在单调区间上恒成立问题来求解 . 4. 利用导数研究函数的极值、最 值 (1) 若在 x 0 附近左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极大值；若在 x 0 附近左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 设函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) 内可导，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 . 易错提醒　 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 . 热点一　导数与定积分的几何意义 【例 1 】 (1) (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ＜ 0 时， f ( x ) ＝ ln( － x ) ＋ 3 x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ，－ 3) 处的切线方程是 ________. 解析　 (1) 令 x >0 ，则－ x <0 ， f ( － x ) ＝ ln x － 3 x ， 又 f ( x ) 为偶函数，即 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ 在点 (1 ，－ 3) 处的切线方程为 y ＋ 3 ＝－ 2( x － 1) ，即 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 探究提高　 1. 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标 . 2. 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1) 正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值 . (2) 根据图形的特征，选择合适的积分变量 . 在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x ＝ φ ( y ) 的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值 . 又该切线与直线 x ＋ ay ＋ 1 ＝ 0 垂直， 所以 k 1 k 2 ＝－ 1 ，解得 a ＝ 1. 热点二　利用导数研究函数的单调性 考法 1 　确定函数的单调性 ( 区间 ) 【例 2 － 1 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x (e x － a ) － a 2 x ，其中参数 a ≤ 0. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 若 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围 . 解 　 (1) 函数 f ( x ) 的定义域为 ( － ∞ ，＋ ∞) ，且 a ≤ 0. f ′( x ) ＝ 2e 2 x － a e x － a 2 ＝ (2e x ＋ a )(e x － a ). ① 若 a ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ e 2 x ，在 ( － ∞ ，＋ ∞) 上单调递增 . 综上所述，当 a ＝ 0 时， f ( x ) 在 R 上单调递增； (2) ① 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ e 2 x ≥ 0 恒成立 . 所以 f ′(1) ＝ 0 ，即 2 － b ＋ 1 ＝ 0. 解得 b ＝ 3 ，经检验，适合题意，所以 b ＝ 3. 令 f ′( x )<0 ，得 0< x <1. 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0 ， 1). 因为函数 g ( x ) 在 [1 ， 2] 上单调递增， 所以 g ′( x ) ≥ 0 在 [1 ， 2] 上恒成立， 所以 a ≥ － 2 x 2 － x 在 [1 ， 2] 上恒成立， 所以 a ≥ ( － 2 x 2 － x ) max ， x ∈ [1 ， 2]. 因为在 [1 ， 2] 上， ( － 2 x 2 － x ) max ＝－ 3 ，所以 a ≥ － 3. 所以 a 的取值范围是 [ － 3 ，＋ ∞). 探究提高 　 1. 求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解 ( 证 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. 2.(1) 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f ′( x ) ≥ 0( 或 f ′( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) 恒成立，解出参数的取值范围 ( 一般可用不等式恒成立的理论求解 ) ，应注意参数的取值是 f ′( x ) 不恒等于 0 的参数的范围 . (2) 若函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上不单调，则转化为 f ′( x ) ＝ 0 在 ( a ， b ) 上有解 . 【训练 2 】 已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ ( － x 2 ＋ ax )e x ( x ∈ R ， e 为自然对数的底数 ). (1) 当 a ＝ 2 时，求函数 f ( x ) 的单调递增区间； (2) 若函数 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上单调递增，求 a 的取值范围 . 解　 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ ( － x 2 ＋ 2 x )·e x ， 所以 f ′( x ) ＝ ( － 2 x ＋ 2)e x ＋ ( － x 2 ＋ 2 x )e x ＝ ( － x 2 ＋ 2)e x . 令 f ′( x ) ＞ 0 ，即 ( － x 2 ＋ 2)e x ＞ 0 ， (2) 因为函数 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上单调递增 ，所以 f ′( x ) ≥ 0 对 x ∈ ( － 1 ， 1) 都成立 . 因为 f ′( x ) ＝ ( － 2 x ＋ a )e x ＋ ( － x 2 ＋ ax )e x ＝ [ － x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ]e x ， 所以 [ － x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ]e x ≥ 0 对 x ∈ ( － 1 ， 1) 都成立 . 因为 e x ＞ 0 ，所以－ x 2 ＋ ( a － 2) x ＋ a ≥ 0 ， 热点三　利用导数研究函数的极值和最值 考法 1 　求函数的极值、最值 【例 3 － 1 】 (2018· 北京卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ [ ax 2 － (4 a ＋ 1) x ＋ 4 a ＋ 3]e x . (1) 若曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线与 x 轴平行，求 a ； (2) 若 f ( x ) 在 x ＝ 2 处取得极小值，求 a 的取值范围 . 解 　 (1) 因为 f ( x ) ＝ [ ax 2 － (4 a ＋ 1) x ＋ 4 a ＋ 3]e x ， 所以 f ′( x ) ＝ [ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2]e x . f ′(1) ＝ (1 － a )e. 由题设知 f ′(1) ＝ 0 ，即 (1 － a )e ＝ 0 ，解得 a ＝ 1. 此时 f (1) ＝ 3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2) f ′( x ) ＝ [ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2]e x ＝ ( ax － 1)( x － 2)e x . 当 x ∈ (2 ，＋ ∞) 时， f ′( x )>0 . 所以 f ( x ) 在 x ＝ 2 处取得极小值 . 所以 f ′( x )>0. 所以 2 不是 f ( x ) 的极小值点 . 探究提高　 1. 本题利用导数的几何意义曲线在点 (1 ， f (1)) 处的切线与 x 轴平行，求 a 值，切记，需检验切线是否与 x 轴重合 . 2.(1) 可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点 . (2) 求函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 与 f ( x ) 的各极值进行比较得到函数的最值 . 【训练 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ e x cos x － x . 解　 (1) ∵ f ( x ) ＝ e x ·cos x － x ， ∴ f (0) ＝ 1 ， f ′( x ) ＝ e x (cos x － sin x ) － 1 ， ∴ f ′(0) ＝ 0 ， ∴ y ＝ f ( x ) 在 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y － 1 ＝ 0·( x － 0) ，即 y ＝ 1. (2) f ′( x ) ＝ e x (cos x － sin x ) － 1 ，令 g ( x ) ＝ f ′( x ) ， ∴ g ( x ) ≤ g (0) ＝ 0 ， ∴ f ′( x ) ≤ 0 且仅在 x ＝ 0 处等号成立， 令 f ′( x ) ＝ 0 ，即 x 2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0 ，其中 Δ ＝ a 2 － 4. ① 当 a 2 － 4 ≤ 0 时，即－ 2 ≤ a ≤ 2 时， x 2 ＋ ax ＋ 1 ≥ 0 恒成立 . ∴ f ′( x ) ≥ 0 ，则 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上递增，函数无极值点 . 若 a >2 ，则 x 1 < x 2 <0 ， ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上单调递增 . ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上无极值点 . 若 a < － 2 ，则 0< x 1 < x 2 ， ∴ x ∈ (0 ， x 1 ) ∪ ( x 2 ，＋ ∞) 时， f ′( x )>0 ， 当 x ∈ ( x 1 ， x 2 ) 时， f ′( x )<0 ， 故 x 1 是 f ( x ) 的极大值点， x 2 是 f ( x ) 的极小值点 . 综上：当 a < － 2 时， f ( x ) 有两个极值点， 当 a ≥ － 2 时， f ( x ) 无极值点 . 当 x ∈ (0 ， 1) 时， e x ( x － 1) ＋ ln x ＋ x 2 － 1<0 ，即 h ′( x )<0 ， h ( x ) 单调递减； x ∈ (1 ，＋ ∞) 时， e x ( x － 1) ＋ ln x ＋ x 2 － 1>0 ， 即 h ′( x )>0 ， h ( x ) 单调递增 . 因此 x ＝ 1 为 h ( x ) 的极小值点，即 h ( x ) ≥ h (1) ＝ e ＋ 1 ，故 a ≤ e ＋ 1. 探究提高　 1. 求函数 f ( x ) 的极值，则先求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根，再检查 f ′( x ) 在方程根的左右附近函数值的符号 . 2. 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f ′( x ) ＝ 0 根的大小或存在情况来求解 . 【 训练 4 】 已知函数 f ( x ) ＝ ax － 1 － ln x ( a ∈ R ). (1) 讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数； (2) 若函数 f ( x ) 在 x ＝ 1 处取得极值，  x ∈ (0 ，＋ ∞) ， f ( x ) ≥ bx － 2 恒成立，求实数 b 的最大值 . 当 a ≤ 0 时， f ′( x ) ≤ 0 在 (0 ，＋ ∞) 上恒成立，函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上单调递减 . ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上没有极值点 . 综上，当 a ≤ 0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上没有极值点； 当 a >0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上有一个极值点 . (2) ∵ 函数 f ( x ) 在 x ＝ 1 处取得极值， ∴ f ′(1) ＝ a － 1 ＝ 0 ，则 a ＝ 1 ，从而 f ( x ) ＝ x － 1 － ln x . 则 g ( x ) 在 (0 ， e 2 ) 上单调递减，在 (e 2 ，＋ ∞) 上单调递增， 1. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用 “ ∪ ” 连接，而只能用逗号或 “ 和 ” 字隔开 . 2. 可导函数在闭区间 [ a ， b ] 上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 . 3. 可导函数极值的理解 ( 1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； ( 2) 对于可导函数 f ( x ) ， “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′( x 0 ) ＝ 0” 是 “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件； ( 3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 . 4. 求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论 . 5. 求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维 —— 直接求函数的极值或最值；也有逆向思维 —— 已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想 .