历年中考数学压轴题精选精析

历年中考数学压轴题精选精析

‎25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1，试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； ‎ ‎（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．‎ 图1‎ ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图2‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ 图3‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O‎1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎ 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；‎ ‎（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．‎ ‎（10重庆潼南）26.（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎（10重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）---10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中 ‎(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)‎ ‎（10四川宜宾）24．(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．‎ ‎(1)求该抛物线的解析式；‎ ‎(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 ‎△APE的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最 大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24题图 ‎（10浙江宁波）26、如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。‎ ‎（1）求的度数;‎ ‎（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎（图1）‎ x C D A O B E G H F y ‎（图2）‎ x C D A O B E y ‎（图3）‎ ‎②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。‎ ‎25、解：（1）‎ ‎ （2）（2，）‎ ‎ （3）①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎（图3）‎ Ｍ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：‎ ‎∴点F的坐标为（，0）‎ 当点H在点Ｇ的左侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：，（舍）‎ ‎∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点Ｆ的坐标为（，0）‎ 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）‎ ‎（10江苏南通）28．（本小题满分14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．‎ ‎（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当 ‎△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．‎ ‎－1‎ y x O ‎（第28题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（10浙江义乌）24．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O‎1A1B‎1C1．设梯形O‎1A1B‎1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ C B A O y x 图1‎ D M 图2‎ O1‎ A1‎ O y x B1‎ C1‎ D M ‎（10浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线……………………………………………………..… 1分 解析式：或……………………………….2分 ‎ 顶点坐标：M（1，）……….…………………………………………..3分 ‎ （2）由题意得 ‎ ‎3……………………………………..1分 得：①…………….………………….……2分 ‎ ‎ 得： ②….………………………………………..………..3分 把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分 当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 ‎ 分) 把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5分 ‎（3）存在………………………………………………………………….…..……1分 ‎ 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的 交点E的坐标为 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G ‎∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t ‎ 当∥时，‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ‎ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时，如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ‎ ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ‎∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ ∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ (注:未求出能得到正确答案不扣分)‎ ‎ 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴ , .‎ ‎（10安徽省卷）23.如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。‎ ‎⑴若，求证：；‎ ‎⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；‎ ‎⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。‎ ‎26．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．‎ ‎26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………（3分）‎ ‎ ∴所求函数关系式为： …………（4分）‎ ‎ （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）‎ ‎（3）设直线CD对应的函数关系式为，则 解得：．‎ ‎∴ ………（9分）‎ ‎∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，‎ ‎∴N点的横坐标也为t．‎ 则， ，……………………（10分）‎ ‎∴‎ ‎∵， ∴当时，，‎ 此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）‎ ‎24. (本小题满分12分) ‎ ‎（第24题）‎ 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，‎ 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标； ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.‎ ‎24. (本小题满分12分)‎ ‎（第24题）‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，‎ ‎∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，‎ ‎∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， ‎ 代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，‎ ‎∴M (0，2)， ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，‎ 由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分 ‎② 分两种情况讨论： ‎ ‎1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x =时， 得t =–8. ---2分 ‎ ‎24．(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；‎ ‎(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；‎ ‎(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．‎ ‎ ①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎②当线段A ′C ′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．‎ ‎28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 图1 第28题图 图2‎ ‎28. （本题满分11分）‎ ‎ 解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎（2）① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎…………………………………………………………………………………7分 ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）‎ ‎28．（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎（1）求这个函数关系式；‎ ‎（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；‎ ‎（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．‎ A x y O B ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D ‎28．解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时，△=1- ‎4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）‎ ‎ （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C．‎ ‎∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：‎ y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）………（4分）‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）‎ 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）‎ 解之得：x1=-2，x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）‎ ‎（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8分）‎ 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ‎∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ‎∴Q点的坐标为(-，)‎ 可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）‎ ‎(其它解法，仿此得分)‎ ‎（10浙江台州）‎（第24题）‎ H 24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．‎ ‎（1）求证：△DHQ∽△ABC；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；‎ ‎（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？‎ ‎ ‎ ‎24．（14分）（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，‎ ‎∴=90°，HD=HA，‎ ‎∴，…………………………………………………………………………3分 ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分 ‎（2）①如图1，当时， ‎ ED=，QH=，‎ 此时． …………………………………………3分 当时，最大值．‎ ‎②如图2，当时，‎ ED=，QH=，‎ 此时． …………………………………………2分 当时，最大值．‎ ‎∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是．……………………………………………………………………1分 ‎（3）①如图1，当时，‎ 若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，‎ ‎∴=，．‎ 显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分 ‎②如图2，当时，‎ 若DE=DH，=，； …………………………………………1分 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； ………………………1分 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，‎ ‎∴，，． ……………………………………1分 ‎∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.‎ ‎（其他解法相应给分）‎ ‎（10浙江金华）24. (本题12分)‎ ‎ 如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为 ‎（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，‎ BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开 始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，‎ AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线 AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ ‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 ‎ 菱形，则t的值是多少？‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎24．(本题12分)‎ B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ 解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）‎ ‎ （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而，∴,‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 由得 ；………………………………………………………………1分 ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ 即，解得．…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）………………………1分 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分 ‎（10山东烟台）26、（本题满分14分）‎ 如图，已知抛物线y=x2+bx‎-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（10江苏泰州）27.（12分）‎ ‎（10江苏泰州）28.（14分）如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线交坐标轴于A、B两点。‎ ‎(1)若OA=OB ‎①求k ‎②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别这C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；‎ ‎(2)若，且直线分⊙O的圆周为1：2两部分，求b.‎ ‎（10江苏淮安）28．(本小题满分12分)‎ ‎ 如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．‎ ‎ (1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；‎ ‎ (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 ‎ 时，S最大；‎ ‎ (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 ‎ 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以 ‎ 点A．O为对应顶点的情况)：‎ 题28(a)图 题28(b)图 ‎（10江苏扬州）28．（本题满分12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．‎ ‎（1）求线段AD的长；‎ ‎（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，‎ ‎①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）‎ ‎②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；‎ ‎（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．‎ ‎（10湖南衡阳）23．（11分）已知：等边三角形的边长为‎4厘米，长为‎1厘米的线段在的边上沿方向以‎1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．‎ ‎（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；‎ ‎（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ C P Q B A M N ‎ ‎ C P Q B A M N C P Q B A M N ‎（10江苏苏州）29．(本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；‎ ‎ (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是 否总成立?请说明理由．‎ 1． 已知：抛物线，顶点，与轴交于A、B两点，。‎ （1） 求这条抛物线的解析式；‎ （2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；‎ （3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。‎ 第26题图 A B x G F M H E N Q O D C ‎ y ‎（10云南楚雄）24、（本小题13分）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），‎ ‎⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交于点B（－4，0）。‎ ‎（1）求切线BC的解析式；‎ ‎（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；‎ ‎（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。‎ ‎（10上海）25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.‎ 图9 图10(备用) 图11(备用)‎ ‎（10辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．‎ ‎（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；‎ ‎（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； ‎ ‎（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．‎ 第26题图 ‎26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分 ‎∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，‎ ‎∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分 ‎（写错一个点的坐标扣1分）‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎－8‎ ‎(－6，－4)‎ x y ‎（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，‎ ‎∵抛物线过点A（0，4）， ‎ ‎∴．则抛物线关系式为． 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为：． 7分 ‎（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ （ 0＜＜4） 10分 ‎∵． ∴当时，S的取最小值．‎ 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分 ‎（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分 ‎（10湖南益阳）20.如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；‎ ‎(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.‎ ‎20．解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，　　　　　　　　　‎ ‎　解得 ‎∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎　由 ‎　求得交点的坐标为　　　　　　　 ……………………………8分 ‎⑶　连结交于，的坐标为 又∵，‎ ‎　　∴，且 ‎　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分 ‎（10江苏连云港）28．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点 ‎（1）连接CO，求证：CO⊥AB；‎ ‎（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．‎ AD BAD x P O ‎·‎ ‎·‎ CFEBAD y ‎（10江苏宿迁）28．（本题满分12分）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．‎ ‎　（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；‎ ‎（第28题）‎ ‎（第28题2）‎ ‎（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎28、（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分 ‎(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）‎ 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE ‎∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），‎ ‎∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ‎∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在和中，‎ OD= ，BE=‎ ‎∴OD= BE ‎∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分 ‎(3) 存在， ………………8分 由题意得： ………………9分 设点Q坐标为（x，y），‎ 由题意得：=‎ ‎∴‎ 当y=1时，即，∴ ， ，‎ ‎∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分 当y=-1时，即， ∴x=2，‎ ‎∴Q点坐标为（2，-1）‎ 综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）‎ 使得=． ………………12分 E F Q1‎ Q3‎ Q2‎ ‎（10江苏南京）28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。‎ ‎（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。‎ ‎（10山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = ‎8 cm，BC = ‎6 cm，EF = ‎9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q A B C 图（3）‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ ‎（用圆珠笔或钢笔画图）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3） ‎ ‎24．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎（10山东威海）25.（12分） ‎ ‎（1）探究新知：‎ A B D C M N 图 ①‎ ‎①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．‎ 求证：△ABM与△ABN的面积相等． ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． ‎ ‎（2）结论应用： ‎ 如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ‎ ‎﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y A 备用图 C D B O x y ‎25．（本小题满分12分）‎ ‎﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC，AD＝BC， ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ‎ ‎∴ ME= NF． ‎ ‎∵S△ABM＝，S△ABN＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分 ‎②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°． ‎ ‎∵ AD∥BE， ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK． ‎ ‎∵ AD＝BE， ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK． ‎ ‎∴ DH=EK． ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF， ‎ ‎∴S△ABM＝，S△ABG＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分 ‎∴ D点坐标为（0，3）．‎ 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为． ‎ 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ‎ ‎∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为． ‎ 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，‎ 则PF=，EF＝． ‎ ‎∴ EP＝EF－PF＝=． ‎ ‎∴ ． ‎ 解得，． ……………………………7分 ‎ 当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ‎ ‎∴ E点坐标为（2，3）． ‎ 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， ‎ 则． ……………………………………………9分 ‎∴．解得，． ………………………………10分 当时，E点的纵坐标为； ‎ 当时，E点的纵坐标为． ‎ ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ A 图③－3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③－2‎ C D B O x y H P G F P E ‎ ‎ ‎（10四川巴中）31．如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） ‎ ‎（1）试求点C 的坐标 ‎（2）若抛物线过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．‎ ‎（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那 么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎（10湖南常德）25.如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.‎ (1) 求此抛物线的解析式；‎ (2) 设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；‎ (3) 若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.‎ A B O C 图9‎ y x ‎（10湖南常德）26.如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.‎ （1） 当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.‎ （2） 当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.‎ ‎①求证：AG⊥CH;‎ ‎②当AD=4，DG=时，求CH的长。‎ A B C D E F 图110‎ G A D 图11‎ F E B C G A D B C E F H M 图12‎ 第24题图 ‎（10浙江绍兴）24.如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.‎ ‎ （1）求的值及点B的坐标； ‎ ‎（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2)，求点N的横坐标；‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎24．（本题满分14分）‎ 解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . ‎ ‎（2）①如图1，‎ ‎∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 第24题图1‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，‎ ‎∴ ME＝4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为． ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，‎ 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．‎ 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,‎ 设Ｎ（x，0），‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF，‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3，‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),‎ 设N（x，0）， ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎（10广东中山）22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：‎ ‎（1）说明△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？‎ ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．‎ 第22题图（2）‎ A B C D F 第22题图（1）‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎（10山东济宁）23．（10分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎(第23题)‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎23．（1）解：设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 ‎ ‎ ‎(10四川南充)22.已知抛物线上有不同的两点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．‎ ‎（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎　　‎B A M C D O P Q x y 11. 解：（1）抛物线的对称轴为．　……..（1分） ∵‎ ‎　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2． ∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　……..（2分） （2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， ∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴　∠BCM＝∠AMD． 故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分） ∴　，即　，． 故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分） （3）∵　F在上， 　　 ∴　， 　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　 　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分） 　　①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为， 　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分） 　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线 MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）． 　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝； 　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　……..（8分） 　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎(10湖北黄冈)25．（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.‎ ‎（1）求字母a，b，c的值；‎ ‎（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；‎ ‎（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.‎ ‎25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0‎ ‎（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.‎ ‎（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.‎ ‎（10辽宁本溪）26. 如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．‎ ‎（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；‎ ‎（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；‎ ‎（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（4）若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式．‎ ‎ ‎ ‎(第26题)‎ ‎（10辽宁鞍山）③如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）．‎ A B Q C P D ‎（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式 ‎（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ ‎（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求t的值．‎ ‎（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（10浙江衢州）24. (本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O y x C B A ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎24. (本题12分)‎ 解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分 设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分 解得　，(舍去)． ‎ ‎∴　点B的横坐标是． ……2分 ‎(2)　①　当，，时，得　　……(＊)‎ ‎． ……1分 以下分两种情况讨论．‎ 情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎（10浙江湖州）24．（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．‎ 第24题 B C A x y F O D E ‎（10福建福州）22.（满分14分）‎ 如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（10山东莱芜）24.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交 轴于两点，交轴于点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；‎ ‎（第24题图）‎ x y O A C B D E F ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎24. （本小题满分12分）‎ 解：（1）∵抛物线经过点，，．‎ ‎∴， 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为：. …………………………3分 ‎（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．‎ ‎∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．‎ 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．‎ ‎∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为：． …………………………7分 ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分 设点，PG交直线AC于N，‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.‎ 即=.‎ 解得：m1=－3， m2=2（舍去）.‎ 当m=－3时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得：，（舍去）.当时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分