北京市第四中学2020届高三下学期统练数学试题

北京市第四中学2020届高三下学期统练数学试题

北京四中2020届高三第二学期统练数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1.tan570°=（ ）‎ A. B. - C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式化简求解即可．‎ ‎【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎2.已知等比数列满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.‎ ‎3.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A. “”的否定是“”‎ B. 若向量满足 ，则与夹角为钝角 C. 若，则 D. “”是“”的必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2-x＞‎0”‎，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．‎ ‎【详解】选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2-x＞‎0”‎，因此A不正确；‎ 选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.‎ 选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；‎ 选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.‎ ‎4.已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.‎ ‎【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时取“＝”号． ‎ 答案：C ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，“‎1”‎的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）‎ A. 8 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．‎ ‎【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱底面四棱锥，如图所示：‎ 结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，‎ 高为PA=2，‎ ‎∴四棱锥的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.‎ ‎6.函数 的部分图象如图所示，则 （ ）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．‎ ‎【详解】由图象得,令=0,即=kπ，‎ k=0时解得x=2，‎ 令=1,即，解得x=3，‎ ‎∴A(2,0),B(3,1)，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.‎ ‎7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.‎ ‎【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.‎ ‎8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，‎ ‎，渐近线方程为，求出交点，，‎ ‎，则；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；‎ ‎9.在中，分别为所对的边，若函数 有极值点，则的范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得有两个不等实根.‎ 考点：1、余弦定理；2、函数的极值.‎ ‎【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.‎ ‎10.单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．‎ ‎【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D‎1C1→C‎1C→CB→BA，‎ 即过6段后又回到起点，‎ 可以看作以6为周期，‎ 由，‎ 白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；‎ 同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B‎1C1→C1D1→D1D→DA，‎ 黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，‎ 所以它们此时距离为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.‎ 二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分） ‎ ‎11.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.‎ ‎【详解】根据茎叶图中的数据，得：‎ 甲班5名同学成绩的平均数为，‎ 解得；‎ 又乙班5名同学的中位数为73，则；‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.‎ ‎12.在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）‎ ‎【答案】-40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数 ‎【详解】的二项展开式的通项公式为，‎ r=0，1，2，3，4，5，‎ 令，‎ 所以的二项展开式中x项的系数为.‎ 故答案为：-40.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.‎ ‎13.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为sin α∈[－1，1]，‎ 所以－sin α∈[－1，1]，‎ 所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．‎ 答案：‎ ‎14.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】（-4，2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 ‎15.已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，由题意，得,‎ 解得，则的周期为4，且，所以 ‎.‎ 考点：三角函数的图像与性质.‎ 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。‎ ‎（Ⅰ）求证：AE平面BCD； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;‎ ‎（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;‎ ‎（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，‎ 又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，‎ ‎∴AE⊥平面BCD．‎ ‎（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，‎ 由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，‎ 如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系E-xyz，‎ 设AB=BD=DC=AD=2， 则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，‎ 则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，）， F（，0，0），C（，2，0），‎ ‎，，‎ 由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，‎ 设平面ADC的一个法向量，‎ 则，取x=1，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为． （Ⅲ）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.‎ ‎17.已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：‎ ‎①函数的周期为；‎ ‎②是函数的对称轴；‎ ‎③且在区间上单调.‎ ‎（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.‎ ‎（Ⅱ）得到，得到函数值域.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；‎ 由③得，，，；‎ 若①②成立，则，，，‎ 若①③成立，则，，不合题意，‎ 若②③成立，则，，‎ 与③中的矛盾，所以②③不成立，‎ 所以只有①②成立，.‎ ‎（Ⅱ）由题意得，，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎18.某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：‎ 日期 ‎ ‎1 日 ‎ ‎2 日 ‎ ‎3 日 ‎ ‎4 日 ‎ ‎5 日 ‎ ‎6 日 ‎ ‎7 日 ‎ ‎8 日 ‎ ‎9 日 ‎ ‎10 日 ‎ 元件A个数 ‎ ‎9 ‎ ‎15 ‎ ‎12 ‎ ‎18 ‎ ‎12 ‎ ‎18 ‎ ‎9 ‎ ‎9 ‎ ‎24 ‎ ‎12 ‎ 日期 ‎ ‎11 日 ‎ ‎12 日 ‎ ‎13 日 ‎ ‎14 日 ‎ ‎15 日 ‎ ‎16 日 ‎ ‎17 日 ‎ ‎18 日 ‎ ‎19 日 ‎ ‎20 日 ‎ 元件A个数 ‎ ‎12 ‎ ‎24 ‎ ‎15 ‎ ‎15 ‎ ‎15 ‎ ‎12 ‎ ‎15 ‎ ‎15 ‎ ‎15 ‎ ‎24 ‎ 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．‎ ‎（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；‎ ‎（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）‎ ‎【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可．‎ ‎（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．‎ ‎（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．‎ ‎【详解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；‎ ‎,,,‎ ‎,，‎ X的分布列为：‎ X ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎24‎ P 故X的数学期望；‎ ‎(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,‎ a,b的值可能为：,或,或.‎ 经计算,,，‎ 所以P(a≤X≤b)的最大值为.‎ ‎(Ⅲ)至少增加2人.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.‎ ‎19.已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标； （Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(−1,−2)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−2(k≠0)，与抛物线联立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由已知得，所以p=2.‎ 所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；‎ ‎(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(−1,−2)，‎ 由题意直线AB斜率存在且不为0.‎ 设直线AB的方程为y=k(x+1)−2(k≠0).‎ 由得，‎ 则,.‎ 因为点A,B在抛物线C上,所以 ‎,.‎ 因为PF⊥x轴，‎ 所以 ‎，‎ 所以|MF|⋅|NF|的值为2.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.‎ ‎20.设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；‎ ‎（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎<0，在内单调递减.‎ 由=0有.‎ 当时，<0，单调递减；‎ 当时，＞0，单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令=，则=.‎ 当时，＞0，所以，从而=＞0.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0‎ 当，时，=.‎ 故当＞在区间内恒成立时，必有.‎ 当时，＞1.‎ 由（Ⅰ）有,而，‎ 所以此时＞在区间内不恒成立.‎ 当时，令=（）.‎ 当时，=.‎ 因此，在区间单调递增.‎ 又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.‎ 综上，.‎ ‎【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题 ‎【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．‎ ‎21.如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)‎ 表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令 a11‎ a12‎ ‎…‎ a1n a21‎ a22‎ a2n ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ an1‎ an2‎ ‎…‎ ann ‎（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；‎ ‎（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．‎ ‎【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；‎ ‎（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；‎ ‎（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．‎ ‎【详解】（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.‎ ‎（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:‎ 假如存在，使得.‎ 因为，，‎ 所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.‎ 令.‎ 一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，‎ 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；‎ 也表示m，从而②，‎ ‎①，②相矛盾，从而不存在，使得.‎ ‎（Ⅲ）记这个实数之积为p.‎ 一方面，从“行”的角度看，有；‎ 另一方面，从“列”的角度看，有；‎ 从而有③，‎ 注意到，，‎ 下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，‎ 由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，‎ 所以，‎ 对数表，显然.‎ 将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，‎ 将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，‎ 依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，‎ 即数表满足：，其余，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 由k的任意性知，l（A）的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.‎