福建省永泰县第一中学2020届高三上学期期中考试 数学（文）

福建省永泰县第一中学2020届高三上学期期中考试 数学（文）

‎2019-2020学年度第一学期永泰一中期中联考 高中三年文科数学试卷 完卷时间：120分钟 满 分：150分 ‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数满足，则的共轭复数=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数是奇函数，则实数（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知 ，， ， 则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.函数在的图像大致为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎7.已知定义在R上的奇函数满足，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在中，，则的最大值为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数（， ）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎11.若，，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时， ，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．‎ ‎13.函数的单调递增区间是 ．‎ ‎14.等差数列的前项和为，若，则 .‎ ‎15.若，满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎16.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、 解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ ‎ ‎ 为等差数列的前项和，已知，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数最小正周期及单调递减区间．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在的最值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知数列满足，，其中为数列的前n项和.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图，四边形中，，，设.‎ ‎（Ⅰ）若面积是面积的4倍，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ） 设函数，求函数h（x）的极值；‎ ‎ （Ⅱ） 若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．‎ 参考答案 一． 选择题：（各5分, 共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答题 C D B C C B A C C ‎ B D C 二. 填空题（各5分, 共20分）‎ ‎ 13． ；（也正确） 14． 52； ‎ ‎15. 9； 16. ‎ ‎ 三、解答题：共70分 ‎17、解：（1）由设数列的公差为，则 ‎ ………………………………2分 ‎ 解得， ……………………………………3分 ‎ ……………………………4分 所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为 ‎ ……………………………5分 ‎（2）由 ‎ ……………………7分 ‎ ……………………………10分 ‎18、解： ‎ ‎ ………………………………………2分 ‎ =…………………………………………4分 ‎ =…………………………………………6分 ‎ （2）‎ ‎ =…………………………………………8分 ‎ 的最小正周期为T=…………………………………………9分 由，解得 ‎…………………………………………11分 所以的单调递减区间为…………………12分 ‎19、解：（1），………………………………1分 则，………………………………4分 ‎．………………………………6分 ‎（2）的定义域为，，‎ 令，则，………………………………………………8分 · 当时，，单调递减；‎ · 当时，，单调递增，………………………10分 ‎，∵，，且，‎ ‎∴．………………………………………………12分 ‎20、解：（1）.由，，当时，可得.…………………………1分 当时，，两式相减得：，即，‎ ‎…………………………3分 且.…………………………4分 故是以1为首项，3为公比的等比数列。…………………………5分 所以………………………………………6分 ‎（2）.由题意，所以.…………7分 所以…………………8分 相减得…………………9分 ‎…………………………………………………11分 ‎…………………………………………12分 ‎21、解：（1）设，则，，，………………………………2分 由题意，‎ 则，………………………………4分 所以.………………………………5分 ‎（2）由正弦定理，中，，即①‎ ‎………………………………7分 中，，即②‎ ‎……………………………9分 ‎①÷②得：，化简得，……………11分 所以.………………………………12分 ‎22、解：（Ⅰ） 依题意，定义域为（0, +∞），‎ ‎∴, …………3分 ‎①当a+1＞0，即a＞时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a, ‎ 此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增，‎ 令，得 x＞1+ a．‎ 此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减． …………………………4分②当a+1≤0，即a≤时，恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减． ………5分 综上，当a＞时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝，无极小值；‎ 当a≤时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值． …………………6分 ‎（Ⅱ）依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得成立,即在[1, e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，‎ 故函数在[1, e]上，有h（x）max≥0． ………………8分 由（Ⅰ）可知，①当a+1≥e, 即a≥时，h（x）在[1, e]上单调递增，‎ ‎∴, ∴, ‎ ‎∵，∴． ……………………9分 ‎②当0＜a+1≤1，或a≤，即a≤0时，h（x）在[1, e]上单调递减，‎ ‎∴，∴a ≤． ……………………………10分 ‎③当1＜a+1＜e，即0＜a＜时，‎ 由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值，‎ 即h（x）max＝h（1+a）＝，‎ ‎∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，‎ 此时不存在x0使h（x0）≥0成立．…………………………………………11分 综上可得，所求a的取值范围是或a≤． ……………………12分