考点14 平面向量的运算（线性运算和坐标运算）-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训

考点14 平面向量的运算（线性运算和坐标运算）-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训

‎2018届高三数学30个黄金考点精析精训 考点14 平面向量的运算（线性运算和坐标运算）‎ ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎（3）了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．‎ ‎（4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示．‎ ‎（5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎（6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ‎ ‎2.命题方向预测：‎ ‎（1）平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.‎ ‎（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.‎ ‎3.课本结论总结：‎ ‎（1）向量的有关概念 ‎①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.‎ ‎②零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=.‎ ‎③单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.‎ ‎④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.‎ ‎⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .‎ ‎(2)向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：a＋b＝b＋a.‎ ‎ (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb ‎(3) 平面向量基本定理 若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.‎ ‎(4) 共线向量 ‎①共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.‎ ① 共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=.‎ ② 若=（，），=（，），则∥-=0.‎ ‎(5) 平面向量的基本运算 ‎①若=（，），=（，），则±=（±，±），‎ ‎=（，），‎ ‎②若A（，），B（，），则=（-，-）.‎ ‎4.名师二级结论：‎ ‎（1）若A、B、C三点共线且，则=1.‎ ‎（2）若向量不共线，，则 ‎（3）C是线段AB中点的充要条件是.‎ ‎(4)若，则线段AB的中点坐标为（）.‎ ‎(4)G是△ABC的重心的充要条件为.‎ ‎(5)若△ABC的三个顶点坐标分别为，则△ABC重心坐标为 ‎(6)已知，且，则点C的坐标为.‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎(1)新课标A版第92页，习题A组第12 题 在△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设，=，用，分别表示向量.‎ ‎【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算，具有代表性.‎ ‎ (2) 新课标A版第101页，练习第7 题 已知A（2,3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，且,求点P的坐标.‎ ‎【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想，是经典题型.‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)三角函数交汇 ‎【2017江苏，16】 已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，fx取得最大值，为3； 时，fx取得最小值，为.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】∵，，∥，∴，即，‎ 又∵，∴，.‎ ‎ (2)与平面几何交汇 ‎【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC， AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点分类】‎ 热点1 平面向量的线性运算 ‎1.【2017河北唐山二模】平行四边形中， 为的中点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由图形可得： ①，②，‎ ‎①②得： ，即，∴，‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎2.如图，正方形中，点是的中点，点 是的一个三等分点，那么等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【方法规律】‎ 1. 判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：‎ （1） 零向量的方向及与其他向量的关系.‎ （2） 单位向量的长度与方向.‎ 2. 对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.‎ 3. 向量不能比较大小，但它的模可以比较大小 4. 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.‎ 5. 当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.‎ 6. 当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．‎ ‎3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.‎ ‎4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．‎ ‎2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.‎ ‎3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．‎ 例1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．‎ ‎【错解】　设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，则＝，而＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．‎ 由＝，得∴∴D(－3，－5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5）． ‎ ‎【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．‎ ‎【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏.‎ ‎【正解】如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]‎ ‎ ‎ ‎③若四边形ACBD3为平行四边形，则＝.‎ 而＝(x＋1，y)，＝(2,5)，∴∴∴D3(1,5)． ‎ 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)． ‎ 热点2 共线向量问题 ‎1.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由a||b可得 ‎ ‎2.【百强校】2017届广东珠海市高三9月摸底】已知向量，若与共线，则_______.‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】，所以与不共线，那么当与共线时，，即得.‎ ‎【方法规律】‎ 1. 向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.‎ 2. 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ 3. 若A、B、C三点共线且，则=1.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．‎ ‎【易错点睛】‎ 若＝()，＝(，)，则∥的充要条件不能表示成，因为，有可能等于0，所以应表示为.‎ 例 已知,，且，求实数的值.‎ ‎【错解】因为,，且，所以，解得=-3.‎ ‎【错因分析】已知＝()，＝(，)，错误将当做∥的充要条件，因为，有可能等于0.‎ ‎【预防措施】正确记忆和运用∥的充要条件，已知＝()，＝(，)，则∥的充要条件是＝0.‎ ‎【正解】因为,，且，∴，解得=-3或=0.‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.若向量，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，向量，故选B．‎ ‎2.如图所示，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知,且,故 ‎,.‎ ‎3.【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】设，，其中、、为实数，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B.[-6,1] C．[-1,6] D．[4,8]‎ ‎【答案】B ‎4. 已知、，、、是共起点的向量，、不共线，，则、、的终点共线的充分必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,即时，在同一直线上.由直线的向量式参数方程知，、、的终点共线的充分必要条件是，选.‎ ‎5.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，为轴，建立坐标系，则，由，得，即 ‎6.已知，，则 “＝‎2”‎是“∥”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由已知∥，故知“＝‎2”‎是“∥”的充分而不必要条件，故选Ｂ ‎7.【2017宁夏中卫二模】已知向量， ， ，若，则向量在向量方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎8. 设，向量，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，即，‎ 所以.因为，所以,所以,‎ 所以,故答案为.‎ ‎9.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】取BC的中点E，连接AE，根据△ABC是边长为4的正三角形 ‎∴AE⊥BC，，而，则点D为AE的中点，则AD=，‎ 取,以AD，AF为边作平行四边形，可知，‎ 而△APD为直角三角形，且AF=，∴△APD的面积为.‎ ‎10.已知向量，，且满足，则实数_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，，得，，因为，所以，解得．‎ ‎11.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围是____________. ‎ ‎【答案】‎ ‎12.在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为 ．‎ ‎【答案】等边三角形 ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎13. 【百强校】2017届北京市高三入学定位考试】已知向量，，，若，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，，，得，又由，得，解得，故答案为.‎ ‎14.设是已知的平面向量，向量，,在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:‎ ‎①给定向量,总存在向量,使;‎ ‎②给定向量和,总存在实数和,使;‎ ‎③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;‎ ‎④若=2，存在单位向量、和正实数，,使，则 其中真命题是____________.‎ ‎【答案】①②④‎