数学理卷·2018届湖南省衡阳县高三12月联考试题（解析版）

数学理卷·2018届湖南省衡阳县高三12月联考试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. （0，4） C. D. ‎ ‎【答案】C 结合交集的定义可知，‎ 本题选择C选项.‎ ‎2. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数图像的平移性质可知，平移后函数的解析式为：‎ ‎........................‎ 本题选择D选项.‎ ‎3. 在等比数列中，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的通项公式有：，‎ 整理可得：，即.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．‎ ‎4. 已知向量，其中，若与共线，则的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ ，，其中，且与共线 ‎∴，即 ‎∴，当且仅当即时取等号 ‎∴的最小值为 故选C 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎5. 若函数的定义域与值域相同，则（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ 函数 ‎∴函数的定义域为 ‎∵函数的定义域与值域相同 ‎∴函数的值域为 ‎∵函数在上是单调减函数 ‎∴当时，，即 故选B ‎6. 函数在上的图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，‎ 由可知：，排除A选项.‎ 本题选择B选项.‎ ‎7. 若，则 （ ）‎ A. B. C. 2或3 D. -2或-3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，‎ 整理可得：，‎ 求解关于的方程可得：或.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，绘制函数,和的图像，三个方程的根为图中点，的横坐标，观察可得：，即有.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9.‎ ‎ 某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据：）‎ ‎2022年 B．2023年 C.2024年 D．2025年 ‎【答案】C ‎【解析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元，‎ 由题意可得：，即，‎ 两边取对数可得：，‎ 则，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是年.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10. 如图，函数的图象与轴转成一个山峰形状的图形，设该图形夹在两条直线之间的部分的面积为，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 的极大值为 D. 在-2，2]上的最大值与最小值之差为 ‎【答案】D ‎【解析】对于，，故错误；对于，‎ ‎，，所以，故错误；对于，的极大值为，故错误；对于，在上的最大值与最小值分别为，，故正确.‎ 故选D ‎11. 在数列中，，且，记，则（ ）‎ A. 能被41整除 B. 能被43整除 C. 能被51整除 D. 能被57整除 ‎【答案】A ‎【解析】由数列的递推公式可得：‎ 结合可得：‎ ‎,‎ 则数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 则，故，‎ 据此可得：能被41整除.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎12. 已知函数，若恰好存在3个整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为 （ ）‎ A. 34 B. 33 C. 32 D. 25‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出的函数图象如图所示：‎ 当时，，当时，‎ ‎∵，， ，‎ ‎，‎ ‎∴当时，；当时，，；当时，‎ ‎∵恰好存在3个整数，使得成立 ‎∴整数的值为及，，，，共34个 故选A 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知函数的周期为4，当时，，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵函数的周期为4‎ ‎∴‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ 故答案为2‎ ‎14. 在边长为6的正△中，边上的一点，且，则__________．‎ ‎【答案】-24‎ ‎【解析】∵ ，边上的一点，且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵是边长为6的正三角形 ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎15. 若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，得，则切点为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在轴的交点处的切线方程为 ‎∵切线经过点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 点睛：应用导数求曲线切线的斜率时，要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别，否则容易出错。‎ ‎16. 已知函数，当对恒成立时，的最大值为，则__________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴由题意可得，即 ‎∵对恒成立，的最大值为 ‎∴当时，‎ 当，‎ ‎∴或（不合题意，故舍去）‎ 故答案为 点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.‎ ‎(1)求在上的单调递减区间；‎ ‎（2）设函数，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），.(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，结合正弦函数的性质可得的单调递减区间为 ‎，.‎ ‎(2)函数的解析式，则的最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得 ‎∵，∴‎ 当，即，单调递减；‎ 当，即，单调递减；‎ 故的单调递减区间为，.‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 则的最小值为.‎ ‎18. 在△中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，且，若△的面积为24，坟线段的长.‎ ‎【答案】（1）.(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合正弦定理和二倍角公式可得.‎ ‎(2)由题意可得，结合余弦定理计算可得 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵‎ ‎∵，∴.‎ ‎(2)∵，∴为锐角，‎ 又 ‎∴，则△的面积为 ‎∴又 ‎∴‎ ‎19. 已知正项等比数列满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）由得：当时，，两式做差，根据正项等比数列，即可求出数列的通项公式；（2）由数列的通项公式写出数列的通项公式，结合错位相减法和分组求和法，即可求出数列的前项和.‎ 试题解析：（1）当时，‎ ‎∴，∵‎ 又∵也满足，‎ ‎∴‎ ‎(2)，设数列的的前项和，‎ 则 ‎∴‎ ‎∴‎ 即 故∴‎ ‎20. 已知向量，其中，且 ‎（1）若向量在向量方向上的投影不小于，求正数的最小值；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合投影的定义得到关于实数x的不等式，求解不等式可知正数的最小值为；‎ ‎(2)计算可得，则，换元计算可得的取值范围是 试题解析：‎ ‎（1）向量在向量方向上的投影 ‎∵，∴∵，‎ 即正数的最小值为；‎ ‎(2)，‎ ‎∴，令，‎ 在上递增，‎ ‎∴，即，∴‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，求出的导数，再求出，即可求出曲线在原点处的切线方程；（2）根据的导数及定义域，对进行分类讨论，求出的单调性及最值，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，‎ 故曲线在原点处的切线方程为.‎ ‎(2)‎ 当时，‎ 若，则 在（0，1）上递增，从而 若令，当时，‎ 当时，，，则不合题意 ‎∴综上所述，的取值范围为 点晴：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎22. 已知函数 ‎（1）若直线与曲线都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个平行四边形，并计算该平行四边形的面积；‎ ‎（2）设函数在1，2]上的值域为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）12.(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的极值，再根据直线与曲线都只有两个交点得和的值，然后求出四个交点的坐标，即可证明这四个交点可以构成一个平行四边形及计算出该平行四边形的面积；（2）化简，然后求导，求出的极值，对进行分类讨论，求出单调性及最值，表示出，根据的取值，即可求出的单调性及最小值.‎ 试题解析：（1）证明：令得 令得；令 ‎∴的极大值为，极小值为.‎ ‎∵,令或3；‎ 令 ‎∴这四个交点分别为（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）‎ ‎∵3-0=2-（-1）=3‎ ‎∴这四个交点可以构成一个平行四边形，且其面积为 ‎(2)解：因为 所以 令，得或，‎ ‎①当时，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 又因为，所以 所以 因为 所以在上单调递减，所以当时，的最小值为 ‎②当时，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 又因为，所以 所以 因为 所以在上单调递增，所以当时，‎ ‎③当时，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 所以 所以 因为 所以在上的最小值为 综上，的最小值为 点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,对数函数的性质及分类讨论思想,利用导数研究函数的单调性时要注意先求函数的定义域,若所求的导数含有参数,在进行讨论时要做到分类标准统一,对参数的讨论要不重不漏.‎