数学理卷·2018届吉林省长春市十一高中、白城一中2016-2017学年高二上学期期末联考（2017-01）

数学理卷·2018届吉林省长春市十一高中、白城一中2016-2017学年高二上学期期末联考（2017-01）

长春十一高 白城一中2016-2017学年度上学期期末考试 ‎ 高二数学试卷（理）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上， ‎ ‎2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎3、保持卡面清洁，不折叠、不破损。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题:“x∈R,”的否定是 （　 　） ‎ A.x∈R, B.x∈R,‎ C.x∈R, D.x∈R,‎ ‎2.复数z=2-3i对应的点z在复数平面的 （ ）‎ A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为 （　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 （ ）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是 （　 　）‎ A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 ‎5. 等于 (　 　) ‎ A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2‎ ‎6. 若，则的单调递增区间是 (　 　) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如下图是函数的大致图象，则= （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎8.命题甲：双曲线C的渐近线方程为y=±x；命题乙：双曲线C的方程为=1那么甲是乙的 ( )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 ‎9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于 （ ） ‎ A． B. C.16 D. 或16‎ ‎11. 若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 (　 　)‎ A．[0，) B．[0，)∪[，π)‎ C．[，π) D．[0，)∪(，]‎ ‎12.设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 （ ）‎ A B. C . D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.‎ ‎13.i是虚数单位，则等于 。‎ ‎14．过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=　　．‎ ‎15.若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝_________________________.‎ ‎16.定义在 的函数 满足 且，则 的取值范围是______________________________.‎ 三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （10分） 已知 ，求证： ‎ ‎18. （12分）‎ 已知函数在处的极小值为.‎ ‎（1）求的值，并求出的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围。‎ ‎19．(12分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1、F2，它们的离心率之和为2，‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ ‎20. (12分) 已知直线 与抛物线 交于A、B两点.‎ ‎（1）若|AB|=10，求实数m的值.‎ ‎（2）若 ,求实数m的值.‎ ‎21. (12分) 是否存在常数 使等式 对一切 都成立？‎ 并证明的的结论.‎ ‎22．(12分)已知常数 ，函数 ‎ ‎(1)讨论在区间(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)若存在两个极值点 ，且 ，求的取值范围.‎ 高二理科数学答案 ‎（一）选择题 CDCBD CACDA BA ‎（二）填空 ‎13. 14. 12 15. 16. ‎ ‎（三）解答题 ‎17. 1分 ‎ 所以要证 只需证 5分 即证 ‎ 即证 ‎ 即证 10分 显然成立，所以原命题成立.‎ ‎18.. 解：（1）‎ ‎∵在处的极值为 ‎ 3分 当时，或 ∴增区间为 当时， ∴减区间为 6分 ‎（2）由（1）可知 当时，取极大值为，当时，取极大值为 10分 ‎∴当时，关于的方程有三个不同的实根. 12分 ‎19.[解析]　(1) 在椭圆 ＋＝1 中 ，a 2 ＝25， b 2 ＝9‎ ‎∴c ＝ ＝4，焦点在y 轴上，离心率为e ＝ 1分 由题意得：所求双曲线的半焦距c ＝4，‎ 离心率e′ = 2－＝2， 2分 又∵e′ ＝＝ ＝2‎ ‎∴双曲线的实半轴为a′＝2，‎ 则b′2＝c 2 - a′2 ＝16 －4 ＝12 5分 ，‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 6分 ‎(2) 由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P 在哪一个象限，cos∠F1PF2 的值是相同的，设点P 是双曲线的与椭圆在第一象限的交点，其中|PF1|>|PF2|‎ 由定义可知|PF1|＋|PF2|＝10 ①‎ ‎|PF1|－|PF2|＝4 ②‎ 由①、② 得|PF1|＝7，|PF2|＝3 10分 又∵|F1F2|＝8，在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ‎＝ ＝－， ‎ ‎∴cos∠F1PF2 的值为－ 12分 ‎ 20.解设 ‎ ‎（1）⇒ +（2m-8）x+ =0------------------------------（1分）‎ ‎-----------------------------------------------（3分）‎ ‎|AB|==10， m= ----（5分）‎ ‎∵m＜2，∴m= ---------------------------------------------------------（6分）‎ ‎（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0------------------------------------（7分） x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0-----------------------------------------（9分） 2m2+m（8-2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0或m=-8，---------------------------------（11分） 经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）‎ ‎21.解： 时 ， 时 ， 时 ‎ 解得 4分 证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立。 5分 ‎（2）假设n=k时（ ）等式成立，即 ‎ 6分 则当n=k+1时 ‎ 7分 ‎= 8分 ‎ ‎= 9 分 ‎= ‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以当n=k+1时等式也成立。 11分 综上（1）（2）对于所有正整数都成立。 12分 ‎22‎ 解：(1)f′(x)＝－＝(*) 1分 当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．2分 当00.‎ 故f(x)在区间(0，x2)上单调递减，‎ 在区间(x2，＋∞)上单调递增． 4分 综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．5分 ‎(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，‎ 此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0－且x≠－2，‎ 所以－2>－，－2≠－2，‎ 解得a≠.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点．‎ 而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－ ‎＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－ ‎＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2. 8分 令2a－1＝t由0g(1)＝0.故当0.‎ 综上所述，满足条件的a的取值范围为 12分