- 2021-04-15 发布 |
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文档介绍
江苏省海安中学2020届高三上学期阶段测试三数学试题
海安中学2020届高三阶段测试三 数 学 试 卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设全集,2,3,4,,若,2,,则集合 . 解:全集,2,3,4,, 若,2,, 则集合,. 故答案为:,. 2.已知复数满足为虚数单位),则的模为 . 解:复数满足为虚数单位), ,, 故答案为:. 3.已知一组数据的平均数为,极差为,方差为,则数据,,,的方差为_____. 故答案为: 4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 . 解:模拟执行伪代码,可得: . 故答案为:. 5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为 . 解:从0、2中选一个数字0,则0不只能排在百位,从1、3、5中选两个数字之一排在百位,共有种; 从0、2中选一个数字2,从1、3、5中选两个数字全排列,共有种; 故共有种. 故答案为:30. 6.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为 . 解:因为,所以,所以渐近线方程为. 故答案为:. 7.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则的值为 . 解:由将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象, 可得把函数的图象向左平移个单位后得函数的图象, 故,则, 故答案为:4. 8.设定义在上的奇函数在区间,上是单调减函数,且(2),则实数的取值范围是 . 解:根据题意,是在上的奇函数,且在区间,上是单调减函数, 则其在区间上递减, 则函数在上为减函数, (2)(2), 解可得:; 即实数的取值范围是; 故答案为:. 9.在锐角三角形中,,,则的值为 . 解:锐角三角形中,,,, ,. ,. 则, 故答案为:79. 10.设为数列的前项和,若,且,则的值为 . 解:由,,可得. 解法1:当时,由,得, ,即, 数列是首项,公差为6的等差数列, . 解法2:当时,由, 可得, , 数列是首项,公差为3的等差数列, , . 11.设正实数,满足,则实数的最小值为 . 解:由正实数,满足, 化为, ,化为, 解得. 因此实数的最小值为. 故答案为:. 12.如图,正四棱柱的体积为27,点,分别为棱,上的点(异于端点),且,则四棱锥的体积为 . 解:连接, 正四棱柱的体积为27, 点,分别为棱,上的点(异于端点),且, , , 四棱锥的体积. 故答案为:9. 13.已知向量,,满足,且与的夹角的正切为,与的夹角的正切为,,则的值为 . 解:可设,,, 由题意可得,, 则, 即为, 又,为锐角,,, 可得, 同理可得, 由正弦定理可得, 即有,, 则. 故答案为:. 14.已知,,若同时满足条件: ①,或; ②,. 则的取值范围是 . 解:对于①,当时,, 又①,或 在时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与轴交点都在的左面 则 即①成立的范围为 又②, 此时恒成立 在有成立的可能,则只要比,中的较小的根大即可, 当时,较小的根为,不成立, 当时,两个根同为,不成立, 当时,较小的根为,即成立. 综上可得①②成立时. 故答案为:. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分) 已知的面积为,且,向量和向量是共线向量. (1)求角; (2)求的边长. 解:(1),,即, , ,, (2)由得:, , ,, 16.(本小题满分14分) 如图,四棱锥的底面为矩形,且,,,分别为,中点. (1)求证:平面; (2)若平面平面,求证:平面平面. 证明:(1)方法一:取线段的中点,连接,. 因为为的中点,所以,且. 因为四边形为矩形,为的中点, 所以,且. 所以,且. 所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面,平面,所以平面. 方法二:连接并延长交的延长线于,连接. 因为四边形为矩形,所以, 所以,. 又,所以.所以. 又为的中点,所以.(5分) 又平面,平面,所以平面. 方法三:取的中点,连接,. 在矩形中,为的中点,所以,且. 所以四边形为平行四边形,所以. 又平面,平面,所以平面. 因为,分别为,的中点,所以. 又平面,平面,所以平面. 又,平面,,所以平面平面. 因为平面,所以平面. (2)设,相交于. 在矩形中,因为,为的中点.所以. 又,所以,所以. 又,所以. 由的内角和为,得.即. 因为平面平面 因为平面,所以平面, 又平面,所以平面平面. 17.(本小题满分14分) 如图,,是两条海岸线,为海中一个小岛,为海岸线上的一个码头.已知,,到海岸线,的距离分别为,.现要在海岸线上再建一个码头,使得在水上旅游直线经过小岛. (1)求水上旅游线的长; (2)若小岛正北方向距离小岛处的海中有一个圆形强水波,从水波生成时的半径为为大于零的常数).强水波开始生成时,一游轮以的速度自码头开往码头,问实数在什么范围取值时,强水波不会波及游轮的航行. 解:(1)以点 为坐标原点,直线 为 轴,建立直角坐标系如图所示. 则由题设得:,直线 的方程为,,. 由,及 得,. 直线 的方程为,即, 由 得 即, , 即水上旅游线 的长为. (2)设试验产生的强水波圆, 由题意可得,生成 小时时,游轮在线段 上的点 处,则 ,,. 强水波不会波及游轮的航行即. , 当 时,上式恒成立, 当,, ,当且仅当 时等号成立, 所以,在 时 恒成立,亦即强水波不会波及游轮的航行. 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,其左、右焦点分别为、,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)若、分别为椭圆的左、右顶点,动点满足,且交椭圆于点. 求证:为定值; 设与以为直径的圆的另一交点为,问:直线是否过定点,并说明理由. 解:(1)由题意可得且, 解得,, 即有椭圆方程为; (2)证明:由,,, 设,,, 可得, 代入椭圆方程可得,, 由,可得, , 则为定值; 直线过定点. 理由如下:由题意可得, 由与以为直径的圆的另一交点为, 可得,即有. 则直线, 即, 故直线过定点. 19.(本小题满分16分) 已知数列满足:(常数,.数列满足:. (1)求,,,的值; (2)求出数列的通项公式; (3)问:数列的每一项能否均为整数?若能,求出的所有可能值;若不能,请说明理由. 解:(1)由已知可知:,,. 把数列的项代入,求得,; (2)由,可知:.① 则:.② ①②有:,即: ,. ; (3)假设存在正数,使得数列的每一项均为整数, 则由(2)可知:,③ 由,,可知,2. 当时,为整数,利用,,,结合③式,可知的每一项均为整数; 当时,③变为,④ 用数学归纳法证明为偶数,为整数. 时,结论显然成立,假设时结论成立,这时为偶数,为整数, 故为偶数,为整数,时,命题成立. 故数列是整数列. 综上所述,为1,2时,数列是整数列. 20.(本小题满分16分) 设函数,. (1)若,求函数的单调区间; (2)若,试判断函数在区间,内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数,都存在实数,满足:对任意的,. 解:(1)当时,,, 令,,列表分析 1 0 单调递减 单调递增 故的单调递减区间为,单调递增区间为. (2),,其中, 令,分析的零点情况.,令,,列表分析 , 0 单调递减 单调递增 , 而,,, ①若,则, 故在,内没有极值点; ②若,则,,, 因此在,有两个零点,在,内有两个极值点; ③若,则,,, 因此在,有一个零点,在,内有一个极值点; 综上所述,当,时,在,内没有极值点; 当,时,在,内有两个极值点; 当,时,在,内有一个极值点. (3)猜想:,恒成立. 证明如下: 由(2)得在,上单调递增,且(1),. 因为当时,,所以. 故在上存在唯一的零点,设为. 由 , ’ 0 单调递减 单调递增 知,,(1),. 又,而时,, 所以(1). 即,. 所以对任意的正数,都存在实数,使对任意的,使. 补充证明 令,., 所以在,上单调递增. 所以时,(1),即. 补充证明 令,., 所以在,上单调递减. 所以时,(1),即. 海安中学2020届高三阶段测试三 数学附加题 21.[选做题,本题包括三小题,请选定其中两题,并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵,矩阵属于特征值的一个特征向量为,属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 解:由特征值、特征向量定义可知,, 即,得 同理可得 解得,,,. 因此矩阵. B.在极坐标系中,已知 1, , 9, ,线段的垂直平分线与极轴交于点,求的极坐标方程及的面积. 解:由题意,线段的中点坐标为, 设点为直线上任意一点, 在直角三角形中,, 所以,的极坐标方程为, 令,得,即.(8分) 所以,的面积为:. 22.已知实数,满足,求证:. 证明:由,可得, , 要证, 即证, 由于, 即证, 即为,显然成立. 故原不等式成立. 23.如图,在四棱锥中,已知棱,,两两垂直,长度分别为1,2,2.若,且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数的值; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 解:以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立如图所示空间直角坐标系; 则:,0,,,0,,,2,,,0,;, 可得,2,. (1),2,,,2,,向量与夹角的余弦值为. 可得,解得(舍去)或. 实数的值为2.; (2),2,,,2,,平面的法向量,,. 则且,即:,,,不妨去, 平面的法向量,1,.又,0,. 故. 直线与平面所成角的正弦值为:. 24.已知数列的通项公式为,.记. (1)求,的值; (2)求所有正整数,使得能被8整除. 解:(1) , 即有; ; (2), , 即,, 因此除以8的余数,完全由,除以8的余数确定, 因为,, 所以,,, ,, ,, ,, 由以上计算及可知,数列各项除以8的余数依次是: 1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,, 它是一个以6为周期的数列,从而除以8的余数等价于除以3的余数, 所以,, 即所求集合为:,.查看更多