江苏省海安中学2020届高三上学期阶段测试三数学试题

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江苏省海安中学2020届高三上学期阶段测试三数学试题

海安中学2020届高三阶段测试三 数 学 试 卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.设全集,2,3,4,,若,2,,则集合  .‎ 解:全集,2,3,4,,‎ 若,2,,‎ 则集合,.‎ 故答案为:,.‎ ‎2.已知复数满足为虚数单位),则的模为  .‎ 解:复数满足为虚数单位),‎ ‎,,‎ 故答案为:.‎ ‎3.已知一组数据的平均数为,极差为,方差为,则数据,,,的方差为_____.‎ 故答案为:‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为  .‎ 解:模拟执行伪代码,可得:‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为  .‎ 解:从0、2中选一个数字0,则0不只能排在百位,从1、3、5中选两个数字之一排在百位,共有种;‎ 从0、2中选一个数字2,从1、3、5中选两个数字全排列,共有种;‎ 故共有种.‎ 故答案为:30.‎ ‎6.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为  .‎ 解:因为,所以,所以渐近线方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎7.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则的值为  .‎ 解:由将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,‎ 可得把函数的图象向左平移个单位后得函数的图象,‎ 故,则,‎ 故答案为:4.‎ ‎8.设定义在上的奇函数在区间,上是单调减函数,且(2),则实数的取值范围是  .‎ 解:根据题意,是在上的奇函数,且在区间,上是单调减函数,‎ 则其在区间上递减,‎ 则函数在上为减函数,‎ ‎(2)(2),‎ 解可得:;‎ 即实数的取值范围是;‎ 故答案为:.‎ ‎9.在锐角三角形中,,,则的值为  .‎ 解:锐角三角形中,,,,‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 则,‎ 故答案为:79.‎ ‎10.设为数列的前项和,若,且,则的值为  .‎ 解:由,,可得.‎ 解法1:当时,由,得,‎ ‎,即,‎ 数列是首项,公差为6的等差数列,‎ ‎.‎ 解法2:当时,由,‎ 可得,‎ ‎,‎ 数列是首项,公差为3的等差数列,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎11.设正实数,满足,则实数的最小值为  .‎ 解:由正实数,满足,‎ 化为,‎ ‎,化为,‎ 解得.‎ 因此实数的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎12.如图,正四棱柱的体积为27,点,分别为棱,上的点(异于端点),且,则四棱锥的体积为  .‎ 解:连接,‎ 正四棱柱的体积为27,‎ 点,分别为棱,上的点(异于端点),且,‎ ‎,‎ ‎,‎ 四棱锥的体积.‎ 故答案为:9.‎ ‎13.已知向量,,满足,且与的夹角的正切为,与的夹角的正切为,,则的值为  .‎ 解:可设,,,‎ 由题意可得,,‎ 则,‎ 即为,‎ 又,为锐角,,,‎ 可得,‎ 同理可得,‎ 由正弦定理可得,‎ 即有,,‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎14.已知,,若同时满足条件:‎ ‎①,或;‎ ‎②,.‎ 则的取值范围是  .‎ 解:对于①,当时,,‎ 又①,或 在时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与轴交点都在的左面 则 即①成立的范围为 又②,‎ 此时恒成立 在有成立的可能,则只要比,中的较小的根大即可,‎ 当时,较小的根为,不成立,‎ 当时,两个根同为,不成立,‎ 当时,较小的根为,即成立.‎ 综上可得①②成立时.‎ 故答案为:.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知的面积为,且,向量和向量是共线向量.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)求的边长.‎ 解:(1),,即,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎(2)由得:,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,四棱锥的底面为矩形,且,,,分别为,中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若平面平面,求证:平面平面.‎ 证明:(1)方法一:取线段的中点,连接,.‎ 因为为的中点,所以,且.‎ 因为四边形为矩形,为的中点,‎ 所以,且.‎ 所以,且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以. ‎ 又平面,平面,所以平面. ‎ 方法二:连接并延长交的延长线于,连接.‎ 因为四边形为矩形,所以,‎ 所以,.‎ 又,所以.所以.‎ 又为的中点,所以.(5分)‎ 又平面,平面,所以平面. ‎ 方法三:取的中点,连接,.‎ 在矩形中,为的中点,所以,且.‎ 所以四边形为平行四边形,所以.‎ 又平面,平面,所以平面. ‎ 因为,分别为,的中点,所以.‎ 又平面,平面,所以平面.‎ 又,平面,,所以平面平面. ‎ 因为平面,所以平面. ‎ ‎(2)设,相交于.‎ 在矩形中,因为,为的中点.所以.‎ 又,所以,所以.‎ 又,所以.‎ 由的内角和为,得.即. ‎ 因为平面平面 因为平面,所以平面, ‎ 又平面,所以平面平面. ‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,,是两条海岸线,为海中一个小岛,为海岸线上的一个码头.已知,,到海岸线,的距离分别为,.现要在海岸线上再建一个码头,使得在水上旅游直线经过小岛.‎ ‎(1)求水上旅游线的长;‎ ‎(2)若小岛正北方向距离小岛处的海中有一个圆形强水波,从水波生成时的半径为为大于零的常数).强水波开始生成时,一游轮以的速度自码头开往码头,问实数在什么范围取值时,强水波不会波及游轮的航行.‎ 解:(1)以点 为坐标原点,直线 为 轴,建立直角坐标系如图所示.‎ 则由题设得:,直线 的方程为,,.‎ 由,及 得,.‎ 直线 的方程为,即,‎ 由 得 即,‎ ‎,‎ 即水上旅游线 的长为.‎ ‎(2)设试验产生的强水波圆,‎ 由题意可得,生成 小时时,游轮在线段 上的点 处,则 ‎,,.‎ 强水波不会波及游轮的航行即.‎ ‎,‎ 当 时,上式恒成立,‎ 当,,‎ ‎,当且仅当 时等号成立,‎ 所以,在 时 恒成立,亦即强水波不会波及游轮的航行.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,其左、右焦点分别为、,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若、分别为椭圆的左、右顶点,动点满足,且交椭圆于点.‎ 求证:为定值;‎ 设与以为直径的圆的另一交点为,问:直线是否过定点,并说明理由.‎ 解:(1)由题意可得且,‎ 解得,,‎ 即有椭圆方程为;‎ ‎(2)证明:由,,,‎ 设,,,‎ 可得,‎ 代入椭圆方程可得,,‎ 由,可得,‎ ‎,‎ 则为定值;‎ 直线过定点.‎ 理由如下:由题意可得,‎ 由与以为直径的圆的另一交点为,‎ 可得,即有.‎ 则直线,‎ 即,‎ 故直线过定点.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知数列满足:(常数,.数列满足:.‎ ‎(1)求,,,的值;‎ ‎(2)求出数列的通项公式;‎ ‎(3)问:数列的每一项能否均为整数?若能,求出的所有可能值;若不能,请说明理由.‎ 解:(1)由已知可知:,,.‎ 把数列的项代入,求得,;‎ ‎(2)由,可知:.①‎ 则:.②‎ ‎①②有:,即:‎ ‎,.‎ ‎;‎ ‎(3)假设存在正数,使得数列的每一项均为整数,‎ 则由(2)可知:,③‎ 由,,可知,2.‎ 当时,为整数,利用,,,结合③式,可知的每一项均为整数;‎ 当时,③变为,④‎ 用数学归纳法证明为偶数,为整数.‎ 时,结论显然成立,假设时结论成立,这时为偶数,为整数,‎ 故为偶数,为整数,时,命题成立.‎ 故数列是整数列.‎ 综上所述,为1,2时,数列是整数列.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 设函数,.‎ ‎(1)若,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若,试判断函数在区间,内的极值点的个数,并说明理由;‎ ‎(3)求证:对任意的正数,都存在实数,满足:对任意的,.‎ 解:(1)当时,,,‎ 令,,列表分析 ‎1‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 故的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎(2),,其中,‎ 令,分析的零点情况.,令,,列表分析 ‎,‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 ‎,‎ 而,,,‎ ‎①若,则,‎ 故在,内没有极值点;‎ ‎②若,则,,,‎ 因此在,有两个零点,在,内有两个极值点;‎ ‎③若,则,,,‎ 因此在,有一个零点,在,内有一个极值点;‎ 综上所述,当,时,在,内没有极值点;‎ 当,时,在,内有两个极值点;‎ 当,时,在,内有一个极值点.‎ ‎(3)猜想:,恒成立.‎ 证明如下:‎ 由(2)得在,上单调递增,且(1),.‎ 因为当时,,所以.‎ 故在上存在唯一的零点,设为. 由 ‎,‎ ‎’ ‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 知,,(1),.‎ 又,而时,,‎ 所以(1).‎ 即,.‎ 所以对任意的正数,都存在实数,使对任意的,使.‎ 补充证明 令,.,‎ 所以在,上单调递增.‎ 所以时,(1),即.‎ 补充证明 令,.,‎ 所以在,上单调递减.‎ 所以时,(1),即.‎ 海安中学2020届高三阶段测试三 数学附加题 ‎21.[选做题,本题包括三小题,请选定其中两题,并在相应区域作答]‎ A.已知二阶矩阵,矩阵属于特征值的一个特征向量为,属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.‎ 解:由特征值、特征向量定义可知,,‎ 即,得 ‎ 同理可得 解得,,,.‎ 因此矩阵. ‎ B.在极坐标系中,已知 1, , 9, ,线段的垂直平分线与极轴交于点,求的极坐标方程及的面积.‎ 解:由题意,线段的中点坐标为,‎ 设点为直线上任意一点,‎ 在直角三角形中,,‎ 所以,的极坐标方程为, ‎ 令,得,即.(8分)‎ 所以,的面积为:.‎ ‎22.已知实数,满足,求证:.‎ 证明:由,可得,‎ ‎,‎ 要证,‎ 即证,‎ 由于,‎ 即证,‎ 即为,显然成立.‎ 故原不等式成立.‎ ‎23.如图,在四棱锥中,已知棱,,两两垂直,长度分别为1,2,2.若,且向量与夹角的余弦值为.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解:以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立如图所示空间直角坐标系;‎ 则:,0,,,0,,,2,,,0,;,‎ 可得,2,.‎ ‎(1),2,,,2,,向量与夹角的余弦值为.‎ 可得,解得(舍去)或.‎ 实数的值为2.;‎ ‎(2),2,,,2,,平面的法向量,,.‎ 则且,即:,,,不妨去,‎ 平面的法向量,1,.又,0,.‎ 故.‎ 直线与平面所成角的正弦值为:.‎ ‎24.已知数列的通项公式为,.记.‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)求所有正整数,使得能被8整除.‎ 解:(1)‎ ‎,‎ 即有;‎ ‎;‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 即,,‎ 因此除以8的余数,完全由,除以8的余数确定,‎ 因为,,‎ 所以,,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 由以上计算及可知,数列各项除以8的余数依次是:‎ ‎1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,,‎ 它是一个以6为周期的数列,从而除以8的余数等价于除以3的余数,‎ 所以,,‎ 即所求集合为:,.‎
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