2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3椭圆的简单几何性质

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3椭圆的简单几何性质

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第 1 课时　椭圆的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质， 并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用 曲线的方程研究它的性质，并能画出相 应的曲线．(重点、难点) 1.通过椭圆性质的学习与应用，培 养学生数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升 直观想象与逻辑推理的核心素养. 使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然 后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围，对称性，离心率等问 题． 1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准 方程 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0) y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率 e 的范围是(0,1)．当 e 越接近于 1 时，椭圆越扁；当 e 越接近 于 0 时，椭圆就越接近于圆． 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ [提示]　不是，离心率是比值，比值相同不代表 a，c 值相同，它反映的是椭 圆的扁圆程度． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的长轴长等于 a. (　　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c. (　　) (3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆． (　　) [提示]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．经过点 P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为(　　) A．x2 9 ＋y2 4 ＝1　　　 B．y2 9 ＋x2 4 ＝1 C．x2 9 －y2 4 ＝1 D．y2 9 －x2 4 ＝1 A　[由题易知点 P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的 焦点在 x 轴上，所以 a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2 4 ＝1.] 3．椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，它的一个焦点为(0， 3)，则椭圆的标准 方程是________． x2＋y2 4 ＝1　[依题意得 2a＝4b，c＝ 3，又 a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为 x2＋y2 4 ＝1.] 4．设椭圆x2 25 ＋y2 b2 ＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心 率的值为________． 3 5 　[由条件知 2×5＋2c＝4b，即 2b＝c＋5， 又 a2－b2＝c2，a＝5 解得 b＝4，c＝3. ∴离心率 e＝c a ＝3 5.] 由椭圆方程研究几何性质 【例 1】　(1)椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝λ(λ＞0 且 λ≠1)有(　　) A．相同的焦点　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 (2)求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐 标． (1)C　[在两个方程的比较中，端点 a、b 均取值不同，故 A，B，D 都不对， 而 a，b，c 虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选 C.] (2)[解]　把已知方程化成标准方程为x2 16 ＋y2 9 ＝1， 所以 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6； 离心率 e＝c a ＝ 7 4 ； 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 1 ． 本 例 (1) 中 把 方 程 “x2 a2 ＋ y2 b2 ＝ λ(λ ＞ 0 且 λ≠1)” 改 为 “ x2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝ 1(λ≠0)”，结果会怎样呢？ A　[由于 a＞b，∴方程 x2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝1 中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2. 焦点与x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同． 而因长轴长，短轴长发生了变化，所以 BCD 均不对，只有 A 正确．] 2．本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？ [解]　把方程 16x2＋9y2＝144 化为标准形式得y2 16 ＋x2 9 ＝1. 知椭圆的焦点在 y 轴上， 这里 a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7， 所以椭圆 16x2＋9y2＝144 的长轴长为 2a＝2×4＝8，短轴长为 2b＝2×3＝6， 离心率：e＝c a ＝ 7 4 ，焦点坐标：(0， ± 7)， 顶点坐标：(0，－4)，(0,4)，(－3,0)，(3,0)． 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定 焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝b2＋c2 求出焦点 坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 2a,2b,2c. 由几何性质求椭圆的 方程 【例 2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 6 3 ； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8； (3)经过点 M(1,2)，且与椭圆x2 12 ＋y2 6 ＝1 有相同的离心率． [思路探究]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到 a 与 b 的关系，再用待定系数法求 解． 法二：设与椭圆x2 12 ＋y2 6 ＝1 有相同离心率的椭圆方程为x2 12 ＋y2 6 ＝k1(k1>0)或y2 12 ＋ x2 6 ＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3， ∵e＝c a ＝ 6 3 ，∴c＝ 6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x2 9 ＋y2 3 ＝1. 若焦点在 y 轴上，则 b＝3， ∵e＝c a ＝ 1－b2 a2 ＝ 1－ 9 a2 ＝ 6 3 ，解得 a2＝27. ∴椭圆的方程为y2 27 ＋x2 9 ＝1. ∴所求椭圆的方程为x2 9 ＋y2 3 ＝1 或y2 27 ＋x2 9 ＝1. (2)设椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为x2 32 ＋y2 16 ＝1. (3)法一：由题意知 e2＝1－b2 a2 ＝1 2 ，所以b2 a2 ＝1 2 ，即 a2＝2b2，设所求椭圆的方程 为 x2 2b2 ＋y2 b2 ＝1 或 y2 2b2 ＋x2 b2 ＝1. 将点 M(1,2)代入椭圆方程得 1 2b2 ＋ 4 b2 ＝1 或 4 2b2 ＋ 1 b2 ＝1，解得 b2＝9 2 或 b2＝3. 故所求椭圆的方程为x2 9 ＋y2 9 2 ＝1 或y2 6 ＋x2 3 ＝1. 法二：设所求椭圆方程为x2 12 ＋y2 6 ＝k1(k1>0)或y2 12 ＋x2 6 ＝k2(k2>0)，将点 M 的坐标 代入可得 1 12 ＋4 6 ＝k1 或 4 12 ＋1 6 ＝k2，解得 k1＝3 4 ，k2＝1 2 ，故x2 12 ＋y2 6 ＝3 4 或y2 12 ＋x2 6 ＝1 2 ， 即所求椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2 9 2 ＝1 或y2 6 ＋x2 3 ＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤 是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方 程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时 常用的关系式有 b2＝a2－c2，e＝c a 等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此 仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 提醒：与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝k1(k1>0， 焦点在 x 轴上)或y2 a2 ＋x2 b2 ＝k2(k2>0，焦点在 y 轴上)． [跟进训练] 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3,0)，并且以坐标轴为对称 轴，求椭圆的标准方程． [解]　法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，则设椭圆的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞ 0)．由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2＝1. 若椭圆的焦点在 y 轴上，则设椭圆的标准方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a＞b＞0)． 由题意得Error!解得Error! 所以椭圆的标准方程为y2 81 ＋x2 9 ＝1. 综上所述，椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2＝1 或y2 81 ＋x2 9 ＝1. 法二：设椭圆方程为x2 m ＋y2 n ＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则由题意得Error!或Error! 解得Error!或Error! 所以椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2＝1 或y2 81 ＋x2 9 ＝1. 求椭圆的离心率 [探究问题] 1．椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ [提示]　离心率 e＝ c a ，假设 a 固定，当 e→0 时，c→0，因 a2＝c2＋b2，则 b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁． 2．已知b a 的值能求出离心率吗？ [提示]　可以．e＝c a ＝ a2－b2 a2 ＝ 1－(b a )2 . 3．已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上的 顶点，P 是椭圆上的一点，且 PF⊥x 轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？ [提示]　如图，设椭圆的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)． ∵OP∥AB， ∴△PFO∽△BOA， ∴c a ＝m b ， ① 又 P(－c，m)在椭圆上， ∴c2 a2 ＋m2 b2 ＝1. ② 将①代入②，得2c2 a2 ＝1， 即 e2＝1 2 ，∴e＝ 2 2 . 【例 3】　设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一 点 P，使PF1→ ·PF2→ ＝0，求椭圆的离心率 e 的取值范围． [思路探究]　由条件PF1→ ·PF2→ ＝0，知 PF1⊥PF2，所以点 P 在以 F1F2 为直径的 圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解． [解]　由题意知 PF1⊥PF2，所以点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，即在圆 x2＋y2＝ c2 上． 又点 P 在椭圆上，所以圆 x2＋y2＝c2 与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 有公共点． 连接 OP(图略)，则易知 0＜b≤c＜a， 所以 b2≤c2＜a2，即 a2－c2≤c2＜a2. 所以a2 2 ≤c2＜a2，所以 2 2 ≤e＜1.所以 e∈[ 2 2 ，1). 1．本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且△PF1F2 为等边三角形”， 求椭圆的离心率． [解]　当△PF1F2 为等边三角形时，即|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，又|PF1|＝a，∴a＝ 2c，故离心率 e＝c a ＝1 2. 2．本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且△PF1F2 为等腰直角三角 形”，求椭圆的离心率． [解]　当△PF1F2 为等腰直角三角形时， ∠F1PF2＝90°， 这时|F1F2|＝ 2|PF1|， 即 2c＝ 2a， ∴离心率 e＝c a ＝ 2 2 . 3．把本例中条件“使PF1→ ·PF2→ ＝0”改为“使∠F1PF2 为钝角”，求离心率的取 值范围． [解]　由题意，知 c＞b，∴c2＞b2. 又 b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，即 2c2＞a2.∴e2＝c2 a2 ＞1 2 ， ∴e＞ 2 2 .故椭圆的离心率的取值范围为( 2 2 ，1). 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝c a 求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2 求出 c 或 a，再代入公式 e＝c a 求解． (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的齐次关系式， 借助于 a2＝b2＋c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两 边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围． 1．对椭圆几何性质的几点解释 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁 平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的 特殊点．若已知椭圆的标准方程，则根据 a，b 的值可确定其性质． (2)如图所示，在△OF2B2 中，a，b，c，e 对应的线段或有关量为 a＝|F2B2|，b ＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝c a ＝|OF2| |F2B2| ＝cos∠OF2B2. (3)若椭圆的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，则椭圆与 x 轴的交点 A1，A2 到焦 点 F2 的距离分别为最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型， 再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、 顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距． 1．焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭 圆的标准方程是(　　) A．x2 4 ＋y2 3 ＝1　　　　 B．x2 4 ＋y2＝1 C．y2 4 ＋x2 3 ＝1 D．x2＋y2 4 ＝1 A　[依题意，得 a＝2，a＋c＝3，故 c＝1，b＝ 22－12＝ 3，故所求椭圆的 标准方程是x2 4 ＋y2 3 ＝1.] 2．已知实数 1，m,9 成等比数列，则椭圆x2 m ＋y2＝1 的离心率为(　　) A． 6 3 B． 2 2 C． 6 3 或 2 2 D． 2 2 或 3 2 A　[∵1，m,9 成等比数列，∴m2＝9. 即 m＝3 或 m＝－3(舍)，这时 c2＝3－1＝2，即 c＝ 2. ∴离心率 e＝c a ＝ 2 3 ＝ 6 3 .故选 A. ⑤焦点坐标分别为(0,6)，(0，－6)．] 3．若焦点在 y 轴上的椭圆x2 m ＋y2 2 ＝1 的离心率为1 2 ，则 m 的值为________． 3 2 　[由题意知 0

查看更多