重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)12

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12.2 三角 全等 形的判定 第十二章 全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 4 课时 “斜边、直角边” 八年级数学上(RJ) 情境引入 学习目标 1 . 探索并理解直角三角形全等的判定方法“ HL ” .(难点) 2 . 会用 直角三角形全等的判定方法 “ HL ” 判定两个直角三角形全等.(重点) SSS SAS ASA AAS 旧知回顾 : 我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课 如图 , Rt△ ABC 中 ,∠ C =90° , 直角边是 _____ 、 _____ , 斜边是 ______. C B A AC BC AB 思考: 前面学过的四种判定三角形全等的方法 , 对直角三角形是否适用? A B C A′ B′ C′ 1. 两个直角三角形中, 斜边 和 一个锐角 对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么? 2. 两个直角三角形中,有 一条直角边 和 一锐角 对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么? 3. 两个直角三角形中, 两直角边 对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么? 口答 : 动脑想一想 如图,已知 AC=DF , BC=EF , ∠ B= ∠ E ,△ ABC ≌ △ DEF 吗? 我们知道,证明三角形全等不存 在 SSA 定理 . A B C D E F 问题: 如果这两个三角形都是直角三 角形,即∠ B= ∠ E=90° , 且 AC=DF , BC=EF ,现在能 判定△ ABC ≌ △ DEF 吗? A B C D E F 直角三角形全等的判定( “ 斜边、直角边 ” 定理) 一 讲授新课 任意画出一个 Rt△ ABC , 使 ∠ C =90° . 再画一个 Rt△ A ′ B ′ C ′ , 使 ∠ C ′=90 °, B ′ C ′= BC , A ′ B ′= AB , 把画好的 Rt△ A ′ B ′ C ′ 剪下来,放到 Rt△ ABC 上,它们能重合吗? A B C 作图探究 画图方法视频 画图思路 ( 1 )先画∠ M C′ N=90° A B C M C′ N 画图思路 ( 2 )在射线 C′M 上截取 B′C′=BC M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 ( 3 )以点 B′ 为圆心, AB 为半径画弧,交射线 C′N 于 A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 ( 4 )连接 A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考: 通过上面的探究,你能得出什么结论? 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (简写成 “斜边、直角边”或“ HL ” ) . 几何语言: A B C A ′ B′ C ′ 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C′ 中, ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “ SSA ”可以判定两个直角三角形全等,但是“边边”指的是斜边和一直角边,而“角”指的是直角 . AB=A′B′ , BC=B′C′ , 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“ ×” ,全等的注明理由: ( 1 )一个锐角和这个角的对边对应相等;( ) ( 2 )一个锐角和这个角的邻边对应相等;( ) ( 3 )一个锐角和斜边对应相等; ( ) ( 4 )两直角边对应相等; ( ) ( 5 )一条直角边和斜边对应相等. ( ) HL × SAS AAS AAS 判一判 典例精析 例 1 如图, AC ⊥ BC , BD ⊥ AD , AC ﹦ BD , 求证: BC ﹦ AD . 证明: ∵ AC ⊥ BC , BD ⊥ AD , ∴∠ C 与 ∠ D 都是直角 . AB = BA , AC = BD . 在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中, ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ BAD (HL). ∴ BC ﹦ AD . A B D C 应用 “ HL” 的前提条件是在直角三角形中 . 这是应用“ HL ” 判定方法的书写格式 . 利用全等证明两条线段相等,这是常见的思路 . 变式 1 : 如图, ∠ ACB =∠ ADB =90 , 要证明△ ABC ≌ △BAD ,还需一个什么条件?把这些条件都写出来,并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由 . ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) ( ) A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 如图, AC 、 BD 相交于点 P,AC⊥BC , BD⊥AD ,垂足分 别为 C 、 D,AD=BC. 求证: AC=BD. 变式 2 HL AC=BD Rt△ ABD ≌ Rt△ BAC 如图: AB⊥AD , CD⊥BC , AB=CD, 判断 AD 和 BC 的位置 关系 . 变式 3 HL ∠ ADB= ∠ CBD Rt△ ABD ≌ Rt△ CDB AD ∥ BC 例 2 如图, 已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE, ∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE(HL). ∴CD=EF. ∵AD=AF,AB=AB, ∴Rt△ABD ≌ Rt△ABF(HL). ∴BD=BF. ∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE. 方法总结: 证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 例 3 : 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系? 解:在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 , BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF ( 全等三角形对应角相等 ). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. D A 当堂练习 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 2. 如图,在 △ABC 中, AD⊥BC 于点 D , CE⊥AB 于点 E , AD 、 CE 交于点 H ,已知 EH = EB = 3 , AE = 4 , 则 CH 的长为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4. 如图,在 △ ABC 中,已知 BD ⊥ AC , CE ⊥ AB , BD = CE . 求证:△ EBC ≌ △ DCB . A B C E D 证明: ∵ BD ⊥ AC , CE ⊥ AB , ∴∠ BEC = ∠ BDC =90 ° . 在 Rt△ EBC 和 Rt△ DCB 中, CE=BD , BC=CB . ∴ Rt△ EBC ≌ Rt△ DCB (HL). 3. 如图,△ ABC 中, AB=AC , AD 是高,则△ ADB 与△ ADC (填 “ 全等”或“不全等”),根据 (用简写法) . 全等 HL A F C E D B 5. 如图, AB=CD, BF ⊥A C,DE ⊥ AC,AE=CF. 求证: BF=DE . 证明 : ∵ BF ⊥ AC , DE ⊥ AC , ∴∠ BFA = ∠ DEC =90 °. ∵ AE=CF , ∴ AE+EF=CF+EF . 即 AF=CE . 在 Rt△ ABF 和 Rt△ CDE 中 , AB=CD , AF=CE . ∴ Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). ∴ BF=DE . 如图, AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF . 求证: BD 平分 EF . A F C E D B G 变式训练 1 AB=CD , AF=CE . Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). BF=DE Rt△ GBF ≌ Rt△ GDE (AAS). ∠ BFG = ∠ DEG ∠ BGF = ∠ DGE FG=EG BD 平分 EF 如图, AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF . 想想: BD 平分 EF 吗 ? 变式训练 2 C AB=CD , AF=CE . Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). BF=DE Rt△ GBF ≌ Rt△ GDE (AAS). ∠ BFG = ∠ DEG ∠ BGF = ∠ DGE FG=EG BD 平分 EF 6 . 如图,有一直角三角形 ABC , ∠ C = 90° , AC = 10cm , BC = 5cm ,一条线段 PQ = AB , P 、 Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动,问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ ABC 才能和 △ APQ 全等? 【分析】 本题要分情况讨论: (1)Rt△ APQ ≌Rt△ CBA ,此时 AP = BC = 5cm ,可据此求出 P 点的位置. (2)Rt△ QAP ≌Rt△ BCA ,此时 AP = AC , P 、 C 重合. 解: (1) 当 P 运动到 AP = BC 时, ∵∠ C = ∠ QAP = 90°. 在 Rt△ ABC 与 Rt△ QPA 中, ∵PQ = AB , AP = BC , ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ QPA (HL) , ∴ AP = BC = 5cm ; 能力拓展 (2) 当 P 运动到与 C 点重合时, AP = AC . 在 Rt△ ABC 与 Rt△ QPA 中, ∵PQ = AB , AP = AC , ∴Rt△ QAP ≌ Rt△ BCA (HL) , ∴ AP = AC = 10cm , ∴ 当 AP = 5cm 或 10cm 时, △ ABC 才能和 △ APQ 全等. 【方法总结】 判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解. 课堂小结 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 . 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)
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