人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值B

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人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值B

课时作业(十五)B [第15讲 导数与函数的极值、最值]‎ ‎ [时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是(  )‎ A.增函数 B.减函数 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 ‎2.[2012·济南模拟] 已知f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图象如图K15-3所示,则y=f(x)的图象最有可能是下图中的(  )‎ 图K15-3‎ 图K15-4‎ ‎3.函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是(  )‎ A.2 B.1‎ C.0 D.由a决定 ‎4.f(x)=的极大值为-2e,则a=________.‎ ‎5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极值为(  )‎ A.极大值为,极小值为0‎ B.极大值为0,极小值为- C.极小值为-,极大值为0‎ D.极小值为0,极大值为 ‎6.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  )‎ A.-16‎ C.-32‎ ‎7.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为(  )‎ A.-5 B.-11‎ C.-29 D.-37‎ ‎8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(  )‎ A.0≤a≤21 B.a=0或a=7‎ C.a<0或a>21 D.a=0或a=21‎ ‎9.函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:‎ y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图K15-5所示,且a0)上的最小值;‎ ‎(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>-成立.‎ 课时作业(十五)B ‎【基础热身】‎ ‎1.A [解析] f′(x)=1-cosx>0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.‎ ‎2.B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B正确.‎ ‎3.C [解析] f′(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则f(x)在R上是增函数,故不存在极值点.‎ ‎4.2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=-,令f′(x)=0,得x=,当a>0时,列表如下:‎ x ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 当x=时,函数f(x)有极大值f==-ae,故-ae=-2e,解得a=2;‎ 当a<0时,列表如下:‎ x ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 无极大值.故a=2.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.A [解析] 由题设知:⇒∴所以f(x)=x3-2x2+x,进而可求得f(1)是极小值,f是极大值,故选A.‎ ‎6.B [解析] f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以f′(x)=0有两个不相等的实数根,所以判别式Δ=‎4a2-4×3(a+6)>0,解得a<-3或a>6.‎ ‎7.D [解析] 由f′(x)=6x2-12x>0得x<0或x>2,由f′(x)<0得0x0时,F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0)>0,故x=x0是F(x)的极小值点,选B.‎ ‎10.2 [解析] f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x1=0,x2=2,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,‎ 当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当x=2时f(x)取极小值.‎ ‎11.②③ [解析] 由函数y=f(x)的导函数的图象可知:(1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数;(2)f(x)在x=-1处取得极小值,在x=2处取得极大值.故②③正确.‎ ‎12.-1 3 [解析] f′(x)=-x2+2bx+c,由f(x)在x=1处取极值-,‎ 可得 解得或 若b=1,c=-1,则f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0,此时f(x)没有极值;‎ 若b=-1,c=3,则f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),‎ 当-30,当x>1时,f′(x)<0,‎ ‎∴当x=1时,f(x)有极大值-.‎ 故b=-1,c=3即为所求.‎ ‎13. [解析] g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).‎ 当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2),即0≥‎20a-24,得a≤.‎ 反之,当a≤时,对任意x∈[0,2],g(x)≤x2(x+3)-3x(x+2)=(2x2+x-10)‎ ‎=(2x+5)(x-2)≤0,‎ 而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).‎ 综上,a的取值范围为.‎ ‎14.[解答] (1)f′(x)=(x-k+1)ex.‎ 令f′(x)=0,得x=k-1.‎ x与f(x)、f′(x)的变化情况如下:‎ x ‎(-∞,k-1)‎ k-1‎ ‎(k-1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  ‎-ek-1‎  所以,f(x)的单调递增区间是(k-1,+∞);单调递减区间是(-∞,k-1).‎ ‎(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;‎ 当00,f(x)单调递增.‎ ‎①0-(x∈(0,+∞)),由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.‎ 设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易得m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>-成立.‎
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